柱、锥、台和球的表面积与体积

1.1.6柱体、锥体、台体和球的表面积 多面体的平面展开图多面体是由一些平面多边形围成的几何体.一些多面体可以沿着多面体的某些棱将它剪开而成平面图形,这个平面图形叫做该多面体的平面展开图.思考：多面体的平面展开图唯一吗？ 把直(正)三棱柱侧面沿一条侧棱展开，得到什么图形？侧面积怎么求？ COBAPD棱锥、棱台正棱锥：正棱台：底面是正多边形，顶点在底面的射影是底面中心的棱锥.正棱锥被平行于底面的平面所截，截面和底面之间的部分叫正棱台.斜高：侧面等腰三角形底边上的高.h'h'C1D1A1ODBACB1 把正三棱锥侧面沿一条侧棱展开，得到什么图形？侧面积怎么求？h'h' 把正三棱台侧面沿一条侧棱展开，得到什么图形？侧面积怎么求？ 正棱柱、正棱锥和正棱台的侧面积的关系：思考:c’=c上底扩大c’=0上底缩小 例题1若一个正三棱柱的三视图如图所，则这个正三棱柱的表面积为A.B.C.D. 宽＝矩形把圆柱的侧面沿着一条母线展开，得到什么图形?展开的图形与原图有什么关系？ 扇形把圆锥的侧面沿着一条母线展开，得到什么图形?展开的图形与原图有什么关系？c OO’OO’ OO’圆柱、圆锥、圆台三者的表面积公式之间有什么关系？Or’＝r上底扩大Or’＝0上底缩小 球的表面积球面面积（也就是球的表面积）等于它的大圆面积的4倍，即其中R为球的半径. 柱体、锥体、台体和球的体积 复习回顾1.正方体的体积公式V正方体=a3(这里a为棱长)2.长方体的体积公式V长方体=abc(这里a,b,c分别为长方体长、宽、高)或V长方体=sh(s,h分别表示长方体的底面积和高) 取一摞纸张放在桌面上(如图所示)，并改变它们的放置方法，观察改变前后的体积是否发生变化？从以上事实中你得到什么启发？教学情境 一.祖暅原理祖暅原理：幂势既同，则积不容异.也就是说，夹在两个平行平面间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等. 祖暅原理是推导柱、锥、台和球体积公式的基础和纽带，原理中含有三个条件，条件一是两个几何体夹在两个平行平面之间；条件二是用平行于两个平行平面的任何一平面可截得两个截面；条件三是两个截面的面积总相等，这三个条件缺一不可，否则结论不成立. ShSS棱柱（圆柱）可由多边形（圆）沿某一方向得到，因此，两个底面积相等、高也相等的棱柱（圆柱）应该具有相等的体积．hV=sh柱体的体积 锥体体积:经探究得知，棱锥(圆锥)是同底等高的棱柱(圆柱)的，即棱锥(圆锥)的体积：（其中S为底面面积，h为高）由此可知，棱柱与圆柱的体积公式类似，都是底面面积乘高；棱锥与圆锥的体积公式类似，都是等于底面面积乘高的． 圆台(棱台)是由圆锥(棱锥)截成的根据台体的特征，如何求台体的体积？台体的体积 柱体、锥体、台体的体积公式之间有什么关系？上底扩大上底缩小 ５．球的体积计算公式：球的表面积： 1.向高为H的水瓶中匀速注水，注满为止，如果注水量V与水深h的函数关系如下面左图所示，那么水瓶的形状是A 例3（1）两个平行于圆锥底面的平面将圆锥的高分成相等的三段，那么圆锥被分成的三部分的体积的比是A.1∶2∶3B.1∶7∶19C.3∶4∶5D.1∶9∶27B（2）三棱锥V—ABC的中截面是△A'B'C'，则三棱锥V—A'B'C'与三棱锥A—A'BC的体积之比是A.1∶2B.1∶4C.1∶6D.1∶8B 1．正棱锥的高和底面边长都缩小到原来的，则它的体积是原来的（）（A）（B）（C）（D）B 2．直三棱柱ABC－A1B1C1的体积为V，已知点P、Q分别为AA1、CC1上的点，而且满足AP=C1Q，则四棱锥B－APQC的体积是（）（A）（B）（C）（D）B 3.圆台的上、下底面半径和高的比为1：4：4，母线长10，则圆台的体积为（）（A）672π（B）224π（C）100π（D）B 4.有三个球,一球切于正方体的各面,一球切于正方体的各棱,一球过正方体的各顶点,求这三个球的体积之比_________. 与正四面体个侧棱都相切的球 解：六角螺帽的体积是六棱柱的体积与圆柱体积之差，即:所以螺帽的个数为（个）例4．有一堆规格相同的铁制（铁的密度是)六角螺帽共重5.8kg，已知底面是正六边形，边长为12mm,内孔直径为10mm，高为10mm，问这堆螺帽大约有多少个（取3.14，可用计算器）？ 五.课时小结1.本节主要在学习了柱,锥,台及球体的体积和球的表面积.2.应用上述结论解决实际问题. 小试牛刀一：1.侧面都是直角三角形的正三棱锥，底面边长为a，该三棱锥的全面积是（）（A）（B）（C）（D）A 2.已知正六棱台的上、下底面边长分别是2和4，高是2，则这个棱台的侧面积等于。 D分析：正四面体的展开图是由四个全等的正三角形组成．例题交BC于点D．解：过点S作，BCAS∵例1．已知正四面体S-ABC各棱长为，求它的表面积．因此，四面体S-ABC的表面积为 随堂练习：1、已知正四棱柱的底面边长是3，侧面的对角线长是，求这个正四棱柱的侧面积。2、求底面边长为2，高为1的正三棱锥的全面积。3、下列图形中，不是正方体的展开图的()ABCD72C 随堂练习：4.如图，E，F分别为正方形ABCD的边BC,CD的中点,沿图中虚线折起来,它能围成怎样的几何体?AFECDB5.用半径为r的半圆形铁皮卷成一个圆锥筒,那么这个圆锥筒的高是多少?6.一个正三棱台的两个底面的边长分别等于8cm和18cm,侧棱长等于13cm,求它的侧面积.三棱锥468cm2 1、弄清楚柱、锥、台的侧面展开图的形状是关键；S圆柱=2πrlS圆锥=πrl小结：2、对应的侧面积公式C’=CC’=0