1.2.2空间几何体的三视图疱丁巧解牛知识·巧学一、中心投影1.中心投影法就是指投影线都是从投影中心出发的，所得到的投影称为中心投影.2.中心投影一般用于透视图，主要用于绘制建筑物或其他物体的富有逼真感的立体图.如图1-2-1，一个点光源把一个图形照射到一个平面上，这个图形的影子就是它在这个平面上的中心投影.一般来说，人的视觉、照片、美术作品等都是中心投影.图1-2-1要点提示空间图形经过中心投影后，直线还是直线，但是平行线可能变成相交直线，如照片中由近到远物体之间的距离越来越近，最后相交于一点.中心投影后的图形与原图形相比不一样，但是，直观性强，看起来与人的视觉效果一致，最象原来物体，所以绘图时经常使用这种方法，但是立体几何中很少使用.二、平行投影1.已知图形F，直线l与平面α相交,如图1-2-2(1)，过F上任意一点M作MM′平行于l,交平面α于点M′,则点M′叫做点M在平面α内关于直线的平行投影,如果图形F上的所有点在平面α内关于直线l的平行投影构成图形F′,则F′叫图形F在平面α内关于直线l的平行投影，平面α叫投射面，直线l叫投射线.比如图1-2-2(2)太阳光线(可以看成平行的)把一个矩形窗框投射到地板上，变成了平行四边形，这个平行四边形就是窗框的投影，与原图相比，边框长度以及边框间的夹角有所改变，但边框间的平行关系没有改变，平行直线段或同一条直线上的两条线段的比也没改变.图1-2-22.如果投射线与投射面垂直，则称这样的投影为正投影.正投影的性质：①直线或线段的投影仍是直线或线段；垂直于投射面的直线或线段的正投影是点；倾斜于其投影面的线段，其投影仍为线段，但比实长要短；直线上一点的投影，必在该直线的投影上；②平行直线的投影仍是平行或重合直线；③平行于投射面的线段，它的投影与这条线段平行且相等；④与投影面平行的图形，它的投影与这个图形全等；倾斜于投影面的平面图形，其投影仍为一平面图形，但不反映该平面的实形，而是原平面图形的类似形；⑤在同一直线或平行直线上，两条线段平行投影的比等于这两条线段的比；⑥垂直于投射面的平面图形的正投影是直线或线段的一部分.辨析比较投影不是影，影是不透明的，只有轮廓，投影是透明的，也包括各面上的棱.例如，三棱锥在水平面上的投影包括棱.如图1-2-3，三棱锥O—ABC在平面α内的投影为△A′B′C′以及内部部分.
图1-2-3三、三视图1.三视图是从三个不同的方向看同一个物体而得到的三个视图.为了使空间图形的直观图更能直观、准确地反映空间图形的大小，往往需要把图形向几个不同的平面分别作投影，然后把这些投影放在同一个平面内，并有机地结合起来表示物体的形状和大小.通常，总是选取三个两两互相垂直的平面作为投射面，如图1-2-4，一个投射面水平放置，叫水平投射面，投射到这个平面内的图形叫俯视图.一个投射面放置在正前方，叫直立投射面，投射到这个平面内的图形叫正视图.和直立、水平两个投射面都垂直的投射面叫做侧立投射面，通常把这个平面放在直立投影的右面，投射到这个平面内的图形叫侧视图.图1-2-4(1)是一个长方体的三视图,正视图是一个矩形,表示长方体的长度和高度;它的俯视图也是一个矩形,它表示长方体的长度和宽度;它的侧视图同样还是一个矩形,它表示长方体的宽度和高度.把这三个投影图放在一个平面内,如图1-2-4(2)就是一个三视图.图1-2-42.正视图反映物体的主要形状特征，是三视图中最重要的视图；俯视图要与正视图对正；侧视图要画在正视图的正右方，高度方向要与正视图平齐，俯视图与侧视图共同反映物体的宽度要相等.画出三视图要检验是否符合“长对正、宽相等、高平齐”的基本特征,即“主俯一样长，主左一样高，俯左一样宽”.3.三视图的排列规则是:先画正视图，俯视图安排在正视图的正下方,长度与正视图一样，侧视图安排在正视图的正右方，高度与正视图一样.方法点拨当物体形状复杂时，三视图还不足以反映它的大小和形状，还需要更多的投射平面，或者分解成几部分分别画三视图.在三视图中，分界线和可见轮廓线都用实线画出，不可见轮廓线要用虚线画出.问题·探究问题1平行投影是画直观图的理论基础，它与中心投影有何区别和联系？探究:中心投影和平行投影都是空间图形的基本画法，平行投影包括斜二测画法和三视图，中心投影后的图形与原图形相比改变较多，但直观性强，看起来与人的视觉效果一致，最像原来的物体，画实际效果图时，一般用中心投影;画立体几何中的图形时，多用平行投影.问题2画简单的组合体的三视图应注意哪些问题？探究:
(1)确定主视、俯视、左视的方向，同一物体放置的位置不同，所画的三视图也可能不同;(2)看清简单组合体是由哪几个基本几何体生成的，并注意它们的生成方式，特别是它们的交线位置;(3)画出的三视图要检验是否符合“长对正，宽相等，高平齐”的基本特征，特别注意几何体中与投影面垂直或平行的线及面的位置.典题·热题例1下列命题中正确的个数是()①直线或线段的平行投影仍是直线或线段②与投射面平行的平面图形，它的投影与这个图形一定全等③矩形的平行投影一定是矩形④两条相交直线的投影可能平行⑤如果△ABC在一投射面内的平行投影是△A′B′C′，则△ABC的重心M在投射面内的平行投影M′一定是△A′B′C′的重心A.1B.2C.3D.4思路解析：命题①错误，当直线或线段与投射线平行时，其平行投影是点；命题②正确；命题③错误，如矩形的窗子被阳光投射在地面上的射影图形就可能为一个平行四边形；命题④错误，两条相交直线的投影可能是相交直线或重合的直线，不可能平行；⑤正确，重心的平行投影仍是重心.答案：B误区警示本题中的命题①很容易误判为正确命题.平行投影的性质有一个重要的前提条件：当图形中的直线或线段不平行于投射线时，直线或线段的平行投影仍是直线或线段.没有了这个前提条件，则平行投影可能为一个点.例2图1-2-5是截去一角的长方体,画出它的三视图.图1-2-5思路解析：根据长方体的轮廓线和各面交线画出三视图,在画三视图时可见轮廓线都要画成实线.解：长方体截角后,截面是一个三角形,在每个视图中反映为不同的三角形.三视图如下:图1-2-6深化升华多面体的三视图可以归结为绘制各个表面的投影所得到的图形，由于平面图形由线段组成，而每条线段都可由其两端点确定，因此多面体的三视图可归结为绘制其表面的交线(棱线)及各顶点的投影.例3一个几何体是由若干个小正方体木块堆成的物体,从三个方向看到的图形如图1-2-7所示:
图1-2-7问该几何体是由几块小正方体堆成的?思路解析：本题是由已知几何体的三视图来判断原几何体形状的题目，需要注意空间想象与三视图的特征性质结合解决.由主视图发现，至少有四个小正方体，而由俯视图观察,知除上面发现的四个小正方体外，至少还要加上一个小正方体，再由左视图验证,知其由5个小正方体构成.解：由5个小正方体堆成的.如图1-2-8:图1-2-8方法归纳根据几何体的三视图想象空间物体的结构形状时，一般分为三步：第一步，看视图，明关系；第二步，分部分，想形体；第三步，综合起来，想整体.
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