空间几何体的三视图和直观

本章内容1.1空间几何体的结构1.2空间几何体的三视图和直观图1.3空间几何体的表面积与体积第一章小结 1.2空间几何体的三视图和直观图空间几何体的三视图和直观图1.2.1中心投影与平行投影1.2.2空间几何体的三视图1.2.3空间几何体的直观图(第一课时)1.2.3空间几何体的直观图(第二课时) 1.2.1中心投影与平行投影1.2.2空间几何体的三视图返回目录 学习要点1.什么是平行投影?什么是中心投影?两种投影的区别是什么?2.什么是一个物体的三视图?三视图显示的是物体的哪些面?3.画物体的三视图应掌握哪些要点? 1.2.1中心投影与平行投影问题1.在夏天的正午时,太阳光直射地面,你举起一个物体,在地面上产生的影子大小与物体的大小几乎相等吗?在黑夜,你拿一物体靠近一点灯光,在对面的墙壁上产生的影子与物体的大小几乎相等吗?太阳光线近似于平行线,影子与物体几乎相等.灯光从一点发出的光线不平行,将物体投影到墙上的大小与物体的大小有较大差别.我们把一束平行光线照射下形成的投影,叫做平行投影.平行投影的投影线是平行的.我们把光由一点向外散射形成的投影,叫做中心投影.中心投影的投影线交于一点. 发光点投影线投影线投影线中心投影平行投影(正投影)平行投影(斜投影)我们将用平行投影法画空间几何体的三视图. 1.2.2空间几何体的三视图问题2.要制造一个工件,设计人员先要在纸上画出工件的图形,请你想一下,如何在平面的纸上既能表示出如图的正面,又能表示出它的底面和侧面?想像在三面建投影墙,将三面的形状投影到墙上即可看出.正面侧面底面 1.2.2空间几何体的三视图问题2.要制造一个工件,设计人员先要在纸上画出工件的图形,请你想一下,如何在平面的纸上既能表示出如图的正面,又能表示出它的底面和侧面?想像在三面建投影墙,将三面的形状投影到墙上即可看出.正面侧面底面把底面向下转动到与正面在一个平面时得图:正视图侧视图把侧面向右转动到与正面在一个平面时得图:俯视图 1.2.2空间几何体的三视图问题2.要制造一个工件,设计人员先要在纸上画出工件的图形,请你想一下,如何在平面的纸上既能表示出如图的正面,又能表示出它的底面和侧面?正视图侧视图俯视图正视图:从前向后正面观看效果.侧视图:从左向右观看效果.俯视图:从上向下观看效果. 1.2.2空间几何体的三视图问题2.要制造一个工件,设计人员先要在纸上画出工件的图形,请你想一下,如何在平面的纸上既能表示出如图的正面,又能表示出它的底面和侧面?正面侧面底面正视图:从前向后正面观看效果.侧视图:从左向右观看效果.俯视图:从上向下观看效果. 1.柱、锥、台、球的三视图(1)圆柱、圆锥、圆台、球的三视图:正侧俯·正侧俯圆柱圆锥 圆台球正侧俯正侧俯1.柱、锥、台、球的三视图(1)圆柱、圆锥、圆台、球的三视图: (2)棱柱、棱锥、棱台的三视图:三棱柱正侧俯正侧俯三棱锥四棱台ABABAB正侧俯1.柱、锥、台、球的三视图 问题3.如图的两个三视图各表示什么几何体?圆柱圆锥 问题4.如图的物体是由哪些基本几何体组成,它的正视图是些什么图形?俯视图和侧视图呢?它的上部是一个圆柱,是一个圆台,下部是一个圆柱.其正视图的上部是一个矩形,中部是一个等腰梯形,个矩形;俯视图是两个同心圆;侧视图与正视图相同,梯形和矩形的组合.正视图俯视图侧视图中部下部是一是矩形、2.简单组合体的三视图 例1(14页“思考”).图(1)、(2)分别是两个简单组合体的三视图,想象它们表示的组合体的结构特征,并尝试画出它们的示意图(尺寸不作严格要求).正视图俯视图侧视图(1)正视图侧视图俯视图(2)三个圆柱的组合体.杠铃：五个圆柱的组合体. 例2(补充).画出下面灯泡及六角螺帽(毛坯)的三视图:正视图侧视图俯视图正视图侧视图俯视图 练习:(补充)画出下列几何体的三视图:·正视图俯视图侧视图正视图俯视图侧视图 画简单组合体的三视图的要点:1.正面看,由哪几个基本几何体组成,画出正视图;2.从上向下看,有哪几个基本几何体,画出俯视图;4.