1.1.1 柱、锥、台、球的结构特征1.1.2 简单组合体的结构特征选题明细表知识点、方法题号空间几何体的结构特征1,2,3,8折叠与展开4,6,12简单组合体的结构特征5,10简单几何体中的计算问题7,9,11基础巩固1.下面多面体中,是棱柱的有( D )(A)1个(B)2个(C)3个(D)4个解析:根据棱柱的定义进行判定知,这4个图都满足.2.下列说法错误的是( D )(A)多面体至少有四个面(B)九棱柱有9条侧棱,9个侧面,侧面为平行四边形(C)长方体、正方体都是棱柱(D)三棱柱的侧面为三角形3.下列命题中正确的是( C )①过球面上任意两点只能作一个经过球心的圆;②球的任意两个经过球心的圆的交点的连线是球的直径;③用不过球心的截面截球,球心和截面圆心的连线垂直于截面.(A)①②③(B)①③(C)②③(D)②解析:过直径的两个端点可作无数个经过球心的圆,①错;两个经过球心的圆的交点是这两个圆的公共点,也一定是直径的端点,②正确;球心与截面圆心的连线一定垂直于截面,③正确.
故选C.4.如图所示,不是正四面体(各棱长都相等的三棱锥)的展开图的是( C )(A)①③(B)②④(C)③④(D)①②解析:可选择阴影三角形作为底面进行折叠,发现①②可折成正四面体,③④不论选哪一个三角形作底面折叠都不能折成正四面体.5.一个正方体内接于一个球,过球心作一个截面,则截面的可能图形为( C )(A)①③(B)②④(C)①②③(D)②③④解析:若截面为正方体的对角面,则选②;若截面平行于正方体一个面,则选③;否则,选①.故选择C.6.如图是一个几何体的表面展成的平面图形,则这个几何体是 . 答案:圆柱7.一个圆锥的母线长为20cm,母线与轴的夹角为30°,则圆锥的高为 cm. 解析:h=20cos30°=10(cm).答案:108.在一个长方体的容器中,里面装有少量水,现在将容器绕着某底部的一条棱倾斜,在倾斜的过程中.(1)水面的形状不断变化,可能是矩形,也可能变成不是矩形的平行四边形,对吗?
(2)水的形状也不断变化,可以是棱柱,也可能变为棱台或棱锥,对吗?解:(1)不对;水面的形状就是用一个与棱(倾斜时固定不动的棱)平行的平面截长方体时截面的形状,因而可以是矩形,但不可能是其他非矩形的平行四边形.(2)不对;水的形状就是用与棱(将长方体倾斜时固定不动的棱)平行的平面将长方体截去一部分后,剩余部分的几何体,此几何体是棱柱,水比较少量,是三棱柱,水多时,可能是四棱柱或五棱柱;但不可能是棱台或棱锥.能力提升9.已知球的两个平行截面的面积分别为5π和8π,它们位于球心的同一侧,且距离为1,那么这个球的半径是( B )(A)4(B)3(C)2(D)0.5解析:如图所示,因为两个平行截面的面积分别为5π,8π,所以两个截面圆的半径分别为r1=,r2=2.因为球心到两个截面的距离d1=,d2=,所以d1-d2=-=1,所以R2=9,所以R=3.10.以三棱台的顶点为三棱锥的顶点,这样可以把一个三棱台分成三棱锥的个数为( C )(A)1(B)2(C)3(D)4解析:如图所示,在三棱台ABC-A1B1C1中,分别连接A1B,A1C,BC1,则将三棱台分成3个三棱锥,即三棱锥A-A1BC,B1-A1BC1,C-A1BC1.故选C.11.如图所示,已知圆柱的高为80cm,底面半径为10cm,轴截面上有P,Q两点,且PA=40cm,B1Q=30cm,若一只蚂蚁沿着侧面从P点爬到Q点,问:蚂蚁爬过的最短路径长是多少?
解:将圆柱侧面沿母线AA1展开,得如图所示矩形.所以A1B1=·2πr=πr=10π(cm).过点Q作QS⊥AA1于点S,在Rt△PQS中,PS=80-40-30=10(cm),QS=A1B1=10π(cm).所以PQ==10(cm).即蚂蚁爬过的最短路径长是10cm.探究创新12.如图所示,已知圆锥SO中,底面半径r=1,母线长l=4,M为母线SA上的一个点,且SM=x,从点M拉一根绳子,围绕圆锥侧面转到点A.求:(1)绳子的最短长度的平方f(x);(2)绳子最短时,顶点到绳子的最短距离;(3)f(x)的最大值.解:将圆锥的侧面沿SA展开在平面上,如图所示,则该图为扇形,且弧AA′的长度L就是圆O的周长,
所以L=2πr=2π.所以∠ASM=×360°=×360°=90°.(1)由题意知绳子长度的最小值为展开图中的AM,其值为AM=(0≤x≤4).f(x)=AM2=x2+16(0≤x≤4).(2)绳子最短时,在展开图中作SR⊥AM,垂足为R,则SR的长度为顶点S到绳子的最短距离,在△SAM中,因为S△SAM=SA·SM=AM·SR,所以SR==(0≤x≤4),即绳子最短时,顶点到绳子的最短距离为(0≤x≤4).(3)因为f(x)=x2+16(0≤x≤4)是增函数,所以f(x)的最大值为f(4)=32.
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