2019年高中数学第一章柱、锥、台、球的结构特征1.1.2简单组合体的结构特征课时作业（含解析）

1.1.1　柱、锥、台、球的结构特征1.1.2　简单组合体的结构特征1.下列命题中,正确的是(　D　)(A)有两个面互相平行,其余各面都是四边形的几何体是棱柱(B)棱柱中互相平行的两个面叫做棱柱的底面(C)棱柱的侧面都是平行四边形,而底面不是平行四边形(D)棱柱的侧棱都相等,侧面是平行四边形解析:根据棱柱的概念及性质可知D正确.2.下面关于棱锥的说法正确的是(　D　)(A)有一个面是多边形,其余各面都是三角形的几何体是棱锥(B)底面是正多边形的棱锥是正棱锥(C)正棱锥的侧棱不一定相等(D)过棱锥的不相邻的两侧棱的截面是三角形解析:由于A中缺少了定义中的“其余各面是有一个公共顶点的三角形”,故A不正确;由于正棱锥的概念中除了底面是正多边形外,还要求顶点在底面上的射影是底面的中心,否则就不是正棱锥,故B不正确;根据正棱锥的概念可知,正棱锥的侧棱长相等,故C不正确,D显然正确.3.下列四个命题:①圆柱是以矩形旋转一周所得的几何体;②以直角三角形的一边为旋转轴,旋转所得几何体是圆锥;③圆台的任意两条母线的延长线,可能相交也可能不相交;④圆锥的轴截面是等腰三角形.其中错误命题的个数是(　C　)(A)1(B)2(C)3(D)4解析:①圆柱是以矩形的一边为轴旋转而成的,故①错;②圆锥是以直角三角形的一条直角边为轴旋转而成的,若是以斜边为轴旋转,则不能形成圆锥,故②错;③圆台的任意两条母线的延长线必相交,故③错;④因为圆锥的母线长相等,所以圆锥的轴截面是等腰三角形,故④对.4.正六棱柱ABCDEF-A1B1C1D1E1F1的底面边长为,侧棱长为1,则动点从A沿表面移到点D1时的最短的路程是(　A　)(A)2(B)28(C)2(D)24解:如图所示.将正六棱柱的侧面展开,只需展开一半,即可求A与D1之间的距离.A=AD2+D=(3)2+1=28.所以AD1=2.5.如图所示,模块①～⑤均由4个棱长为1的小正方体构成,模块⑥由15个棱长为1的小正方体构成.现从模块①～⑤中选出三个放到模块⑥上,使得模块⑥成为一个棱长为3的大正方体.则下列选择方案中,能够完成任务的为(　A　) (A)模块①②⑤(B)模块①③⑤(C)模块②④⑤(D)模块③④⑤解析:逐个选择检验可知,①②⑤符合要求.6.如图所示,在三棱台ABCA′B′C′中,截去三棱锥A′ABC,则剩余部分是(　B　)(A)三棱锥(B)四棱锥(C)三棱柱(D)组合体解析:剩余部分是四棱锥A′-BB′C′C,故选B.7.在梯形ABCD中,∠ABC=,AD∥BC,BC=2AD=2AB=2.将梯形ABCD绕AD所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的轴截面的面积为(　C　)(A)1(B)2(C)3(D)4解析:如图所示,过点D作BC的垂线,垂足为点H.由旋转法的定义可知,该梯形绕AD所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体为一个圆柱挖去一个圆锥.因此其轴截面的面积为梯形ABCD面积的2倍,即S轴截面=2××(1+2)×1=3,故选C.8.若圆台轴截面的两条对角线互相垂直,且上下底面半径之比为3∶4,又其高为14,则圆台的母线长为(　C　)(A)8(B)10(C)20(D)6解析:如图所示, 由题可知=,因为=,又h=14,所以OO1=6,OO2=8,又BD⊥AC,所以△AOD,△BOC均为等腰直角三角形,所以r=6,R=8,所以母线长l===20.9.在下面的四个平面图形中,哪几个是侧棱都相等的四面体的展开图　　　　.(填序号) 解析:结合展开图与四面体,尝试折叠过程,可知①、②正确.答案:①②10.若正三棱锥的底面周长为9,侧棱长为2,则该棱锥的高为　　　　. 解析:由题意得,正三棱锥的底面边长为=3,又三棱锥为正三棱锥,顶点P在底面上的射影为底面△ABC的中心O,且AO=3sin60°×=,所以三棱锥的高h===1.答案:111.如图中的组合体的结构特征有以下几种说法:(1)由一个长方体割去一个四棱柱构成.(2)由一个长方体与两个四棱柱组合而成. (3)由一个长方体挖去一个四棱台构成.(4)由一个长方体与两个四棱台组合而成.其中正确说法的序号是　　　　. 解析:本题中的组合体可以看成是一个大的长方体割去一个四棱柱构成,也可以看成是一个小的长方体在肩上加两个四棱柱组合而成.答案:(1)(2)12.