第1章1.1.2棱柱、棱锥的结构特征

1.1.2棱柱、棱锥和棱台的结构特征 学习目标1.认识棱柱、棱锥、棱台的结构特征，并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构．2．掌握正棱柱、正棱锥、正棱台的结构特征，区分与一般棱柱、棱锥、棱台的关系． 课堂互动讲练知能优化训练1．1.2课前自主学案 课前自主学案温故夯基长方体的六个面都是__________．矩形 知新益能1．多面体(1)多面体是由若干个平面多边形所围成的几何体．(2)多面体的元素①围成多面体的各个_________叫做多面体的面．②相邻的两个面的___________叫做多面体的棱．③棱和棱的_________叫做多面体的顶点．④连接不在同一面上的两个顶点的线段叫做多面体的___________．多边形公共边公共点对角线 (3)凸多面体凸多面体：把一个多面体的任意一个面延展为平面，如果其余的各面都在这个平面的同一侧，则这样的多面体就叫做凸多面体．(4)多面体的截面一个几何体和一个平面________所得到的平面图形(包含它的内部)，叫做这个几何体的________．2．棱柱(1)定义：一般地，有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的交线都_________，由这些面所围成的几何体叫做棱柱．相交截面互相平行 在棱柱中，两个互相平行的面叫做棱柱的底面，简称底；其余各面叫做棱柱的_________，相邻侧面的公共边叫做棱柱的__________；侧面与底面的公共顶点叫做棱柱的__________．棱柱中不在同一面上的两个顶点的连线叫做棱柱的对角线．(2)棱柱的分类①按底面多边形的边数分类底面是三角形、四边形、五边形……的棱柱分别叫做三棱柱、四棱柱、五棱柱……②按侧棱与底面的关系分类侧面侧棱顶点 侧棱与底面不垂直的棱柱叫做斜棱柱；侧棱与底面垂直的棱柱叫做直棱柱；底面是正多边形的直棱柱叫做正棱柱．(3)特殊的四棱柱①底面是平行四边形的棱柱叫做平行六面体；②侧棱与底面垂直的平行六面体叫做直平行六面体；③底面是矩形的直平行六面体是长方体；④棱长都相等的长方体是正方体． 3．棱锥(1)定义：一般地，有一个面是___________，其余各面是有一个公共顶点的三角形，由这些面围成的几何体叫做棱锥．棱锥中的____________叫做棱锥的底面．棱锥中有公共顶点的各三角形，叫做棱锥的侧面．_____________________叫做棱锥的侧棱．棱锥中各个侧面的公共顶点叫做棱锥的顶点．多边形多边形相邻侧面的公共边 如果棱锥的底面水平放置，则顶点与过顶点的铅垂线和底面的交点之间的线段或距离，叫做棱锥的高．棱锥中过不相邻的两条侧棱的截面叫做对角面．思考感悟1．有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥吗？提示：不一定．如图： (2)棱锥的分类①按底面边数分类底面为三角形、四边形、五边形……的棱锥分别叫做三棱锥、四棱锥、五棱锥……其中三棱锥又叫___________．②正棱锥如果棱锥的底面是正多边形，并且水平放置，它的顶点又在过正多边形中心的铅垂线上，则这个棱锥叫做正棱锥．正棱锥侧面等腰三角形底边上的高，叫做_______________________．四面体正棱锥的斜高 4．棱台(1)定义：底面水平放置的棱锥被平行于底面的平面所截，截面和底面间的部分叫做棱台．原棱锥的底面和截面分别叫做棱台的___________________．棱台中除上、下底面以外的面叫做棱台的____．相邻两侧面的公共边叫做棱台的__________．当棱台的底面水平放置时，铅垂线与两底面交点间的线段或距离叫做棱台的_________．下底面、上底面侧面侧棱高 思考感悟2．如何判断一个多面体是不是棱台？提示：如果一个多面体的上下底面平行且相似，并且侧棱延长交于一点，则这个多面体是棱台． (2)正棱台①定义：由___________截得的棱台叫做正棱台．②棱台的斜高：正棱台的各侧面都是全等的等腰梯形，这些等腰梯形的高叫做棱台的斜高．正棱锥 课堂互动讲练考点突破考点一棱柱、棱锥、棱台的概念从棱柱、棱锥、棱台的定义与几何特征入手，理解它们的概念． 给出下列几个命题：①棱柱的侧面都是平行四边形；②棱锥的侧面为三角形，且所有侧面都有一个公共顶点；③多面体至少有四个面；④棱台的侧棱所在直线均相交于同一点．其中，假命题的个数是()A．0B．1C．2D．