第2课时圆柱、圆锥、圆台、球、简单组合体的结构特征
1.圆柱的结构特征定义以矩形的一边所在直线为旋转轴,其余三边旋转形成的面所围成的旋转体图示及相关概念轴:旋转轴叫做圆柱的轴底面:垂直于轴的边旋转而成的圆面侧面:平行于轴的边旋转而成的曲面母线:无论旋转到什么位置,不垂直于轴的边柱体:圆柱和棱柱统称为柱体
【思考】(1)在圆柱中,圆柱的任意两条母线是什么关系?过两条母线的截面是怎样的图形?提示:圆柱的任意两条母线平行,过两条母线的截面是矩形.
(2)在圆柱中,过轴的截面是轴截面,圆柱的轴截面是什么图形?轴截面含有哪些重要的量?提示:圆柱的轴截面是矩形,轴截面中含有圆柱的底面圆的直径与圆柱的母线.
2.圆锥的结构特征定义以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴,其余两边旋转形成的面所围成的旋转体图示及相关概念轴:旋转轴叫做圆锥的轴底面:垂直于轴的边旋转而成的圆面侧面:直角三角形的斜边旋转而成的曲面母线:无论旋转到什么位置,不垂直于轴的边锥体:棱锥与圆锥统称为锥体
【思考】在圆锥中,过轴的截面是轴截面,圆锥的轴截面是什么图形?轴截面含有哪些重要的量?提示:圆锥的轴截面是等腰三角形,轴截面中含有圆锥的底面圆的直径与圆锥的母线.
3.圆台的结构特征定义用平行于圆锥底面的平面去截圆锥,底面与截面之间的部分图示及相关概念轴:圆锥的轴底面:圆锥的底面和截面侧面:圆锥的侧面在底面与截面之间的部分母线:圆锥的母线在底面与截面之间的部分台体:棱台与圆台统称为台体
【思考】经过圆台的任意两条母线作截面,截面是什么图形?提示:因为圆台的任意两条母线长度均相等,且延长后相交,故经过任意两条母线的截面是以这两条母线为腰的等腰梯形.
4.球的结构特征定义以半圆的直径所在直线为旋转轴,半圆面旋转一周形成的旋转体叫做球体,简称球图示及相关概念球心:半圆的圆心半径:半圆的半径直径:半圆的直径
【思考】球体与球面的区别和联系是什么?提示:区别联系球面球的表面是球面,球面是旋转形成的曲面球面是球体的表面球体球体是几何体,包括球面及其所围成的空间部分
5.简单组合体定义由简单几何体组合而成的几何体基本形状由简单几何体拼接而成由简单几何体截去或挖去一部分而成
【素养小测】1.思维辨析(对的打“√”,错的打“×”)(1)圆柱上底面圆周上任一点与下底面圆周上任一点的连线是圆柱的母线.()(2)圆台有无数条母线,它们相等,延长后相交于一点.()
(3)用一个平面去截圆锥,得到一个圆锥和一个圆台.()(4)用任意一个平面去截球,得到的是一个圆面.()
提示:(1)×.圆柱的母线与轴是平行的.(2)√.用平行于圆锥底面的平面去截圆锥,底面与截面之间的部分是圆台,由此可知此说法正确.(3)×.用与底面平行的平面去截圆锥,才能得到一个圆锥和一个圆台.
(4)√.因为球是一个几何体,包括表面及其内部,所以用一个平面去截球,得到的是一个圆面.
2.球的任意两条直径不一定具有的性质是()A.相交B.平分C.垂直D.都经过球心【解析】选C.球的任意两条直径不一定垂直.
3.在如图所示的四个几何体中,圆柱有________;圆锥有________.(只填序号)
【解析】根据圆柱和圆锥的定义可知,圆柱有③;圆锥有②.答案:③②
类型一 圆柱、圆锥、圆台、球的结构特征【典例】1.下列说法中错误的是()A.以直角三角形的一条边所在直线为轴,其余两边旋转形成的曲面围成的几何体是圆锥
B.以等腰三角形底边上的中线所在直线为轴,将三角形旋转形成的曲面围成的几何体是圆锥C.经过圆锥任意两条侧面的母线的截面是等腰三角形D.圆锥侧面的母线长有可能大于圆锥底面圆的直径
2.下列命题中正确的是()①过球面上任意两点只能作一个经过球心的圆;②以半圆的直径所在直线为旋转轴,半圆面旋转一周形成的旋转体叫做球体,半圆的直径叫做球的直径;③用不过球心的截面截球,球心和截面圆心的连线垂直于截面;
④球面上任意三点可能在一条直线上;⑤球的半径是连接球面上任意一点和球心的线段.A.①②③B.②③④C.②③⑤D.①④⑤
【思维·引】1.依据旋转体及其相关概念逐项判断.2.依据球及其相关概念逐个判断.
