《柱、锥、台和球的体积》教案4（新人教B版必修2）

高中新课标教材（人教版■数学（》间1.1.7柱、锥、台和球的体积（一）教学目标：了解柱、锥、台的体积的计算方法教学重点：了解柱、锥、台的体积的计算方法教学过程：（一）祖咆原理：祖唯（音geng）,一名祖唯之，是祖冲之的儿子，他的活动时期大约在公元504-526年.祖氏父子在数学和天文学上都有杰出的贡献.祖H恒的主要工作是修补编辑祖冲之的《缀术》.他推导球体积公式的方法非常巧妙.根据中国算书《九章算术》中李淳风的注释，下面我们使用现代的术语，并将原来的图形略加修改，把祖龍当时推导球体积公式的方法介绍如下：作一个几何体\仁底面0ABC是一个正方形，边长为I'（图2-18）.高OD=r,且OD丄底面AC,DRC,踰都是以O为圆心，以r为半径的圆的、且平行于庭面的任畫平面与几何休的戡面都是正方聚・在OD上取一点S,过点S与底面平行的截面为SPQR,设它的边长为a,OS为h,则截面面积a2=r2-h2.DAB图2-18 E2-19另取一个边长为r的正方体V2（图2-19）,连结0’，，0’C‘,0z2，锥体0’-屮WC‘D'记作\0,V2-V3是正方体0’L挖去锥体0f-AzBzC‘D'剩下的几何体.下面来证明VfV2-V3.设平行于底面与底面距离为h的平面，截V2的截面是正方形P‘TS/M,面积等于忙，截Vs的截面是正方形Q‘TR‘N,面积等于『（因为Q'20'T=h）,所以这两个正方形的差形成曲尺形P‘Q‘NR'S,M,它的面积等于T-hl比较£与\。-\仃在等高（h）处的截面，它们的面积都是r2-h2,因此体积相等，即VfV2-V3.祖眶原理的原文是“幕势既同，则积不容异.”“幕”是截面积，“势”是几何体的高.意思是:两个同高的几何体，如果与底等距离的截面积总相等，那么几何体的体积相等•这就是现在说的：夹在两个平行平面间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截,如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个儿何体的体积相等.由此可知哥■耳•巧再林毎为2烬«關牠的；萍TRXB芥屯，ansfttt积为V,是未知数）.和Vi比较，在高h处的截面积C"EF是以8为半径的腸的，它的面积是三黄F・h"而比在与底面距离为1的戡444 面面积是^■疋.梅据耳:Vj应该铮于截面积的比.ffv4：y=J（?-C3|r3-p・SM洋的体积・8J0这是一个十分巧妙旦简明&9证咗.E2-20祖眶提出的“幕势既同，则积不容异”，及“体积之比等于对应截面积之比”，在这里是当作公理使用•提法"幕势既同，则积不容异”，在西方通常叫做“卡瓦列利原理v（Cavalierisches,Prinzip）.卡瓦列利［米兰Milan（现意大利城市）人［在他的名著《连续不可分几何》中提出这一原理，这本书出版于1635年.（二）长方体的体积V=Sh（三）利用祖Hfi原理可以说明：等底面积等高的长方体与柱体的体积相等，故柱体的体积为:V=Sh（四）利用祖眶原理可以说明：等底面积等高的锥体的体积均相等（五）三棱住可以分割成三个体积相等的锥故锥体的体积为V=-Sh3（六）利用两个锥体做差可得台体的体积公式V=丄（S*届+S）h（七）例子：（1）长方体的三个面的面积分别为2、6和9,则长方体的体积为［］K.7B.8C.3^6D.6^3 (2)平行六面体ABCD-A.B.C.D.中，在从B点出发的三条棱上分别取其中点E、F、G,则棱锥B-EFG的体积是平行六面体体积的[]5B-4©•占=>■(3)如果一个正四面体的体积为9dnf,则其表而积S的值为[]札B.IMa1C.D.12