3【分析】解答本题可先根据棱柱、棱锥、棱台的结构特征进行详细分析，再结合已知的各个命题的具体条件进行具体分析．例1 【解析】显然命题①、②均是真命题．对于命题③，显然一个图形要成为空间几何体，则它至少需要有四个顶点，因为三个顶点只围成一个平面图形是三角形，当有四个顶点时，易知它可围成四个面，因而一个多面体至少应有四个面，而且这样的面必是三角形，故命题③是真命题．对于命题④，棱台的侧棱所在的直线就是被截原棱锥的侧棱所在的直线，而棱锥的侧棱都有一个公共的点，它便是棱锥的顶点，于是棱台的侧棱所在的直线均相交于同一点，故命题④为真命题． 【答案】A【点评】只有理解并掌握好各种简单多面体的概念，以及相应的结构特征，才能不至于被各个命题的表面假象所迷惑，从而对问题做出正确的判断． 跟踪训练1下列命题中正确的是()A．棱柱的面中，至少有两个面互相平行B．棱柱中两个互相平行的平面一定是棱柱的底面C．在平行六面体中，任意两个相对的面均互相平行，但平行六面体的任意两个相对的面不一定可当作它的底面D．棱柱的侧面是平行四边形，但它的底面一定不是平行四边形解析：选A.正四棱柱中两个相对侧面互相平行，故B错；平行六面体的任意两个相对面可作底面，故C错；棱柱的底面可以是平行四边形，故D错． 主要是长方体中各量的计算．考点二侧面展开图及棱柱的有关运算 例2长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝5，BC＝4，BB1＝3，一只蚂蚁从点A出发沿表面爬行到点C1，求蚂蚁爬行的最短路线．【分析】应注意分情况讨论，不要漏解导致错误． 【解】分三种情况展成平面图形求解．沿长方体的一条棱剪开，使A和C1在同一平面上，求线段AC1的长即可，有如图所示的三种剪法： 【点评】求从几何体的表面上一点，沿几何体表面运动到另一点，所走过的最短距离，常常将几何体沿某条棱剪开，将两点展在一个平面上，转化为求平面上两点间的最短距离问题．跟踪训练2经过长方体同一个顶点的三个面的对角线长分别是a、b、c，那么这个长方体的体对角线长是________． 例3 【解】将三棱锥沿侧棱VA剪开，并将其侧面展开平铺在一个平面上，如图所示，线段AA1的长为所求△AEF周长的最小值，取AA1的中点D，则VD⊥AA1，∠AVD＝60°，可求AD＝3，则AA1＝6.故△AEF周长的最小值为6. 【点评】有关几何体的距离的最值问题，通常办法是将其转化为平面图形，利用两点间的直线距离最小来求解，这也是解立体图形的常用方法，将立体问题(空间问题)转化为平面问题，从而将未知问题转化为已知问题． 主要是正棱台中各量的计算．考点三棱台中有关量的计算 例4 【分析】关键是求出正三棱台的斜高，再表示出侧面面积． 【点评】在正棱台的有关计算中，要注意寻找直角梯形，一般有：正棱台两底面中心连线，相应的边心距和斜高组成一个直角梯形；两底面中心连线，侧棱和两底面相应的外接圆半径组成一个直角梯形．跟踪训练4已知正四棱台的上、下底面面积分别为4、16，一侧面面积为12，分别求该棱台的斜高、高、侧棱长． 解：如图，设O′，O分别为上下底面的中心，即OO′为正四棱台的高，E，F分别为B′C′，BC的中点，∴EF⊥B′C′，即EF为斜高．由上底面面积为4，上底面为正方形，可得B′C′＝2；同理，BC＝4.∵四边形BCC′B′的面积为12， 方法感悟1．棱锥是当棱柱的一个底面收缩为一个点时形成的空间图形，棱台则可以看成是用一个平行于棱锥底面的平面截棱锥所得到的图形．应注意：若一个几何体是棱台，则其侧棱延长后必交于同一点，也就是说若一个几何体的各条侧棱延长后不交于同一点，则该几何体一定不是棱台．掌握好棱柱、棱锥、棱台的定义和性质，是解决问题的基础和关键．2．棱台是由棱锥截得的，在处理与棱台有关的问题时要注意联系棱锥的有关性质，“还台为锥”是常用的解题方法和策略． 3．几种特殊四棱柱的特征和性质(见下表).名称平行六面体直平行六面体长方体正方体结构特征底面是平行四边形的棱柱侧棱与底面垂直的平行六面体底面是矩形的直平行六面体棱长都相等的长方体特殊的性质底面和侧面都是平行四边形侧棱垂直于底面，各侧面都是矩形底面和侧面都是矩形棱长都相等，各面都是正方形 4.长方体一条体对角线的长的平方等于同一个顶点上三条棱的长的平方和，即l2＝a2＋b2＋c2.其中l是长方体的体对角线长，a，b，c是长方体的三棱长．5．对于正棱锥和正棱台，要注意准确理解概念，把握图形的特征，尤其是图中的一些重要的直角三角形和直角梯形． 知能优化训练 本部分内容讲解结束点此进入课件目录按ESC键退出全屏播放谢谢使用