高中数学-柱锥台和球的体积预习导学案

1.1.7柱、锥、台和球的体积预习导航课程目标学习脉络1．理解棱柱、棱锥和棱台体积公式的推导，利用“祖暅原理”将空间问题转化为平面问题．2．了解球的体积公式，会计算球的体积．3．熟练运用体积公式求多面体和简单旋转体的体积．4．掌握柱体、锥体、台体体积公式之间的关系，了解求几何体体积的几种技巧．1．祖暅原理(1)“幂势既同，则积不容异”，即“夹在两个平行平面间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等”．(2)作用：等底面积、等高的两个柱体或锥体的体积相等．(3)说明：祖暅原理充分体现了空间与平面问题的相互转化思想，是推导柱、锥、台体积公式的理论依据．思考1运用祖暅原理来证明两个几何体的体积相等，需要几个条件？分别是什么？提示：需要三个条件，分别是：(1)这两个几何体夹在两个平行平面之间．(2)平行于两个平行平面的每一个平面可截得两个截面．(3)两个截面的面积总相等．2．柱、锥、台的体积柱体、锥体、台体的体积公式如下表，其中S′，S分别表示上、下底面的面积，h表示高，r′和r分别表示上、下底面圆的半径．名称体积(V)柱体棱柱Sh圆柱πr2h锥体棱锥2 圆锥πr2h台体棱台h(S＋＋S′)圆台πh(r2＋rr′＋r′2)思考2求三棱锥的体积时有什么技巧？提示：因为三棱锥的任何一个面都可以作为它的底面，因此求三棱锥的体积时可以更换三棱锥的顶点和底面，寻求底面积与高易求的三棱锥．思考3台体可以还原为锥体，那么台体的体积可以怎样求？提示：台体是由锥体用平行于底面的平面截得的几何体，所以它的体积也可以转化为两个锥体的体积之差．求解过程如下：如图所示，设台体(棱台或圆台)上、下底面面积分别是S′，S，高是h，设截得台体时去掉的锥体的高是x，则截得这个台体的锥体的高是h＋x，则V台体＝V大锥体－V小锥体＝S(h＋x)－S′x＝[Sh＋(S－S′)x]，而＝，所以＝，于是有x＝，代入体积表达式，得V台体＝＝h(S＋＋S′)．特别提醒柱体、锥体、台体之间的关系3．球的体积V球＝，其中R为球的半径．思考4球的半径变为原来的3倍，则它的体积变为原来的多少倍？提示：27倍．2