20 柱、锥、台体的体积

20柱、锥、台体的体积教材分析这节内容是在学完多面体与旋转体的概念、性质、画法、侧面积、表面积以后，在体积概念与体积公理的基础上，研究柱、锥、台体的体积．其中柱体体积是基础，并且由柱体体积可推导出锥体体积，而根据锥体体积又可得出台体体积．柱、锥、台体的体积是立体几何的重要内容，是历年高考的重点．通过这节知识的学习，既要使学生知道三种几何体体积的公式，又要让学生知道这些公式是怎么得出的．三种几何体的体积公式的推导是教学的重中之重．教学目标1.使学生掌握柱、锥、台体的体积公式及其初步应用．2.通过对三种几何体体积公式的探索，使学生学会观察、类比、归纳、猜想等方法，培养学生分析、抽象、概括及逻辑推理能力．3.通过三种几何体体积公式的探索，培养学生独立思考、刻苦钻研、孜孜以求的毅力及勇于探索、创新的精神．任务分析对于体积这一内容，学生早在小学就有了初步认识，如长方体的体积公式．但如何推导锥、台体体积是目前的重要任务．三种几何体的体积公式的推导有着密切的联系，教学时要不断强化三者之间的关系，强化借助用已知来研究未知这种探索问题的一般性的研究方法．柱、锥体体积公式推导的理论基础是祖原理．为此，必须将祖原理要求的三个条件务必要落实到位，只有这样，棱柱、圆柱与长方体之间的体积转化以及一般棱锥与三棱锥之间的体积转化才能水到渠成．三棱锥体积公式的推导是本节的重点，也是难点．要充分利用多媒体，通过课件演示，生动形象地表现三棱锥与三棱柱体积之间的关系，让学生充分体会割补变换这一数学思想．最后，利用台体的定义，并紧扣台体与锥体的关系，求出台体体积．教学设计一、问题情景在多媒体屏幕上播出阿基米德利用水来辨别金王冠纯度高低的故事．通过这个故事教师指出，在古代，人们就对体积的求法进行了探索．接着指出我国古代在公元5世纪对体积曾进行过比较深入的研究，引出祖原理． 二、建立模型（一）祖原理在屏幕上显示祖原理．教师强调这个原理在欧洲直到17世纪才被意大利的卡瓦列里提出，比祖之晚1100年以上，目的在于激发学生的爱国热情．1.学生讨论教师启发能否根据原理的思想，利用手中的课本等道具把这个原理解释一下．2.练　习设有底面积与高都相等的长方体和六棱柱，思考这两个几何体的体积有何关系．说明：由于祖原理条件比较复杂，学生不易弄清，教师要把已知条件分析清：（1）这两个几何体夹在两个平行平面之间．（2）用平行于两个平行平面的任一平面去截两几何体可得两个截面．（3）两个截面的面积相等．只有这三个条件都具备，才能得出两个几何体的体积相等．（二）柱体体积公式的推导［问　题］设有底面积都等于S，高都等于h的任意一个棱柱，一个圆柱，如何求这两个几何体的体积？为了把这个问题让学生水到渠成地想出来，可以提出以下几个阶梯性的问题．（1）柱体体积公式目前不知道，那么同学们会求什么特殊几何体的体积呢？（2）根据刚才对祖原理的研究发现，如果两个几何体满足祖原理中的三个条件，那么这两个几何体的体积就可以相互转化．柱体的体积公式目前不会求，能否利用祖原理把目标几何体的体积转化为长方体的体积呢？教师进一步引导：构造一长方体，使已知的棱柱、圆柱与构造的长方体满足祖原理的条件．（3）长方体如何出现呢？让学生讨论得出：已知棱柱、圆柱目前已经夹在两平行平面之间，并且底面积相等，所以只要在两平行平面之间放一个与前面两几何体底面积相等、高相等的长方体即可．根据祖原理这三个几何体的体积相等，而长方体体积可以利用底面积乘高求得，故两目标几何体的体积也就得出了． 教师在大屏幕上显示推导过程：先把棱柱放在两平行平面之间，然后再让长方体出现，最后动态地显示三个几何体被平行于两个平行平面的任一平面去截两几何体可得三个截面；三个截面的面积相等．教师明晰：柱体（棱柱、圆柱）的体积等于它的底面积S和高h的积，即V柱体＝Sh．［练　习］已知一圆柱的底面半径r，高是h，求圆柱的体积．教师明晰：底面半径为r，高为h的圆柱的体积V圆柱＝Sh＝πr2h．（三）锥体体积公式的推导1.等底面积等高的两个锥体的体积的关系［问　题］（1）刚才我们利用祖原理获得了等底面积等高的柱体与长方体（两个柱体）等体积，那么等底面积等高的两个锥体的体积之间有什么关系呢？（2）你们怎么知道它们的体积是相等的？（有的学生会说是估计的）（3）能证实你们估计的结论（猜想）吗？（有了前面连续两次用祖原理证明等底等高的两个柱体体积相等，学生的这个猜想就比较容易再次利用祖原理来证明）师生共同分析：用祖原理．设有任意两个锥体，不妨选取一个三棱锥，一个圆锥，并设它们的底面积都是S，高都是h（如图20-1）．（1）把这两个锥体的底面放在同一个平面α上．由于它们的高相等，故它们的顶点必在与α平行的同一个平面β上，即这两个锥体可夹在两个平行平面α，β之间． （2）用平行于平面α的任意平面去截这两个锥体，设截面面积分别为S1，S2，截面和顶点的距离是h1，体积分别为V1，V2，则由锥体平行于底面的截面性质，知．