第一章空间几何体1.1空间几何体的结构1.1.1 柱、锥、台、球的结构特征1.1.2 简单组合体的结构特征
目标导航课标要求1.了解多面体、旋转体以及简单组合体的概念及特征.2.理解棱柱、棱锥、棱台、圆柱、圆锥、圆台以及球的概念.3.概括并掌握柱体、锥体、台体、球的概念及结构特征,并能利用这些特征来判断、描述现实生活中的实物模型.素养达成通过对柱、锥、台、球及简单组合体结构特征的学习,培养学生的空间想象能力和抽象概括能力.
新知导学·素养养成1.空间几何体形状概念定义空间几何体空间中的物体,若只考虑这些物体的和,而不考虑其他因素,那么由这些物体抽象出来的就叫做空间几何体大小空间图形
2.空间几何体的分类平面多分类定义图形及表示相关概念多面体由若干个.围成的几何体,叫做多面体面:围成多面体的各个;棱:相邻两个面的;顶点:的公共点旋转体由一个平面图形绕着它所在平面内的一条旋转所形成的.叫做旋转体轴:形成旋转体所绕的.边形多边形公共边棱与棱定直线封闭几何体定直线
3.棱柱、棱锥、棱台的结构特征平行分类定义图形及表示相关概念棱柱有两个面互相,其余各面都是.,并且每相邻两个四边形的公共边都互相,由这些面所围成的多面体叫做棱柱如图可记作:棱柱ABCD-A′B′C′D′底面(底):两个互相的面;侧面:其余各面;侧棱:相邻侧面的..顶点:侧面与底面的.四边形平行平行公共边;公共顶点
棱锥有一个面是.,其余各面都是有一个公共顶点的,由这些面所围成的多面体叫做棱锥如图可记作:棱锥S-ABCD底面(底):;侧面:有公共顶点的各个.侧棱:相邻侧面的;顶点:各侧面的.棱台用一个.的平面去截棱锥,底面与截面之间的部分叫做棱台如图可记作:棱台ABCD-A′B′C′D′上底面:原棱锥的;下底面:原棱锥的;侧面:其余各面;侧棱:相邻侧面的公共边;顶点:侧面与上(下)底面的公共顶点多边形三角形多边形面三角形面公共边公共顶点平行于棱锥底面截面底面
思考1:有两个面互相平行,其余各面为平行四边形的几何体是棱柱吗?答案:不一定,如图所示的几何体就不是棱柱.因为棱柱要求有两个面互相平行,其余各面都是四边形,并且每相邻的两个四边形的公共边都互相平行,而该图中有相邻四边形的公共边是不平行的.思考2:有一个面是多边形,其余各面是三角形的几何体是棱锥吗?答案:不一定,其余各面还要有一个公共点.思考3:若一个几何体有两个面互相平行,其余各面均为梯形,那么它一定是棱台吗?答案:不一定,因为棱台是由棱锥得到,其侧棱延长应相交于一点,若侧棱延长后不相交于一点,则它不是棱台.
4.圆柱、圆锥、圆台、球分类定义图形表示圆柱以为旋转轴,其余三边旋转形成的面所围成的旋转体叫做圆柱.旋转轴叫做圆柱的轴;于轴的边旋转而成的圆面叫做圆柱的底面;于轴的边旋转而成的曲面叫做圆柱的侧面;无论旋转到什么位置,于轴的边都叫做圆柱侧面的母线我们用表示圆柱轴的字母表示圆柱,左图可表示为.矩形的一边所在直线垂直平行不垂直圆柱OO′
圆锥以.所在直线为旋转轴,其余两边旋转形成的面所围成的旋转体叫做圆锥我们用表示圆锥轴的字母表示圆锥,左图可表示为.圆台用平行于的平面去截圆锥,底面与截面之间的部分叫做圆台我们用表示圆台轴的字母表示圆台,左图可表示为.球以半圆的直径所在直线为旋转轴,旋转一周形成的旋转体叫做球体,简称球.半圆的圆心叫做球的,半圆的半径叫做球的半径,半圆的直径叫做球的直径球常用球心字母进行表示,左图可表示为.圆锥SO圆台OO′圆锥底面直角三角形的一条直角边半圆面球心球O
思考4:用一个平面去截圆锥,截面与底面之间的部分是圆台吗?答案:不一定,只有截面和底面平行的时候才是圆台.5.简单组合体(1)概念:由组合而成的几何体叫做简单组合体.(2)构成形式:有两种基本形式:一种是由简单几何体而成的;另一种是由简单几何体一部分而成的.简单几何体拼接截去或挖去
名师点津(1)判断一个几何体是否是棱锥,关键是紧扣棱锥的三个本质特征:①有一个面是多边形;②其余各面是三角形;③这些三角形有一个公共顶点.这三个特征缺一不可.下图是一个三棱锥吗?
