高一柱、锥、台、球的表面积与体积

年级高一学科数学内容标题柱、锥、台、球的表面积与体积编稿老师刘震一、学习目标了解空间几何体的表面积和体积的计算公式,能够计算基本几何体及它们的简单组合体的表面积和体积.二、重点、难点重点：会求直棱柱、正棱锥、正棱台、圆柱、圆锥、圆台和球的表面积和体积.难点：几何体的侧面展开图，计算组合体的表面积和体积.三、考点分析近几年的高考中不仅有直接求多面体、旋转体的面积和体积问题，也有已知面积或体积求某些元素的量或元素间的位置关系问题.因而要熟练掌握多面体与旋转体的概念、性质以及它们的求积公式，学会运用等价转化思想把组合体的求积问题转化为基本几何体的求积问题，会把立体问题转化为平面问题求解，要重视方程的思想和割补法、等积转换法的运用.与本将内容有关的题目一般以选择题、填空题的形式出现，属基础或中档题.1.多面体的面积和体积公式名称侧面积（S侧）全面积（S全）体积（V）棱柱棱柱直截面周长×lS侧+2S底S底·h=S直截面·h直棱柱chS底·h棱锥棱锥各侧面面积之和S侧+S底S底·h正棱锥ch′棱台棱台各侧面面积之和S侧+S上底+S下底h(S上底+S下底+)正棱台(c+c′)h′表中S表示面积，c′、c分别表示上、下底面的周长，h表示高度，h′表示斜高，l表示侧棱长.2.旋转体的面积和体积公式 名称圆柱圆锥圆台球S侧2πrlπrlπ(r1+r2)lS全2πr(l+r)πr(l+r)π(r1+r2)l+π(r21+r22)4πR2Vπr2h（即πr2l）πr2hπh(r21+r1r2+r22)πR3表中l、h分别表示母线长、高，r表示圆柱、圆锥与球冠的底面半径，r1、r2分别表示圆台上、下底面的半径，R表示半径.知识点一：柱、锥、台体的表面积例1：三棱锥中，为等边三角形，侧面积是底面积的2倍.，且该三棱锥的高，为的中心，且垂直于内任意直线，求其表面积.思路分析：构造棱锥的高、斜高所在的直角三角形，利用方程思想求解解答过程：设该三棱锥底面边长为，侧面的高为，如图，过作，，.，..，.即.，.，，.解题后的思考：构造直角三角形，利用勾股定理来建立方程，求得未知量的方程思想在计算中经常用到.知识点二：柱、锥、台体的体积 例2：已知正三棱台（上、下底是正三角形，上底面的中心在下底面的投影是下面底中心）的上、下底面边长分别是2cm与4cm，侧棱长是cm，试求该三棱台的体积.思路分析：利用棱台的体积计算公式，求出棱台的高，上、下底面的面积，代入公式即可.解答过程：如图所示，、是上、下底面的中心，连结、、，在平面内作于.是边长为2的等边三角形，是中心，，同理，则.在中，，，，即棱台高为cm.所以三棱台的体积为（cm3）.解题后的思考：将求体积的立体问题转化为平面问题求解，是立体几何中的常用方法.例3：在边长为的正方体中，，，分别是棱，，上的点，且满足，，，试求三棱锥的体积.思路分析：若用公式直接计算三棱锥的体积，则需要求出的面积和该三棱锥的高，这两者显然都不易求出，但若将三棱锥的顶点和底面转换一下，变为求三棱锥的体积，便能很容易的求出其高和底面 的面积，从而代入公式求解.解答过程：.解题后的思考：转换顶点和底面是求三棱锥体积的一种常用方法，也是以后学习求点到平面距离的一个理论依据.例4：如图，在三棱柱中，，分别为，的中点，平面将三棱柱分成两部分，求这两部分的体积之比.思路分析：截面将三棱柱分成两部分，一部分是三棱台；另一部分是一个不规则几何体，其体积可以利用棱柱的体积减去棱台的体积求得.解答过程：设棱柱的底面积为，高为，其体积.则三角形的面积为.由于，则剩余不规则几何体的体积为.所以两部分的体积之比为.解题后的思考：在求一个几何体被分成的两部分体积之比时，若有一部分为不规则几何体，则可用整个几何体的体积减去规则几何体的体积求出其体积，再进行计算.知识点三：几何体的侧面展开图例5：如图所示，长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=a，BC=b，BB1=c，并且a＞b＞c＞0.求沿着长方体的表面自A到C1的最短线路的长.思路分析：求几何体表面上的最短距离问题一般都是利用展开图，将几何体展开，把空间问题平面化，然后利用“两点之间线段最短”的性质求解. 解答过程：将长方体相邻两个面展开有下列三种可能，如图所示.甲、乙、丙三个图形中AC1的长分别为：=，=，=，∵a＞b＞c＞0,∴ab＞ac＞bc＞0.故最短线路的长为.解题后的思考：要注意长方体展开图的几种不同的情况，不要遗漏.知识点四：根据三视图求几何体的表面积或体积例6：已知某几何体的俯视图是如图所示的矩形，正视图（或称主视图）是一个底边长为8、高为4的等腰三角形，侧视图（或称左视图）是一个底边长为6、高为4的等腰三角形.