所以，故S1＝S2．由祖原理，知V1＝V2．（学生叙述，教师板书）结论：如果两个锥体的底面积相等，高也相等，那么它们的体积相等．教师明晰：等底面积等高的两个锥体的体积相等．（由学生提出问题、分析问题并解决问题，这是对学生高层次的要求．当学生达不到这个层次时，可由教师提出问题，学生分析问题和解决问题．教师提出问题后要给学生观察、比较、分析、归纳、猜想、发现的时间．著名数学教育家波利亚曾提出：只要数学的学习过程稍能反映出数学发明的过程，那么就应当让猜想、合情推理占有适当的位置．猜想后还要严格地证明，合情推理与逻辑推理并重，既教证明又教猜想，这才是解决问题的完整过程）2.锥体体积公式的推导教师启发：上述定理只是回答了具有等底面积、等高的两个锥体的体积之间的相等关系，但这个体积如何求出，能否像柱体那样有一个体积公式仍然是一个谜．然而它给了我们一个求锥体体积的有益启示：只须找到一个“简单”的锥体作为代表，如果这个代表的体积求出来了，那么，根据等底面积等高的两个锥体的体积即可获得其他锥体的体积．［问　题］（1）用怎样的“简单”锥体作代表来研究呢？（2）如何求这类锥体的体积呢？（此时学生思考受阻，可由教师启发）（3）任何新知识都是在已知旧知识的基础上发展起来的，现在我们已经能求出柱体的体积．那么三棱锥的体积能否借助柱体的体积公式来求呢？教师启发：可以尝试补成三棱柱，然后考虑三棱锥与三棱柱之间体积的关系．此时应该给学生留出充分的时间，让他们在练习本上把如图20-2三棱锥A′—ABC以底面△ABC为底面，AA′为侧棱补成一个三棱柱ABC—A′B′C′． 教师利用多媒体把这个三棱柱补出来（在屏幕上动态地补出）．（4）在三棱柱中，除三棱锥A′—ABC外的几何体是不规则的，如能转化成规则的就好了，如何转化呢？教师启发：连接点B′，C，就可把这个不规则的几何体分割成两个三棱锥．教师利用屏幕动态显示分割过程［分割三棱柱ABC—A′B′C′得三棱锥（1），（2），（3）．如图20-3．（5）思考一下分割而得的三个三棱锥之间有何关系？学生讨论得出：体积相等．（6）为什么相等？试简要证明．（引导学生思考两个锥体等体积的依据———前面定理的条件：（1）等底面积．（2）等高）师生共同分析，同时教师板书：在三棱锥（2），（3）中，S△ABA′＝S△B′A′B，又由于它们有相同顶点C，故高也相等，所以V（2）＝V（3）．又在三棱锥（3），（4）中，SBCB′＝S△B′C′C，它们有相同顶点A′，故高也相等，所以V（3）＝V（4），所以V（2）＝V（3）＝V（4）＝V棱柱ABC—A′B′C′＝Sh．（7）一般锥体的体积又如何呢？ 设一般锥体的底面积为S，高为h．师生共同得出V锥体＝Sh（师板书）．（8）如何对这一结果进行证明？教师引导：构造一个三棱锥，使其底面积为S，高为h，由于等底面积等高的锥体的体积相等，故V锥体＝V三棱锥＝Sh．三、应用与拓展台体体积公式的推导．已知棱台ABCDE—A1B1C1D1E1的上下底面积为S上，S下，高为h，求证V棱台＝（S上＋＋S下）．为了解决台体体积的求法可问学生下列阶梯性问题：（1）台体是如何定义的？（2）台体与被截的棱锥的体积有何关系？（3）要求的台体体积，只要求出棱锥与截后所得小棱锥的体积即可，要求棱锥的体积，有那些条件，还缺什么条件，如何求呢？随着问题的一个个解决，思路也就水到渠成了．（分析完思路后，解题过程在大屏幕上打出）教师明晰：台体体积公式：一般地，棱台的体积公式是V棱台＝h（S上＋＋S下），其中S上，S下和ｈ分别为棱台上底面积、下底面积和高．点　评这篇案例重在教师启发下，让学生进行一定量的思维活动．在公式的推导过程中，由于教师的阶梯式提问，不断创设思维情景，使学生积极参与教学活动，从而使学生的思维品质得到了锻炼和提高．在锥体体积公式推导的过程中，教师不断渗透联系和转化等数学思想．在这篇案例中，体现了两次重要的转化，一次是利用祖原理将锥体体积公式的推导转化为三棱锥体积公式的推导，简化了研究系统；一次是利用割补变换建立了三棱锥与三棱柱之间的体积关系．其中，第一次转化是通过逻辑推理实现的，第二次转化是通过图形变换实现的． 这篇案例之所以突出公式形成的过程，是为了使学生在参与公式的推导过程中能在数学内容、数学方法和思维教育等方面吸收更多的营养．这篇案例使用了计算机辅助教学，特别是在体现三棱锥与三棱柱两种之间几何体之间的体积关系时使用，使三棱锥与三棱柱之间割补变换显得直观，生动，形象，弥补了在黑板上画图动感差且又浪费时间的不足，也有利于学生对两种几何体之间关系的深刻认识，发挥了计算机的良好辅助作用．美中不足的是，作为反映新理念的教学案例，如果能从学生可以直接操作的有关模型入手，通过多媒体的三维动态演示，使学生从直观思维上升到空间的想象和逻辑推导，教学效果会更好．