凡有边线、轮廓线、或点,都应画出,被遮的画虚线,未被遮的画实线.3.从左向右看,有哪几个基本几何体,画出侧视图. 练习:(课本15页)第1、2题. 练习:(课本15页)正视图侧视图俯视图1.画出下列几何体的三视图:(1)(2)解:(1)(2)正视图侧视图俯视图 2.观察下列几何体的三视图,想象并说出它们的几何特征,然后画出它们的示意图:正视图侧视图俯视图正视图侧视图俯视图正视图侧视图俯视图正视图侧视图俯视图四棱柱半球与圆锥的组合球与四棱柱的组合两圆台的组合 【课时小结】1.中心投影和平行投影一束平行光线照射下形成的投影,叫做平行投影.平行投影的投影线是平行的.光由一点向外散射形成的投影,叫做中心投影.中心投影的投影线交于一点. 【课时小结】2.三视图正视图:从前向后正面观看效果.侧视图:从左向右观看效果.俯视图:从上向下观看效果. 【课时小结】3.简单组合体的三视图(1)正面看,由哪几个基本几何体组成,画出正视图;(2)从上向下看,有哪几个基本几何体,画出俯视图;(4)凡有边线、轮廓线、或点,都应画出,被遮的画虚线,未被遮的画实线.(3)从左向右看,有哪几个基本几何体,画出侧视图. 练习:(课本15页)第3、4题.习题1.2A组第1、2题. 3.根据下列描述,说出几何体的结构特征,并画出它们的三视图:(1)由六个面围成,其中一个面是正五边形,其余五个面是全等的等腰三角形的几何体;(2)如图,由一个平面图形旋转一周形成的几何体.解:(1)正五棱锥.正视图侧视图俯视图 3.根据下列描述,说出几何体的结构特征,并画出它们的三视图:(1)由六个面围成,其中一个面是正五边形,其余五个面是全等的等腰三角形的几何体;(2)如图,由一个平面图形旋转一周形成的几何体.解:(2)正视图侧视图俯视图四个圆柱组成的几何体. 4.如图是一个几何体的三视图,想象它的几何结构特征,并说出它的名称.正视图侧视图俯视图解:是横着放的三棱柱(如图). 习题1.2解:(1)正视图侧视图俯视图A组1.画出下列物体表示的几何体的三视图(尺寸不作严格要求):(1)(2)(3)(2)正视图侧视图俯视图 习题1.2正视图侧视图俯视图1.画出下列物体表示的几何体的三视图(尺寸不作严格要求):(1)(2)(3)解:(3)A组 2.根据下列三视图,想象对应的几何体:正视图侧视图俯视图正视图侧视图俯视图正视图侧视图俯视图正视图侧视图俯视图(1)(2)(3)(4)解:(1)三棱柱.(2)圆台.(3)四棱柱,底面是梯形.(4)上面是圆柱,下面是四棱柱的组合体. 1.2.3空间几何体的直观图(第一课时)返回目录 学习要点1.什么是直观图?一个平面图形水平放置时的直观效果与实际图形有什么不同?2.用斜二测画平面图形水平放置的直观图时,应掌握哪些要点? 所谓直观图,就是将人们直接观测到的物体形状,用具有立体感的图形来表示.问题1.下面两图都是一张方桌的两种表示效果,哪一图感觉比较直观形象一些?画法上有什么特点?(1)(2)图(2)更像是水平放置的效果. 一、平面图形水平放置直观图的画法问题2.下图是正方体与三棱锥的直观图,画这个直观图的关键是什么?底面是怎样的效果?正方形的底面画出的不是正方形了.等边三角形的底面画出的不是等边三角形了.画几何体的直观图,关键是底面的画法. 1.在原图上恰当建立坐标系;2.建立45斜角坐标系;3.在斜角坐标系中取点连线:(1)保持与各坐标轴平行,(2)平行于x轴的长不变,平行于y轴的长减半;4.擦去坐标系和辅助线条.几何体直观图的画法中,关键是画好平面图形水平放置的直观图,其基本步骤如下:一、平面图形水平放置直观图的画法 1、将实际图形适当建立直角坐标系.若是正多边形时,一般将中心作为坐标原点.2、画斜角坐标系，使两坐标轴交成45º角。3、取坐标轴上的点：横坐标不变，纵坐标取一半.OB=OB,OE=OE,4、以M为中点,作AF∥x轴,且AF=AF.5、连结AB,BC,DE,EF,6、擦去坐标系,即得正六边形水平放置的直观图。例1.画水平放置的正六边形xyoABCDEFxyoBEAF′CDMNMNOM=OM,ON=ON.