【解析】1.选A.A错误.如图(1)所示旋转轴是直角三角形的斜边所在直线时,得到的旋转体不是圆锥;B正确.由圆锥的定义可知此说法正确;C正确.如图(2),由圆锥侧面的母线相等可知,所得截面是等腰三角形;D正确.圆锥侧面的母线和底面圆的直径构成等腰三角形,所以圆锥侧面的母线长有可能大于圆锥底面圆的直径.
2.选C.由球的结构特征可知②③⑤正确.
【内化·悟】判断简单旋转体结构特征应注意哪两个方面的问题?提示:(1)明确由哪种平面图形旋转而成.(2)明确旋转轴是哪条直线.
【类题·通】1.判断旋转体形状的步骤(1)明确旋转轴l.(2)确定平面图形中各边(通常是线段)与l的位置关系.(3)依据圆柱、圆锥、圆台、球的定义和一些结论来确定形状.
2.与简单旋转体的截面有关的结论(1)圆柱、圆锥、圆台平行于底面的截面都是圆面.(2)圆柱、圆锥、圆台的轴截面(即过旋转轴的截面)分别是矩形、等腰三角形、等腰梯形.
【习练·破】下列几种说法:①圆锥的顶点、底面圆的圆心与圆锥底面圆周上任意一点这三点的连线都可以构成直角三角形;②圆锥的顶点与底面圆周上任意一点的连线是圆锥侧
面的母线;③圆柱的轴截面是过侧面的母线的截面中最大的一个;④夹在圆柱的两个截面间的几何体还是一个旋转体.其中说法正确的是________.
【解析】由圆锥的定义及母线的性质知①②正确,圆柱的轴截面过上下底的直径,所以是过母线的截面中最大的一个.④不正确,夹在圆柱的两个平行于底面的截面间的几何体才是旋转体.答案:①②③
【加练·固】下列说法正确的是__________.(填序号)①一直角梯形绕下底所在直线旋转一周,所形成的曲面围成的几何体是圆台;②圆锥、圆台中过轴的截面是轴截面,圆锥的轴截面是等腰三角形,圆台的轴截面是等腰梯形;
③到定点的距离等于定长的点的集合是球.
【解析】①错.直角梯形绕下底所在直线旋转一周所形成的几何体是由一个圆柱与一个圆锥组成的简单组合体,如图所示.②正确.③错,应为球面.答案:②
类型二 简单组合体的结构特征【典例】1.如图所示的简单组合体的结构特征是()
A.由两个四棱锥组合成的B.由一个三棱锥和一个四棱锥组合成的C.由一个四棱锥和一个四棱柱组合成的D.由一个四棱锥和一个四棱台组合成的
2.如图所示,将曲边图形ABCDE绕AE所在的直线旋转一周,由此形成的几何体是由哪些简单的几何体构成的?其中CD∥AE,曲边DE为四分之一圆周且圆心在AE上.
【思维·引】1.判断此简单组合体是由哪两个多面体拼接而成.2.依据曲边图形的形状分四部分进行判断.
【解析】1.选A.这个八面体是由两个四棱锥组合而成.2.将直线段AB,BC,CD及曲线段DE分别绕AE所在的直线旋转,如图所示,它们分别旋转得圆锥、圆台、圆柱以及半球.
【内化·悟】判断简单组合体的结构特征应注意哪些问题?提示:(1)熟练掌握简单几何体的结构特征.(2)要善于将复杂的组合体“分割”为几个简单的几何体.
【类题·通】识别简单组合体的结构特征的策略(1)组合体是由简单几何体拼接、截去或挖去一部分而成的,因此,要仔细观察组合体的组成,结合柱、锥、台、球的几何结构特征,对原组合体进行分割.
(2)用分割法识别简单组合体,则需要根据几何体的结构特征恰当地作出辅助线(或面),进而将几何体“分拆”成几个简单的几何体.
