7.1空间几何体的结构及其三视图

第七章立体几何第一节空间几何体的结构及其三视图和直观图 1.多面体的结构特征多面体结构特征棱柱棱柱的侧棱都_____且_____，上下底面是_____且_____的多边形棱锥棱锥的底面是任意多边形，侧面是有一个_________的三角形棱台棱台可由_______棱锥底面的平面截棱锥得到，其上下底面是_____且_____的多边形平行相等平行全等公共顶点平行于平行相似 2.旋转体的结构特征旋转体结构特征圆柱圆柱可由_____绕其任意一边旋转得到圆锥圆锥可以由直角三角形绕其_______旋转得到圆台圆台可以由直角梯形绕直角腰或等腰梯形绕上下底中点连线旋转得到，也可由_____于圆锥底面的平面截圆锥得到球球可以由半圆或圆绕_____旋转得到矩形直角边平行直径 3.三视图(1)名称:几何体的三视图有:_______、_______、_______.(2)画法:①画三视图时，重叠的线只画一条，挡住的线要画成虚线；②三视图的正视图、侧视图、俯视图分别是从几何体的_____方、_____方、_____方观察几何体得到的正投影图.(3)规则:①画法规则：长对正、高平齐、宽相等；②摆放规则：侧视图在正视图的右侧，俯视图在正视图的下方.正视图侧视图俯视图正前正左正上 4.空间几何体的直观图的画法空间几何体的直观图常用_______画法来画，其规则是：(1)原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直，直观图中,x′轴、y′轴的夹角为______________，z′轴与x′轴和y′轴所在平面_____.(2)原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中________________，平行于x轴和z轴的线段长度在直观图中长度_____，平行于y轴的线段长度在直观图中长度为___________.斜二测45°(或135°)垂直仍平行于坐标轴原来的一半不变 判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”).(1)有两个面平行,其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱.()(2)有一个面是多边形,其余各面都是三角形的几何体是棱锥.()(3)一个棱柱至少有5个面,面数最少的一个棱锥有4个顶点,顶点最少的一个棱台有3条侧棱.() (4)用斜二测画法画水平放置的∠A时,若∠A的两边分别平行于x轴和y轴，且∠A=90°，则在直观图中,∠A=45°.()(5)正方体、球、圆锥各自的三视图中,三视图均相同.()【解析】(1)错误.尽管几何体满足了两个面平行且其他各面都是平行四边形,但不能保证每相邻两个侧面的公共边互相平行.如图,该几何体并不是棱柱. (2)错误.尽管几何体满足了一个面是多边形,其余各面都是三角形,但不能保证三角形具有公共顶点.(3)正确.面数最少的棱柱为三棱柱,有5个面;面数最少的棱锥为三棱锥,有4个顶点;顶点最少的棱台为三棱台,有3条侧棱.(4)错误.∠A应为45°或135°.(5)错误.正方体的三视图由于正视的方向不同,其三视图的形状可能不同,圆锥的侧视图与俯视图显然不相同.答案:(1)×(2)×(3)√(4)×(5)× 1.下列结论中正确的是()(A)各个面都是三角形的几何体是三棱锥(B)以三角形的一条边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫圆锥(C)棱锥的侧棱长与底面正多边形的边长相等，则该棱锥可能是六棱锥(D)圆锥的顶点与底面圆周上的任一点的连线都是母线 【解析】选D.当一个几何体由具有相同的底面且顶点在底面两侧的两个三棱锥构成时，尽管各面都是三角形，但它不是三棱锥，故A错误；若三角形不是直角三角形或是直角三角形但旋转轴不是直角边所在直线，所得几何体就不是圆锥，故B错误；以正六边形为底面，则棱长必然要大于底面边长，故C错误，所以选D. 2.用任意一个平面截一个几何体,各截面都是圆面,则这个几何体一定是()(A)圆柱(B)圆锥(C)球体(D)圆柱、圆锥、球体的组合体【解析】选C.由几何体的结构特征可知,该几何体一定是球体. 3.一个几何体的正视图和侧视图如图所示,则这个几何体的俯视图不可能是() 【解析】选D.∵该几何体的正视图和侧视图都是正方形,∴其可能为正方体、底面直径与高相等的圆柱体及底面是等腰直角三角形且其腰长等于棱柱高的直三棱柱,但不可能是一个底面长与宽不相等的长方体. 4.用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图是如图所示的一个正方形,则原来的图形是() 【解析】选A.由直观图的画法规则可知,平行于x轴的线段长度不变,平行于y轴的线段长度减半. 5.若一个三棱柱的三视图如图所示,其俯视图为正三角形,则这个三棱柱的高和底面边长分别为________,________. 【解析】由三视图的画法可知,该三棱柱的高为2,底面正三角形的高为,则底面边长为4.