柱锥台和球的体积学案（人教B版必修2）

1.1.7　柱、锥、台和球的体积(1)自主学习学习目标1．了解柱、锥、台的体积计算公式，并学会运用这些公式解决一些简单问题．2．结合祖暅原理等内容的学习，了解我国古代数学家在数学发展上做出的杰出贡献，培养爱国主义思想，逐步培养热爱科学的态度．自学导引1．祖暅原理(1)祖暅原理：____________，则积不容异，这就是说，夹在两个________平面间的两个几何体，被__________这两个平面的________平面所截，如果截得的两个截面的面积总________，那么这两个几何体的体积相等．(2)应用祖暅原理可以说明：等__________、等______的两个柱体或锥体的体积相等．2．柱、锥、台、球的体积(1)柱体的体积等于它的底面积S和高h的积，即V柱体＝______.底面半径是r，高是h的圆柱体的体积的计算公式是V圆柱＝__________.(2)如果一个锥体的底面积是S，高是h，那么它的体积是V锥体＝__________.如果圆锥的底面半径是r，高是h，则它的体积是V圆锥＝__________.(3)如果一个台体的上、下底面面积分别为S′、S，高为h，那么它的体积是V台体＝__________________.如果圆台的上、下底面半径分别是r′、r，高是h，则它的体积是V圆台＝________________.对点讲练知识点一　求台体的体积例1　已知正三棱台(上、下底是正三角形，上底面的中心在下底面的投影是下底面中心)的上、下底面边长分别是2cm与4cm，侧棱长是cm，试求该三棱台的体积与表面积．点评　在解决棱锥、棱台的侧面积、表面积及体积问题时往往将已知条件归结到一个直角三角形中求解，为此在解此类问题时，要注意直角三角形的应用．变式训练1　一个正四棱台的斜高为12cm，侧棱长为13cm，侧面积为720cm2，求它的体积． 知识点二　求锥体的体积例2　三棱锥的顶点为P，已知三条侧棱PA、PB、PC两两互相垂直，若PA＝2，PB＝3，PC＝4.求三棱锥P－ABC的体积．点评　三棱锥又称四面体，由于它的每一个面均可作为棱锥的底面，因此，灵活性较大，通过变换底面与对应的顶点，找出较易求出面积的底面和对应的高，从而求出体积，这种方法又称等体积变换．变式训练2　已知正三棱锥P－ABC(如图所示)，侧棱PA、PB、PC两两互相垂直，AB＝，求此三棱锥的体积．知识点三　综合应用　　　　　　　　　　　　　　　　　　　例3　已知正三棱锥V—ABC(底面是等边三角形，顶点在底面的射影是底面的中心)的主视图，俯视图如图所示，其中VA＝4，AC＝2，求该三棱锥的表面积与体积． 点评　把几何体的表面积与体积的计算与三视图结合考查是高考的一个热点，解决此类问题的关键是正确地观察三视图，把它还原为直观图，特别要注意从三视图中得到几何体的度量，再结合表面积或体积公式解题．变式训练3　一空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为(　　)A．2π＋2B．4π＋2C．2π＋D．4π＋1．在解决棱锥、棱台的侧面积、表面积及体积问题时往往将已知条件归结到一个直角三角形中求解，为此在解此类问题时，要注意直角三角形的应用．2．有关旋转体的表面积和体积的计算要充分利用其轴截面，就是说将已知条件尽量归结到轴截面中求解．而对于圆台有时需要将它还原成圆锥，再借助相似的相关知识求解．3．柱体、锥体、台体的体积之间的内在关系为V柱体＝ShV台体＝h(S＋＋S′)V锥体＝Sh.课时作业　　　　　　　　　　　　　　　　　　　一、选择题1．