以N为中点,作CD∥x轴,且CD=CD.····这种画法叫斜二测画法. 问题2.一个圆水平放置时,看起来还是一个非常正的圆吗?下面两图中,哪个圆更像水平放置的?(1)(2)生活经验告诉我们,水平放置的圆看起来非常像椭圆,在实际画水平放置的圆的直观图时,我们常借助几何用具上的椭圆. 练习:(课本19页)第1题.练习:(补充)画一个正方形的水平放置的直观图. 练习:(补充)画一个正方形的水平放置的直观图.xyOxOyABCDABCDMNMN一半一半等长等长 1.用斜二测画法画出下列水平放置的平面图形的直观图(尺寸自定):(1)任意三角形;(2)平行四边形;(3)正八边形.解:(1)xyO中点·xyOABCABCMM练习:(课本19页) 1.用斜二测画法画出下列水平放置的平面图形的直观图(尺寸自定):(1)任意三角形;(2)平行四边形;(3)正八边形.解:(2)xyOxyOABCMMABCDDNN练习:(课本19页) 1.用斜二测画法画出下列水平放置的平面图形的直观图(尺寸自定):(1)任意三角形;(2)平行四边形;(3)正八边形.解:(3)xyOxyOABCMMDNNABCDEFGHEFGH练习:(课本19页) 【课时小结】1.多边形水平放置直观图的画法(1)在原图上恰当建立直角坐标系;(2)在所画图位置建立45斜角坐标系;(3)在斜角坐标系中取点连线:①保持与各坐标轴平行,②平行于x轴的长不变,平行于y轴的长减半;(4)擦去坐标系和辅助线. 【课时小结】2.圆水平放置的直观图圆的水平放置的直观效果是椭圆.画椭圆可借助几何用具上的椭圆工具. 练习:(课本19页)第2、3题.习题1.2A组第4题. 2.判断下列结论是否正确,正确的在括号内划“√”,错误的划“×”.(1)角的水平放置的直观图一定是角.()(2)相等的角在直观图中仍然相等.()(3)相等的线段在直观图中仍然相等.()(4)若两条线段平行,则在直观图中对应的两条线段仍然平行.()解:(1)正确.(2)不正确,如图:正方形中的∠1与∠2.12ABD12ABD(3)不正确,如图:正方形中的AB与AD.(4)正确. 3.利用斜二测画法得到的①三角形的直观图是三角形.②平行四边形的直观图是平行四边形.③正方形的直观图是正方形.④菱形的直观图是菱形.以上结论,正确的是()(A)①②(B)①(C)③④(D)①②③④A用正方形为反例. ABCD习题1.2A组4.用斜二测画法画出水平放置的一角为60,边长为4cm的菱形的直观图.xyOABCDxyO4cm2cm解: 1.2.3空间几何体的直观图(第二课时)返回目录 学习要点1.立体图形水平放置时的效果是怎样的?2.立体图形水平放置的直观图由哪两部份组成?3.用斜二测画法画立体图形水平放置的直观图时,应注意哪些要点? 问题1.如图是一个正方体的水平放置图,你认为它的水平面是怎样的效果?它的铅垂面又是怎样的效果?这样放置的几何体应怎样画?水平面是正方形的水平放置直观图.铅垂面正面与实际效果相同,侧面效果是平行四边形.铅垂线条与水平面垂直,高与实际相同. 1.按斜二测画出底面的水平放置直观图;2.在斜角坐标系中作z轴⊥x轴;3.立体图形中各点的高平行于z轴,长度不变;4.连接各点成所作几何体;5.擦去坐标系和辅助线条;立体图形的直观图,是在平面图形水平放置的基础上增加竖直部分的图形,其基本步骤如下:6.将被遮部分的线条擦成虚线. 2cm4cm0.75cmxy例2.用斜二测画法画长、宽、高分别是4cm、3cm、2cm的长方体ABCD-ABCD的直观图.画法:(1)用斜二测画法画出底面ABCD,使AB=4cm,OzABCDABCD(2)作竖坐标z轴;AD=3cm;(3)分别作AA、BB、CC、DD与z轴平行,且等于2cm;(4)连结AB、BC、CD、DA;(5)擦去坐标轴和辅助线;(6)将被遮线条擦成虚线. 例3.如图是已知几何体的三视图,用斜二测画法画出它的直观图.··OO·P·OO·P正视图侧视图俯视图分析:由三视图看出,几何体的上部是一个圆锥,下部是一个圆柱. 