(2)判断几何体是不是棱台,就是看它是否符合棱台的定义,其中关键的一点就是各条侧棱延长后必须交于一点.棱锥被平行于底面的平面所截,截面和底面间的部分叫做棱台.所以把一个棱台的各条侧棱延长后就会还原为原来的棱锥,即交于一点.同时,这里必须注意的一个词是“平行于底面的平面”,否则,虽然各侧棱延长交于一点,但也不是棱台.
课堂探究·素养提升题型一 简单几何体的结构特征[例1](1)下列关于棱柱的说法:①所有的面都是平行四边形;②每一个面都不会是三角形;③两底面平行,并且各侧棱也平行;④被平面截成的两部分可以都是棱柱.其中正确说法的序号是.
解析:(1)①错误,棱柱的底面不一定是平行四边形;②错误,棱柱的底面可以是三角形;③正确,由棱柱的定义易知;④正确,棱柱可以被平行于底面的平面截成两个棱柱,所以说法正确的序号是③④.答案:(1)③④
(2)下列关于棱锥、棱台的说法:①用一个平面去截棱锥,底面和截面之间的部分组成的几何体叫棱台;②棱台的侧面一定不会是平行四边形;③棱锥的侧面只能是三角形;④由四个平面围成的封闭图形只能是三棱锥;⑤棱锥被平面截成的两部分不可能都是棱锥.其中正确说法的序号是.
解析:(2)①错误,若平面不与棱锥底面平行,用这个平面去截棱锥,棱锥底面和截面之间的部分不是棱台;②正确,棱台的侧面一定是梯形,而不是平行四边形;③正确,由棱锥的定义知棱锥的侧面只能是三角形;④正确,由四个平面围成的封闭图形只能是三棱锥;⑤错误,如图所示四棱锥被平面截成的两部分都是棱锥.答案:(2)②③④
方法技巧准确理解几何体的定义,把握几何体的结构特征,并且学会通过举反例进行辨析.
即时训练1-1:下列说法正确的是()①棱锥的各个侧面都是三角形;②有一个面是多边形,其余各面都是三角形,由这些面围成的几何体是棱锥;③四面体的任何一个面都可以作为棱锥的底面;④棱锥的各侧棱长相等.(A)①②(B)①③(C)②③(D)②④解析:由棱锥的定义可知,棱锥的各侧面都是三角形,故①正确;有一个面是多边形,其余各面都是三角形,如果这些三角形没有一个公共顶点,那么这个几何体就不是棱锥,故②错;四面体就是由四个三角形所围成的几何体,因此四面体的任何一个面作底面都是三棱锥,故③正确;棱锥的侧棱长可以相等,也可以不相等,故④错.故选B.
[备用例1]如图所示,下列关于这个几何体的正确说法的序号为.①这是一个六面体;②这是一个四棱台;③这是一个四棱柱;④此几何体可由三棱柱截去一个三棱柱得到;⑤此几何体可由四棱柱截去一个三棱柱得到.
解析:①正确,因为有六个面,属于六面体的范围;②错误,因为侧棱的延长线不能交于一点,所以不正确;③正确,如果把几何体放倒就会发现是一个四棱柱;④⑤都正确,如图所示.答案:①③④⑤
题型二 折叠与展开问题[例2]如图是三个几何体的侧面展开图,请问各是什么几何体?解:由几何体的侧面展开图的特点,结合棱柱、棱锥、棱台的定义,可把侧面展开图还原为原几何体,如图所示:所以①为五棱柱,②为五棱锥,③为三棱台.
方法技巧(1)解答此类问题要结合多面体的结构特征发挥空间想象能力和动手能力.(2)若给出多面体画其展开图时,常常给多面体的顶点标上字母,先把多面体的底面画出来,然后依次画出各侧面.(3)若是给出表面展开图,则可把上述程序逆推.