圆台上、下底面面积分别是π，4π，侧面积是6π，这个圆台的体积是(　　)A.πB．2πC.πD.π2．圆柱的侧面展开图是长12cm，宽8cm的矩形，则这个圆柱的体积为(　　)A.cm3B.cm3C.cm3或cm3D．192πcm33．如图，某几何体的主视图与左视图都是边长为1的正方形，且体积为，则该几何体的俯视图可以是(　　) 4．一个水平放置的圆柱形储油桶，桶内有油部分所在圆弧占底面圆周长的，则油桶直立时，油的高度与桶的高度的比值是(　　)A.B.－C.D.－5．一空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为(　　)A．2π＋2B．4π＋2C．2π＋D．4π＋题　号12345答　案二、填空题6．圆台的上、下底面半径和高的比为1∶4∶4，母线长为10，则圆台的体积为________．7．如图所示，在长方体ABCD—A1B1C1D1中，AB＝6，AD＝4，AA1＝3.分别过BC，A1D1的两个平行截面将长方体分成三部分，其体积分别记为V1＝VAEA1—DFD1，V2＝VEBE1A—FCF1D1，V3＝VB1E1B—C1F1C，若V1∶V2∶V3＝1∶4∶1，则截面A1EFD1的面积为________．三、解答题8．一几何体按比例绘制的三视图如图所示(单位：m)： (1)试画出它的直观图；(2)求它的表面积和体积．9．已知某几何体的俯视图是如图所示的矩形，主视图是一个底边长为8、高为4的等腰三角形，左视图是一个底边长为6、高为4的等腰三角形．(1)求该几何体的体积V；(2)求该几何体的侧面积S.【答案解析】自学导引1．(1)幂势既同　平行　平行于　任意　相等　(2)底面积　高2．(1)Sh　πr2h　(2)Sh　πr2h(3)h(S＋＋S′)　πh(r2＋rr′＋r′2)对点讲练例1　解　 如图所示，O′、O分别是上、下底面的中心，连接OO′、O′B′、OB，在平面BCC′B′内过B′作B′D⊥BC于D，在平面BOO′B′内作B′E⊥OB于E.∵△A′B′C′是边长为2的等边三角形，O′是中心，∴O′B′＝×2×＝，同理OB＝，则BE＝OB－O′B′＝.在Rt△B′EB中，BB′＝，BE＝，∴B′E＝，即棱台高为cm.所以三棱台的体积为V棱台＝×(×16＋×4＋)＝(cm3)．由于棱台的侧面是等腰梯形，∴BD＝×(4－2)＝1.在Rt△B′DB中，BB′＝，BD＝1，∴B′D＝，即梯形的高为cm.所以棱台的表面积S＝S上底＋S下底＋S侧＝×4＋×16＋3××(2＋4)×＝5＋9(cm2)．所以棱台的表面积是(5＋9)cm2，体积是cm3.变式训练1　解　设该棱台的上、下底面边长分别为b和a，高为h，斜高为h′，侧棱长为l，则由题意得.∵h′＝12，l＝13，S侧＝720，∴，∴，∴V正四棱台＝××(202＋20×10＋102)＝(cm3)，即此四棱台的体积为cm3.例2　解　如图，在长方体中，PA、PB、PC两两互相垂直，显然AP⊥平面BPC. ∴AP是三棱锥A－PBC的高．∵S△BPC＝·BP·PC＝×3×4＝6，∴V三棱锥P－ABC＝V三棱锥A－PBC＝S△BPC·AP＝×6×2＝4.变式训练2　解　∵三棱锥P－ABC为正三棱锥，∴△ABC为正三角形，PA＝PB＝PC，∵侧棱PA、PB、PC两两互相垂直，且AB＝，∴可建立如图所示的正方体，则PA⊥平面PBC，PA＝PB＝PC＝1.∴V＝Sh＝S△PBC·PA＝××1×1×1＝.例3　解　由主视图与俯视图可得正三棱锥的直观图如图所示，且VA＝VB＝VC＝4，AB＝BC＝AC＝2，取BC的中点D，连接VD，则VD＝＝＝，∴S△VBC＝×VD×BC＝××2＝， S△ABC＝×(2)2×＝3，∴三棱锥V—ABC的表面积为3S△VBC＋S△ABC＝3＋3＝3(＋)．