中心投影与平行投影122空间几何体的三视

1.2.1中心投影与平行投影1．2.2空间几何体的三视图 1.了解平行投影和中心投影的概念，掌握两种投影的性质，并会灵活应用．2．在复习初中学习过的物体的三视图的基础上，能画出简单空间图形(长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱、棱锥及其组合体)的三视图，能识别上述三视图所表示的立体模型，进一步掌握在平面上展示空间图形的方法和技巧． 1.投影的定义由于光的照射，在物体后面的屏幕上可以留下这个物体的，这种现象叫做投影．其中，把叫做投影线，把的屏幕叫做投影面．不透明影子光线留下物体影子 2．中心投影与平行投影投影定义特征分类中心投影光由向外散射形成的投影投影线.平行投影在一束照射下形成的投影投影线.投影和投影一点交于一点平行光线互相平行正斜 在太阳光的照射下形成的影子是平行投影，这句话对吗？参考答案：不对． 3．空间几何体的三视图三视图概念规律正视图光线从几何体的向正投影得到的投影图一个几何体的正视图和侧视图一样，正视图和俯视图一样，侧视图与俯视图一样侧视图光线从几何体的向正投影得到的投影图俯视图光线从几何体的向正投影得到的投影图前面后面左面右面上面下面高度长度宽度 同一个几何体放置的方向不同时，其三视图一样吗？参考答案：不一定一样．选择不同的视角，所得的三视图可能不一样，但有些几何体的三视图一样，如球的三视图都是圆，是相同的． 1.平行投影的性质图形中的直线或线段不平行于投影线时，平行投影有下列性质：(1)直线或线段的平行投影仍是直线或线段．(2)平行直线的平行投影是平行或重合的直线． (3)平行于投影面的线段的平行投影与这条线段平行且等长．(4)平行于投影面的平面图形的平行投影与这个图形全等．(5)在同一直线或平行直线上，两条线段平行投影的比等于这两条线段的比． 2．如何认识平行投影与中心投影之间的关系？平行投影和中心投影都是空间图形的一种画法，但二者又有区别：①中心投影的投影线交于一点，平行投影的投影线互相平行．②平行投影下，与投影面平行的平面图形留下的影子，与这个平面图形的形状和大小完全相同；而中心投影则不同．③画实际效果图时，一般用中心投影法，画立体几何中的图形时，一般用平行投影法． 3．画几何体三视图的注意事项：(1)务必做到正视图、侧视图高平齐，正视图、俯视图长对正，俯视图、侧视图宽相等．(2)三视图的安排方法是正视图与侧视图在同一水平位置，且正视图在左，侧视图在右，俯视图在正视图的下方．(3)若相邻两物体的表面相交，表面的交线是它们的分界线，在三视图中，分界线和可见轮廓线都用实线画出，不可见轮廓线用虚线画出． (4)确定正视、俯视、侧视的方向，同一物体放置的方向不同，所画的三视图可能不同．(5)观察简单组合体是由哪几个基本几何体生成的，并注意它们的生成方式，特别是它们的交线位置． 画出一个图形在一个投影面上的投影的关键是确定该图形的关键点(如顶点，端点等)，先画出这些关键点的投影，再依次连接即可得此图形在投影面上的投影． 例1在正方体ABCD－A′B′C′D′中，E、F分别是A′A，C′C的中点，则下列判断正确的是________．①四边形BFD′E在底面ABCD内的投影是正方形；②四边形BFD′E在面A′D′DA内的投影是菱形；③四边形BFD′E在面A′D′DA内的投影与在面ABB′A′内的投影是全等的平行四边形． [分析]先根据平行投影的定义知投影线垂直于投影面，从而确定四边形BFD′E四个顶点在各投影面的位置，再把各投影点连线成图． [答案]①③[评析]在平行投影中，线段与直线的投影的寻找过程可以转化为点的投影的寻找，两点决定一条直线(或线段)． 如右图所示，水平放置的△ABC在投影面的上方，点S在△ABC的上方，画出△ABC在光源S下投射到投影面内的中心投影． [解]连接SA延长交投影面于A1，连接SB延长交投影面于B1，连接SC延长交投影面于C1，则△A1B1C1为△ABC在光源S下投射到投影面内的中心投影，如下图所示． 画三视图时，要想象几何体的后面、右面、下面各有一个屏幕，一组平行光线分别从前面、左面、上面垂直照射，我们画的是影子的轮廓，再验证几何体的轮廓线，看到的画成实线，不能看到的画成虚线． 例2画出下图所示的正三棱柱和正五棱台的三视图．[分析]解题的关键是找准投影角度，并按照三视图的画法规则精确作图． [解]上图(1)所示的正三棱柱的三视图如下图1所示．上图(2)所示的正五棱台的三视图如下图2所示． [评析]正五棱台的正视图中有两条虚线，它们是正五棱台后面两条棱所形成的投影，辨析某条棱的可见与不可见的方法是：把物体看成是不透明的，能看见的棱就是可见轮廓线，看不见、但又确实存在的棱就是不可见轮廓线． 画出如下图所示几何体的三视图． [解]图①为正六棱柱，可按棱柱的画法画出，图②为一个圆锥与一个圆台的组合体，按圆锥、圆台的三视图画出它们的组合形状．三视图如下图所示． 只要熟悉简单几何体的三视图的形状，由简单几何体的三视图还原几何体并不困难．对于组合体，需要综合正视图、侧视图、俯视图的特征，确定分界线，找出组成组合体的简单几何体，再将组合体还原，其中确定分界线是正确还原的关键． 例3如下图所示的是一些立体图形的三视图，请说出立体图形的名称． [分析]由题目可获取以下主要信息：(1)①由俯视图可知几何体的下底面是一个圆；②由正视图与侧视图可知该几何体是一个锥体．(2)由俯视图并结合其他两个视图可以看出该几何体是由三个圆柱拼接而成的组合体． [解](1)该立体图形为圆锥，如下图①所示．(2)该立体图形为三个圆柱的组合体，如下图②所示． [评析]根据三视图还原几何体实物，要仔细分析和认真观察三视图，进行充分的空间想象，综合三视图的形状，从不同的角度去还原．看图和想图是两个重要的步骤，“想”于“看”中，形体分析的看图方法是解决此类问题的常用方法． 根据图形的三视图想象物体原形，并画出物体的示意图． [解]由俯视图并结合其它两个视图可以看出，这个物体是由一个圆柱和一个正四棱柱组合而成，圆柱的下底面圆和正四棱柱的上底面正方形内切，它的示意图如下． 例4(2010·北京高考)一个长方体去掉一个小长方体，所得几何体的正(主)视图与侧(左)视图分别如下图(1)(2)所示，则该几何体的俯视图为() [分析]从正视图和侧视图中推测出去掉的小长方体的位置及大小是解决本题的关键．[解析]由正视图可以看出去掉的小长方体在正视图的左上角，从侧视图可以看出去掉的小长方体在侧视图的右上角，由以上各视图的描述可知，该长方体如右图所示，则易知俯视图． [答案]C[评析]本题考查了几何体的三视图之间的关系，要注意记忆和理解“长对正、高平齐、宽相等”的含义．