例3.如图是已知几何体的三视图,用斜二测画法画出它的直观图.··OO·P·OO·P正视图侧视图俯视图画法:(1)用椭圆画板画出底面圆,使AB=AB;xOzABAB 例3.如图是已知几何体的三视图,用斜二测画法画出它的直观图.··OO·P·OO·P正视图侧视图俯视图画法:(2)在z轴上取OO与原图中的OO相等;xOzABABO 例3.如图是已知几何体的三视图,用斜二测画法画出它的直观图.··OO·P·OO·P正视图侧视图俯视图画法:(3)过O作x轴平行x轴,画椭圆O与椭圆xOzABABOxO全等;AB 例3.如图是已知几何体的三视图,用斜二测画法画出它的直观图.··OO·P·OO·P正视图侧视图俯视图画法:(4)在z轴上取OP与原图中的OP相等;xOzPABABOxAB 例3.如图是已知几何体的三视图,用斜二测画法画出它的直观图.··OO·P·OO·P正视图侧视图俯视图画法:(5)连结PA,PB,xOzPABABOxABAA,BB; 例3.如图是已知几何体的三视图,用斜二测画法画出它的直观图.··OO·P·OO·P正视图侧视图俯视图画法:(6)擦去坐标系以及xOzPABABOxAB辅助线;·· 例3.如图是已知几何体的三视图,用斜二测画法画出它的直观图.··OO·P·OO·P正视图侧视图俯视图画法:(7)将被遮线条擦成OPABO虚线.··画图完成. 正视图侧视图俯视图直观图三视图:便于设计和施工.直观图:便于在一个几何体中讨论问题,分析和研究各几何元素的相互关系.三视图和直观图都是平行投影.中心投影:具有强烈的视觉真实感. 练习:(课本17页)第4、5题. O练习:(课本20页)4.用斜二测画法画出五棱锥P-ABCDE的直观图,其中底面ABCDE是正五边形,点P在底面的投影是正五边形的中心O(尺寸自定).5.以M,N为中点,作x轴的平行线BE=BE,CD=CD;xyABCDEM1.以正五边形的中心为原点建立直角坐标系;2.画斜角坐标系xoy;xyBE·CDO·NNM·A4.取3.连结BE交y轴于M,设CD交y轴于N;解: 练习:(课本20页)4.用斜二测画法画出五棱锥P-ABCDE的直观图,其中底面ABCDE是正五边形,点P在底面的投影是正五边形的中心O(尺寸自定).7.连结AB,BC,DE,EA;xyABCDEMON解:8.作Oz轴;9.在z轴上取OP等于五棱锥的高;10.连PA,PB,PC,PD,PE;xyBE·CD·NM·A11.擦去坐标系和辅助线,再把被遮线条擦成虚线.z·POO 5.如图是一个空间几何体的三视图,试用斜二测画法画出它的直观图.正视图俯视图侧视图解:由三视图知几何体是一个正六棱台.(1)先画出水平放置的下底面ABCDEF,(2)在z轴上取棱台高OO,(3)以O为上底面的中心画上底面ABCDEF,(4)连结AA,BB,…FF,(5)擦去辅助线,被遮线条擦成虚线.xOzyABOxyABCDEFCDEF 【课时小结】1.柱体、锥体直观图的画法(1)按斜二测画法画出底面的水平放置图;(2)在斜角坐标系中作z轴⊥x轴;(3)各竖直线段平行于z轴长度与实际相等,(4)连接各点成所作几何体;(5)擦去坐标系和辅助线;(6)将被遮部分的线条擦成虚线.(成比例缩放的按比例画). 【课时小结】2.台体直观图的画法(1)按斜二测画法画出下底面的水平放置图;(2)在斜角坐标系中作z轴⊥x轴;(3)在z轴上取点O,使OO等于台高(4)以O为原点建立斜角坐标系xOy;(5)在xOy坐标系中画出上底面;(6)连接各侧棱.(成比例缩放的按比例画).(7)擦去坐标系和辅助线;(6)将被遮部分的线条擦成虚线. 习题1.2A组第5题.B组第3题. 5.如图,已知几何体的三视图,想象对应的几何体的结构特征,并画出它的直观图.解:几何体的上部是个圆锥,下部是个四棱柱.xOzyOxy习题1.2A组 B组3.如图是一个简单组合体的三视图,想象它表示的组合体的结构特征,并尝试画出它的示意图(尺寸不作严格要求).正视图侧视图俯视图解:这个几何体是由27个小正方体组成的一个大正方体.