即时训练2-1:如图,M是棱长为2cm的正方体ABCD-A1B1C1D1的棱CC1的中点,沿正方体表面从点A到点M的最短路程是cm.
[备用例2]1.如图,右边哪一个长方体是由左边的平面图形围成的()解析:将下面两矩形向上折起,则阴影面为上底面,非阴影面为侧面,再将左、右面折起即可选D.
2.根据如图所示的几何体的表面展开图,画出立体图形.解:题图1是以ABCD为底面,P为顶点的四棱锥.其立体图形如图(1)所示.题图2是以ABCD和A1B1C1D1为底面的棱柱.其立体图形如图(2)所示.
题型三 简单组合体的结构特征[例3](1)如图所示的几何体是由下面哪一个平面图形旋转而形成的()解:(1)A.
(2)如图所示的图形绕虚线旋转一周后形成的立体图形分别是由哪些简单几何体组成的?解:(2)旋转后的图形草图分别如图(1),(2)所示.其中图(1)是由一个圆柱O1O2和两个圆台O2O3,O3O4组成的;图(2)是由一个圆锥O5O4、一个圆柱O3O4及一个圆台O1O3中挖去一个圆锥O2O1组成的.
一题多变:若将本例3(1)选项B中的平面图形旋转一周,想象并说出它形成的几何体的结构特征.答案:构成上部为圆锥,中间为圆台,下部为圆柱的组合体
方法技巧(1)明确组合体的结构特征,主要弄清它是由哪些简单几何体组成的,必要时也可以指出棱数、面数和顶点数.(2)会识别较复杂的图形是学好立体几何的第一步,因此我们应注意观察周围的物体,然后将它们“分拆”成几个简单的几何体,进而培养我们的空间想象能力和识图能力.
即时训练3-1:指出图中的三个几何体分别是由哪些简单几何体组成的.解:(1)几何体由一个圆锥、一个圆柱和一个圆台拼接而成;(2)几何体由一个六棱柱和一个圆柱拼接而成;(3)几何体由一个六棱柱挖去一个圆柱而成.
[备用例3]1.如图所示的几何体是由一个圆柱挖去一个以圆柱上底面为底面、下底面圆心为顶点的圆锥而得到的组合体,现用一个竖直的平面去截这个组合体,则截面图形可能是( )(A)①②(B)①③(C)①④(D)①⑤解析:一个圆柱挖去一个圆锥后,剩下的几何体被一个竖直的平面所截后,圆柱的轮廓是矩形除去一条边,圆锥的轮廓是三角形除去一条边或抛物线的一部分,故选D.
2.如图,AB为圆弧BC所在圆的直径,∠BAC=45°.将这个平面图形绕直线AB旋转一周,得到一个组合体,试说明这个组合体的结构特征.解:如图所示,这个组合体是由一个圆锥和一个半球体拼接而成的.
课堂达标解析:四棱柱有四条侧棱、八个顶点(可以结合正方体观察求得).1.四棱柱有几条侧棱,几个顶点()(A)四条侧棱、四个顶点(B)八条侧棱、四个顶点(C)四条侧棱、八个顶点(D)六条侧棱、八个顶点C
解析:组合体上半部分是圆锥,下半部分是一个圆台,因此应该是由上半部分为三角形,下半部分为梯形的平面图形旋转而成的,观察四个选项得D正确.2.下图是由哪个平面图形旋转得到的()D
解析:倾斜后水槽中的水形成的几何体是棱柱.3.(2018·日照高一检测)如图,将装有水的长方体水槽固定底面一边后倾斜一个小角度,则倾斜后水槽中的水形成的几何体是( )(A)棱柱(B)棱台(C)棱柱与棱锥的组合体(D)不能确定A
4.一个与球心距离为1的平面截球所得的圆面面积为π,则球的直径为.
解析:①正确,因为具有这些特征的几何体的侧棱一定不相交于一点,故一定不是棱台;②正确;③不正确,当两个平行的正方形完全相等时,一定不是棱台.答案:25.①有两个面互相平行,其余各面都是平行四边形的几何体的侧棱一定不相交于一点,故一定不是棱台;②两个互相平行的面是平行四边形,其余各面是四边形的几何体不一定是棱台;③两个互相平行的面是正方形,其余各面是四边形的几何体一定是棱台.其中正确说法的个数为.
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