（1）求该几何体的体积V；（2）求该几何体的侧面积S思路分析：根据三视图所提供的信息，先确定该几何体的立体图形，再根据所给数据求解.解答过程：如图所示，由题设可知，几何体是一个高为4的四棱锥，其底面是长、宽分别为8和6的矩形，正侧面及其相对侧面均为底边长为8，高为h1的等腰三角形，左、右侧面均为底边长为6、高为h2的等腰三角形.（1）该几何体的体积为：.（2）正侧面及相对侧面底边上的高为：.左、右侧面的底边上的高为：.故该几何体的侧面积为：.解题后的思考：在课改地区的高考题中，求几何体的表面积与体积的问题经常与三视图的知识结合在一起，综合考查. 知识点五：球的表面积和体积的计算例7：一个球内有相距9cm的两个平行截面，它们的面积分别为49cm2和400cm2，求球的表面积和体积.思路分析：求球的表面积和体积关键是求出球的半径，可考虑球的轴截面.解答过程：（1）当截面在球心的同侧时，如图所示为球的轴截面.由球的截面性质，知，且、分别为两截面圆的圆心，则，.设球的半径为.，.同理，，.设，则.在中，，在中，，，解得.，.（cm2），（cm3），球的表面积为2500cm2，体积为cm3.（2）当截面位于球心的两侧时，如图所示为球的轴截面.由球的截面性质，知，且、分别为两截面圆的圆心，则，.设球的半径为.，.同理，，. 设，则.在中，.在中，，，解得，不合题意，舍去.综上所述，球的表面积为2500cm2，体积为cm3.解题后的思考：解题时要注意，球的截面可能位于球心的同侧，也可能位于球心的两侧.知识点六：组合体的问题例8：求半径为的球内接正方体的表面积.思路分析：正方体内接球时，球与正方体关系如图（1），过不相邻的两条棱的平面截球，所得截面如图（2），只有深刻理解其相互关系，才能画出正确的截面图进行解题.解答过程：如图（1）所示，设正方体棱长为，为正方体的对角线，那么，，.即正方体的表面积为.解题后的思考：组合体问题，尤其是球与其他几何体的组合问题，一直是高考中的热点，所以同学们在平时的解题中应注意观察，有关球的组合体中各图形的位置关系.（答题时间：60分钟）一、选择题1.如果一个空间几何体的正视图与侧视图均为等边三角形，俯视图为一个半径为3的圆及其圆心，那么这个几何体的体积为（）A.π　　　B.3π　　　C.3π　　　D.9π2.若正方体的八个顶点中有四个恰好是正四面体的顶点，则正方体的表面积与正四面体的表面积之比是（） A.B.C.D.3.已知一个空间几何体的三视图及其尺寸如图所示，则该空间几何体的体积是（）A.　　B.　　　　　　C.14　　　　　　D.74.一个棱锥的三视图如图，则该棱锥的全面积（单位：cm2）为（）A.B.C.D.二、填空题5.一个长方体共顶点的三个面的面积分别为、、，这个长方体对角线的长是__________6.如下图是一个几何体的三视图（单位：m），则该几何体的体积为________.7.如图是一个几何体的三视图.若它的体积是3，则a＝________. 8.已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱的高为4，体积为16，则这个球的表面积是.三、解答题9.如图所示，长方体ABCD—中，用截面截下一个棱锥C—，求棱锥C—的体积与剩余部分的体积之比.10.一个母线长与底面圆直径相等的圆锥形容器，里面装满水，一铁球沉入水内，有水溢出，容器盖上一平板，恰与球相切，问容器内剩下的水是原来的几分之几？ 一、选择题1.D2.A解析：如图所示，正方体的、、、的四个顶点可构成一个正四面体，设正方体边长为，则正四面体边长为.正方体表面积，正四面体表面积为，.3.A解析：这个空间几何体是一个一条侧棱垂直于底面的四棱台，这个四棱台的高是2，上底面是边长为1的正方形、下底面是边长为2的正方形，故其体积V＝×(12＋＋22)×2＝.4.A解析：如图所示三棱锥.，点为的中点，，，，.，.取中点，连接、，可得，，，.二、填空题 5.6.12m3解析：如图所示，此几何体是一个以AA1，A1D1，A1B1为棱的长方体被平面BB1C1C截去后得到的，易得其体积为长方体体积的，因为长方体的体积为2×4×2＝16（m3），故所求几何体的体积为12m3.7.解析：由三视图可知该几何体为一个直三棱柱，底面三角形中边长为2的边上的高为a，∴V＝3×＝3，a＝.8.24三、解答题9.解：已知长方体可看成直四棱柱—.设它的底面的面积为S，高为h，则它的体积为V=Sh.而棱锥C—的底面面积为S，高是h,因此，棱锥C—的体积VC—A′DD′=×Sh=Sh.剩余部分的体积是Sh-Sh=Sh.所以棱锥C—的体积与剩余部分的体积之比为1∶5.10.解：设球的半径为，则圆锥的高，底面半径，剩下的水量是原来的：.容器内剩下的水是原来的.