点V在底面ABC上的射影为H，则A，H，D三点共线，VH即为三棱锥V—ABC的高，VH＝＝＝＝2，∴VV—ABC＝S△ABC·VH＝×3×2＝6，所以正三棱锥的体积是6.变式训练3　C　[该空间几何体为一圆柱和一四棱锥组成，圆柱的底面半径为1，高为2，体积为2π，四棱锥的底面边长为，高为，所以体积为×()2×＝，所以该几何体的体积为2π＋.]课时作业1．D　[上底半径r＝1，下底半径R＝2，因为S侧＝6π，设母线为l，则π(1＋2)·l＝6π.∴l＝2.所以高h＝＝.∴V＝π·×(1＋1×2＋2×2)＝π.]2．C　[若底面圆周长为12，则2πr＝12，所以r＝，所以V＝π·2·8＝(cm3)．若底面圆周长为8，则2πr＝8，所以r＝，所以V＝π·2·12＝(cm3)．]3．C　[当俯视图为A中正方形时，几何体为边长为1的正方体，体积为1；当俯视图为B中圆时，几何体为底面半径为，高为1的圆柱，体积为；当俯视图为C中三角形时，几何体为三棱柱，且底面为直角边长为1的等腰直角三角形，高为1，体积为；当俯视图为D中扇形时，几何体为圆柱的，且体积为.]4．B　[设圆柱桶的底面半径为R，高为h，油桶直立时油面的高度为x，则h＝πR2x，所以＝－.] 5．C　[该空间几何体为一圆柱和一四棱锥组成，圆柱的底面半径为1，高为2，体积为2π，四棱锥的底面边长为，高为，所以体积为×()2×＝，所以该几何体的体积为2π＋.]6．224π解析　如图为圆台的轴截面，设圆台上、下底半径及圆台的高分别为x,4x,4x，则在三角形ABC中，AC＝4x，BC＝4x－x＝3x，AB＝10，由于AB2＝AC2＋BC2，∴16x2＋9x2＝25x2＝100，∴x＝2，从而可知圆台的上、下底面半径及高分别为2,8,8.∴圆台的体积V＝(S′＋＋S)h＝(π×22＋＋π×82)×8＝224π.7．4解析　本题主要考查棱柱的概念和棱柱的体积公式．长方体体积为72，则VAA1E—DD1F＝12，∴S△AA1E＝3，∴AE＝2.∴A1E＝，∴S矩形A1EFD1＝4.8．解　(1)直观图如图所示．(2)方法一　由三视图可知该几何体是长方体被截去一个角，且该几何体的体积是以A1A，A1D1，A1B1为棱的长方体的体积的，在直角梯形AA1B1B中，作BE⊥A1B1，则AA1EB是正方形，∴AA1＝BE＝1.在Rt△BEB1中，BE＝1，EB1＝1，∴BB1＝.∴几何体的表面积S＝S正方形AA1D1D＋2S梯形AA1B1B＋S矩形BB1C1C＋S正方形ABCD＋S矩形A1B1C1D1＝1＋2××(1＋2)×1＋1×＋1＋1×2＝7＋(m2)． ∴几何体的体积V＝×1×2×1＝(m3)，∴该几何体的表面积为(7＋)m2，体积为m3.方法二　几何体可以看作是以AA1B1B为底面的直四棱柱，其表面积求法同方法一，V直四棱柱D1C1CD－A1B1BA＝Sh＝×(1＋2)×1×1＝(m3)．∴几何体的表面积为(7＋)m2，体积为m3.9．解　(1)由该几何体的俯视图、主视图、左视图可知，该几何体是四棱锥，且四棱锥的底面ABCD是边长为6和8的矩形，高PO＝4，O点是AC与BD的交点．∴该几何体的体积V＝×8×6×4＝64.(2)如图所示，侧面PAB中，PE⊥AB，则PE＝＝＝5，∴S△PAB＝×AB×PE＝×8×5＝20，侧面PBC中，PF⊥BC，则PF＝＝＝4.∴S△PBC＝×BC×PF＝×6×4＝12，∴该几何体的侧面积S＝2(S△PAB＋S△PBC)＝40＋24.