《柱锥台球的结构特征》进阶练习（三）

《柱锥台球的结构特征》进阶练习一、选择题1.如果圆柱的轴截面周长为定值4，则圆柱体积的最大值为（　　）A.π        B.π        C.π        D.π2.正方体的内切球和外接球的半径之比为（　　）A.3:1　　　　      B.3:2　　　　      C.2:3　　　　      D.3.把一个周长为24cm的长方形围成一个圆柱（即作为圆柱的侧面），当圆柱的体积最大时，该圆柱底面周长与高的比为（　　）A.2：1            B.л：1          C.1：2            D.2：л二、填空题4.已知三棱锥D-ABC中，AB＝BC＝1，AD＝2，，，BC⊥AD，则三棱锥的外接球的体积为________．三、解答题5.如图，一个圆锥的底面半径为2cm，高为6cm，其中有一个高为xcm的内接圆柱．（1）试用x表示圆柱的侧面积；（2）当x为何值时，圆柱的侧面积最大． 参考答案1.A2.D3.A4.5.解：（1）设所求的圆柱的底面半径为r，它的轴截面如图：由图得，，即．∴S圆柱侧=（5分）（2）由（1）知当时，这个二次函数有最大值为6π，∴当圆柱的高为3cm时，它的侧面积最大为6πcm2（10分）1.  解：设圆柱的底面半径为r，高为h，则4r+2h=4，即2r+h=2，∴2r+h=r+r+h≥3，∴r2h≤（）3，∴V=πr2h≤π，∴圆柱体积的最大值为π，故选：A．设圆柱的底面半径为r，高为h，则4r+2h=4，即2r+h=2，利用基本不等式，可求圆柱体积的最大值．本题考查圆柱的体积，考查基本不等式的运用，考查学生的计算能力，属于基础题．2.  思路：设出正方体的棱长，利用正方体的棱长是内切球的直径，正方体的对角线是外接球的直径，分别求出半径，即可得到结论．解：故答案选：D.3.  解：设圆柱高为x，即长方形的宽为x，则圆柱底面周长即长方形的长为=12-x， ∴圆柱底面半径：R=∴圆柱的体积V=πR2h=π（）2x=，∴V′==，当x＜4或x＞12时，V'＞0，函数单调递增；当4＜x＜12时，y'＜0，函数单调递减；当x＞12时，函数无实际意义∴x=4时体积最大此时底面周长=12-x=8，该圆柱底面周长与高的比：8：4=2：1故选：A设圆柱高为x，即长方形的宽为x，则圆柱底面周长即长方形的长为12-x，圆柱底面半径：R=，圆柱的体积V=，利用导数法分析出函数取最大值时的x值，进而可得答案．本题考查的知识点是旋转体，圆柱的几何特征，其中将圆柱的体积表示为x的函数，进而转化为函数最值问题，是解答的关键．4.   【命题意图】 本题主要考查球的体积计算公式，补形法，同时考查考生的作图能力和空间想象能力．   【解题思路】 依题意，AB2＋BC2＝2＝AC2，所以BC⊥AB，又BC⊥AD，因此BC⊥平面ABD．又AD2＋AB2＝5＝BD2，所以AB⊥AD．可将该三棱锥补形成一个长方体，该长方体的长、宽、高分别是1、1、2．设外接球的半径为R，则，，球的体积．5.  （1）由题意作出几何体的轴截面，根据轴截面和比例关系列出方程，求出圆柱的底面半径，再表示出圆柱的侧面积；（2）由（1）求出的侧面面积的表达式，根据二次函数的性质求出侧面面积的最大值．本题的考点是简单组合体的面积问题，关键是作出轴截面，求出长度之间的关系式，表示出面积后利用函数的思想求出最值，考查了数形结合思想和函数思想．