【习练·破】1.以钝角三角形较短的边所在的直线为轴,其他两边旋转一周所得到的几何体是()A.两个圆锥拼接而成的组合体B.一个圆台
C.一个圆锥D.一个圆锥挖去一个同底的小圆锥后形成的组合体
【解析】选D.如图,过点A作AD垂直BC于点D,则△ADC与△ADB分别为直角三角形,所以旋转一周形成的几何体是一个圆锥挖去一个同底的小圆锥后形成的组合体.
2.如图,AB为圆弧BC所在圆的直径,∠BAC=45°.将这个平面图形绕直线AB旋转一周,得到一个组合体,试说明这个组合体的结构特征.
【解析】如图所示,这个组合体是由一个圆锥和一个半球体拼接而成的.
【加练·固】如图所示的图形绕虚线旋转一周后形成的几何体是由哪些简单几何体组成的.
【解析】如图1所示,①是矩形,旋转后形成圆柱,②③是梯形,旋转后形成圆台.所以旋转后形成的几何体如图2所示,通过观察可知,该组合体是由一个圆柱、两个圆台拼接而成的.
类型三 旋转体中的计算问题角度1有关圆柱、圆锥、圆台和球的计算问题【典例】如图所示,用一个平行于圆锥SO底面的平面截这个圆锥,截得圆台上、下底面的面积之比为1∶16,截去的圆锥的母线长是3cm,求圆台O′O的母线长.
【思维·引】过圆锥的轴作截面图,利用三角形相似解决.
【解析】设圆台的母线长为lcm,由截得的圆台上、下底面面积之比为1∶16,可设截得的圆台的上、下底面的半径分别为rcm,4rcm.过轴SO作截面,如图所示.
则△SO′A′∽△SOA,SA′=3cm.所以=.所以==.解得l=9,即圆台的母线长为9cm.
【素养·探】在圆柱、圆锥、圆台和球的计算问题中,经常利用核心素养中的数学运算,通过研究圆柱、圆锥、圆台和球的结构特征及相关截面的性质,计算旋转体的底面半径、母线和高.
将本例的条件“1∶16”改为“1∶3”,求该截面把圆锥母线分为两段的长度比.【解析】由圆锥的截面性质可知,截面仍是圆,设r1与r2分别表示截面与底面圆的半径,l1与l2表示母线被截得的线段,则,所以l1∶l2=1∶(-1).
角度2旋转体表面的两点间的距离最大(小)值【典例】如图,圆台侧面的母线AB的长为20cm,上、下底面的半径分别为5cm,10cm,从母线AB的中点M处拉一条绳子绕圆台侧面转到B点,求这条绳子长度的最小值.
【思维·引】转化为在圆台的侧面展开图中,求两个点距离最小值的问题.【解析】作出圆台的侧面展开图,如图所示,
由Rt△OPA与Rt△OQB相似,得=,即=,解得OA=20,所以OB=40.设∠BOB′=α,由弧BB′的长与底面圆Q的周长相等，得2×10×π=π·OB·,
解得α=90°.所以在Rt△B′OM中,B′M2=OB′2+OM2=402+302=502,所以B′M=50.即所求绳长的最小值为50cm.
【类题·通】1.简单旋转体的轴截面及其应用(1)简单旋转体的轴截面中有底面半径、母线、高等体现简单旋转体结构特征的关键量.(2)在轴截面中解决简单旋转体问题体现了化空间图形为平面图形的转化思想.
2.与圆锥有关的截面问题的解决策略(1)画出圆锥的轴截面.(2)在轴截面中借助直角三角形或三角形的相似关系建立高、母线长、底面圆的半径长的等量关系,求解便可.
【习练·破】在半径为25cm的球内有一个截面,它的面积是49πcm2,则球心到这个截面的距离为________.
【解析】设球半径为R,截面圆的半径为r,球心到截面的距离为d,如图所示.
因为S=πr2=49πcm2,所以r=7cm,所以d===24(cm),即球心到这个截面的距离为24cm.答案:24cm
【加练·固】已知一个圆柱的轴截面是一个正方形且其面积是Q,求此圆柱的底面半径.
【解析】设圆柱的底面半径为r,母线为l,则由题意得解得r=.所以此圆柱的底面半径为.
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