如图,在正方体上任意选择4个顶点,它们可能是如下各种几何形体的4个顶点,这些几何形体是　　　　. ①矩形;②不是矩形的平行四边形;③三个面为等腰直角三角形,一个面为等边三角形的四面体;④每个面都是等边三角形的四面体;⑤每个面都是直角三角形的四面体.解析:①正确,如四边形A1D1CB为矩形;②错误,任意选择4个顶点,若组成一个平面图形,则必为矩形,如四边形ABCD为正方形,四边形A1D1CB为矩形;③正确,如四面体AA1BD;④正确,如四面体A1C1BD;⑤正确,如四面体B1ABD.答案:①③④⑤13.在如图所示的三棱柱中放置着高为h的水,现将三棱柱倒放,使面ACC1A1着地,则此时水所形成的几何体是棱柱吗?为什么?解:是棱柱,如图所示,这是因为将平面ACC1A1着地,上面的水平面为DD1E1E,则水所形成的几何体为四棱柱ADECA1D1E1C1,其中面ADEC与面A1D1E1C1平行,且全等,侧面AA1D1D,DD1E1E,CC1E1E,AA1C1C分别为平行四边形,故水所形成的几何体为棱柱.14.一个圆台的母线长为12cm,两底面面积分别为4πcm2和25πcm2.求:(1)圆台的高;(2)截得此圆台的圆锥的母线长.解:(1)如图所示,圆台的轴截面是等腰梯形ABCD,由已知,得上底面半径O1A=2cm,下底面半径OB=5cm,又腰长为12cm,所以高AM==3(cm). (2)设截得此圆台的圆锥的母线长为l.由△SAO1∽△SBO,得=.所以l=20(cm).即截得此圆台的圆锥的母线长为20cm.15.如图所示,在正三棱柱ABCA1B1C1中,AB=AA1=2,由顶点B沿棱柱侧面(经过棱AA1)到达顶点C1,与AA1的交点记为M.求:(1)三棱柱侧面展开图的对角线长;(2)从B经过M到C1的最短路线长及此时的值.解:沿侧棱BB1将正三棱柱的侧面展开,得到一个矩形BB1B1′B′(如图所示).(1)矩形BB1B1′B′的长BB′=3×2=6,宽BB1=2,所以三棱柱侧面展开图的对角线长为BB1′==2.(2)由侧面展开图可知:当B,M,C1三点共线时,由B经M到点C1的路线最短,所以最短路线长为BC1==2.显然Rt△ABM≌Rt△A1C1M,所以A1M=AM,即=1.16.如图所示,观察四个几何体,其中判断正确的是(　C　) (A)①是棱台(B)②是圆台(C)③是棱锥(D)④不是棱柱解析:图①中的几何体不是由棱锥截来的,且上、下底面不是相似的图形,所以①不是棱台;图②中的几何体上、下两个面不平行,所以②不是圆台;图③中的几何体是棱锥.图④中的几何体前、后两个面平行,其他面是平行四边形,且每相邻两个平行四边形的公共边平行,所以④是棱柱.故选C.17.如图,在正四棱柱ABCDA1B1C1D1中,AB=1,AA1=,点E为AB上的动点,则D1E+CE的最小值为(　B　)(A)2(B)(C)+1(D)2+解析:如图,将正方形ABCD沿AB向下旋转到对角面ABC1D1内,记为正方形ABC2D2.在矩形C1D1D2C2中连接D1C2,与AB的交点为E,此时D1E+CE取得最小值,最小值为D1C2.因为BC1==2,所以C1C2=3,故D1C2===.18.如图,在正方体ABCDA1B1C1D1中,AB=1,DD1的中点为Q,过A,Q,B1三点的截面面积为　　　　.  解析:截面是如图所示的等腰梯形QEB1A,经过C1D1的中点E.因为EQ=,AB1=,AQ=B1E=,所以该梯形的高为,所以截面面积为S=×(+)×=.答案:19.下列四个平面图形都是正方体的展开图,还原成正方体后,数字排列规律完全一样的两个是　　　　(填序号). 解析:将平面展开图还原成正方体,易得(2)(3)的数字排列规律完全一样.答案:(2)(3)20.如图,圆台的母线AB的长为20cm,上、下底面的半径分别为5cm,10cm,从母线AB的中点M处拉一条绳子绕圆台侧面转到B点,求这条绳子长度的最小值.解:作出圆台的侧面展开图,如图所示, 由Rt△OPA与Rt△OQB相似,得=,即=,解得OA=20cm,所以OB=40cm.设∠BOB′=α,由弧BB′的长与底面圆Q的周长相等,得2×10×π=π·OB·,解得α=90°.所以在Rt△B′OM中,B′M2=OB′2+OM2=402+302=502,所以B′M=50cm.即所求绳长的最小值为50cm.点评:空间中直接求曲线的最长(短)距离不易解决,但平面中求距离的最值问题比较容易,因此将空间问题转化成平面问题是解决本类题的常用方法.本题要实现转化,只需将圆台侧面展开即可.