1.1.7柱、锥、台和球体的体积

高中数学课程设计课题1.1.7柱、锥、台和球体的体积课型主备人李冬旭上课教师李冬旭上课时间学习目标1.记住棱柱、棱锥、和棱台的体积公式2.会利用公式棱柱、棱锥、和棱台的体积公式教学重点棱柱、棱锥、和棱台的体积公式的推导方法以及祖暅原理。教学难点祖暅原理的理解及棱柱、棱锥、棱台和球的体积公式的应用教师准备教学过程时间分配集备修正研习点1.祖暅原理祖暅原理：幂势既同，则积不容异.也就是说，夹在两个平行平面间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等.如何理解祖暅原理？祖暅原理是推导柱、锥、台和球体积公式的基础和纽带，原理中含有三个条件，条件一是两个几何体夹在两个平行平面之间，条件二是用平行于两个平行平面的任何一平面可截得两个平面，条件三是两个截面的面积总相等，这三个条件缺一不可，否则结论不成立.这个原理是非常浅显易懂的，例如取一摞纸张堆放在桌面上，将它们如下图的右图那样改变一下形状，这时高度没有改变，每页纸的面积也没有改变，因而这摞纸的体积与变形前相等.研习点2棱柱和圆柱的体积1’5x5’4/4 高中数学课程设计1．柱体（棱柱和圆柱）的体积等于它的底面积S和高h的积.即V柱体=S·h.设有一个棱柱、一个圆柱和一个长方体，它们的底面积相等，都等于S，高都等于h，它们的下底面都在同一平面上.因为它们的上底面和下底面平行，并且高相等，所以它们的上底面都在和下底面平行的同一个平面内.用与底面平行的任意平面去截它们时，所得的截面面积都等于S，根据祖暅原理，它们的体积相等.由于长方体的体积等于它的底面积和高的乘积，于是我们得到柱体的体积计算公式是V柱体=S·h..底面半径是R，高为的圆柱体的体积的计算公式是S圆柱=πR2h.研习点3.棱锥和圆锥的体积1.如果一个锥体（棱锥、圆锥）的底面积是S，高是h，那么它的体积是V锥体=Sh.2.如果圆锥的底面半径是R，高是，则它的体积是V圆锥=πR2h.如何理解锥体体积的推导？在推导棱锥的体积公式时，是将三棱柱分为三个三棱锥，这三个三棱锥变换它们的底面和顶点，可以得到它们两两之间等底面积、等高，因此它们的体积相等，都等于三棱柱体积的三分之一，在这个过程中一是运用了等积转换的方法，二是运用了割补法，这些方法在今后解题时要灵活运用.研习点4棱台和圆台的体积1.V台体=；其中S、S’分别为台体上、下底面面积，h为台体的高.2．V圆台=π(r2+Rr+R2)h，其中r、R分别为圆台的上、下底面的半径，高为h.研习点5球的体积V球=，其中R为球的半径.柱体、锥体、台体的体积公式间的关系4/4 高中数学课程设计研习点6多面体体积的求法多面体体积的常用求法有：1．直接法；2．换底法；3．分割法；4．补体法.题型1.考查柱体的体积例1.三棱柱ABC－A1B1C1中，若E、F,分别为AB、AC的中点，平面EBC1F,将三棱柱分成体积为V1、V2的两部分，那么V1:V2=.【探究】V1对应的几何体AEF－A1B1C1是一个棱台，一个底面的面积与棱柱的底面积相等，另一个底面的面积等于棱柱底面的，V2对应的是一个不规则的几何体，显然V2的体积无法直接表示，可以考虑间接的办法，用三棱柱的体积减去V1来表示.【研析】设三棱柱的高为h，底面的面积为S，体积为V，则V=V1+V2=Sh，∵E，F分别为AB、AC的中点，∴S△AEF=S.V1=,V2=Sh－V1=,∴V1：V2=7：5.例2.已知等边圆柱（轴截面是正方形的圆柱）的全面积为S，求其内接正四棱柱的体积。【探究】要解决此题首先要画出合适的轴截面图来帮助我们思考，要求内接正四棱柱的体积，只需求出等边圆柱的底面圆半径r9’6’3’4/4 高中数学课程设计，根据已知条件可以用S表示它。【研析】如图，设等边圆柱的底面半径为r，则高h=2r，∴内接正四棱柱的底面边长a=2rsin45°=r即圆柱的内接正四棱柱的体积为作业步步高高下作业课后习题板书设计棱锥、棱台体积例题1练习（1）棱锥、棱台体积例题2（2）小结棱锥、棱台体积例题3（3）课后反思题是正四棱柱与圆柱的相接问题，解决这类问题的关键是找到相接几何体之间的联系，如本例中正四棱柱的底面对角线的长与圆柱的底面直径相等，正四棱柱的高与圆柱的母线长相等，通过这些关系可以实现已知条件的相互转化。4/4