答案:24 考向1空间几何体的结构特征【典例1】(1)给出下列命题:①棱柱的侧棱都相等,侧面都是全等的平行四边形;②用一个平面去截棱锥,棱锥底面与截面之间的部分是棱台;③若三棱锥的三条侧棱两两垂直,则其三个侧面也两两垂直;④若四棱柱有两个过相对侧棱的截面都垂直于底面,则该四棱柱为直四棱柱; ⑤存在每个面都是直角三角形的四面体;⑥棱台的侧棱延长后交于一点.其中正确命题的序号是()(A)①②③④(B)②③④⑤(C)③④⑤⑥(D)①②③④⑤⑥ (2)给出下列命题:①在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点,则这两点的连线是圆柱的母线;②在圆台的上、下底面的圆周上各取一点,则这两点的连线是圆台的母线;③圆柱的任意两条母线所在的直线是互相平行的.其中正确命题的序号是()(A)①②(B)②③(C)①③(D)③ 【思路点拨】(1)根据棱柱、棱锥、棱台的定义或借助常见的几何模型作出判断.(2)根据母线的定义和性质作出判断.【规范解答】(1)选C.①错误,因为棱柱的侧面不一定是全等的平行四边形;②错误，必须用平行于底面的平面去截棱锥,才能得到棱台;③正确,根据面面垂直的判定定理判断;④正确,因为两个过相对侧棱的截面的交线平行于侧棱,又垂直于底面; ⑤正确,如图所示,正方体AC1中的三棱锥C1-ABC,四个面都是直角三角形;⑥正确,由棱台的概念可知.因此,正确命题的序号是③④⑤⑥.(2)选D.根据圆柱、圆台的母线的定义和性质可知,只有③是正确的,所以选D. 【拓展提升】解决与空间几何体结构特征有关问题的技巧(1)紧扣结构特征是判断的关键，熟悉空间几何体的结构特征，依据条件构建几何模型，在条件不变的情况下，变换模型中的线面关系或增加线、面等基本元素，然后再依据题意判定.(2)通过反例对结构特征进行辨析，即要说明一个命题是错误的，只要举出一个反例即可. 【变式训练】(1)如果四棱锥的四条侧棱都相等,就称它为“等腰四棱锥”,四条侧棱称为它的腰,以下4个命题中,是假命题的是()(A)等腰四棱锥的腰与底面所成的角都相等(B)等腰四棱锥的侧面与底面所成的二面角都相等或互补(C)等腰四棱锥的底面四边形必存在外接圆(D)等腰四棱锥的各顶点必在同一球面上 【解析】选B.因为“等腰四棱锥”的四条侧棱都相等,所以它的顶点在底面上的射影到底面的四个顶点的距离相等,故A,C正确,且在它的高上必能找到一点到各个顶点的距离相等,故D正确,B不正确,如底面是一个等腰梯形时结论就不成立. (2)下列命题中，正确的是()(A)有两个侧面是矩形的棱柱是直棱柱(B)侧面都是等腰三角形的棱锥是正棱锥(C)侧面都是矩形的四棱柱是长方体(D)底面为正多边形，且有相邻两个侧面与底面垂直的棱柱是正棱柱 【解析】选D.认识棱柱一般要从侧棱与底面的垂直与否和底面多边形的形状两方面去分析，故A,C都不准确，B中对等腰三角形的腰是否为侧棱未作说明，故也不正确. 考向2空间几何体的三视图【典例2】(1)(2013·四川高考)一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的直观图可以是() (2)如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为正方形,PC与底面垂直.若该四棱锥的正视图和侧视图都是腰长为1的等腰直角三角形,则该四棱锥中最长的棱的长度为()(A)1(B)(C)(D)2 【思路点拨】(1)结合三视图进行判断,特别要注意虚线的标注.(2)根据三视图的画法求出四棱锥P-ABCD中最长棱的长度.【规范解答】(1)选D.根据几何体的三视图中正视图与侧视图一致,并且俯视图是两个圆,可知只有选项D适合,故选D.(2)选C.在四棱锥P-ABCD中,连接AC,由正视图和侧视图可得PC=BC=CD=1,故最长的棱为 【互动探究】若本例题(2)中的四棱锥P-ABCD为正四棱锥,且正视图和侧视图是边长为1的正三角形,求该四棱锥的侧棱长.【解析】如图,由条件知,正四棱锥的底边AB=1,高PO=.则在正方形ABCD内,OB=AB=,故侧棱长 【拓展提升】三视图的画法技巧(1)画几何体的三视图可以想象自己站在几何体的正前方、正左方和正上方观察，它的轮廓线是什么，然后再去画图.(2)对于简单几何体的组合体的三视图,①要确定正视、侧视、俯视的方向;②要注意组合体是由哪些几何体组成,弄清楚它们的生成方式；③注意它们的交线的位置. 【变式备选】(1)已知正三棱柱的侧棱长与底面边长都是2,给出以下a,b,c,d四种不同的三视图,其中可以正确表示这个正三棱柱的三视图的有()(A)1个(B)2个(C)3个(D)4个 【解析】选D.根据正三棱柱的位置,以及画三视图的规则,容易得出4种不同的三视图都正确. (2)一个几何体的正视图和俯视图如图所示,则其侧视图的面积为()(A)7(B)(C)6(D) 【解析】选B.由分析可知其侧视图如图所示,其上面是一个两直角边均为1的直角三角形,则侧视图的面积为 考向3空间几何体的直观图【典例3】(1)如图是一个几何体的三视图，用斜二测画法画出它的直观图. (2)如图所示，△A′B′C′是△ABC的直观图，且△A′B′C′是边长为a的正三角形,求△ABC的面积. 【思路点拨】(1)先由三视图确定几何体的结构，然后画出直观图.(2)根据斜二测画法，作出△ABC的边AB上的高在平面直观图中所对应的线段，并用平面几何的知识求其长度即可求得原△ABC的面积. 【规范解答】(1)该几何体类似棱台，先画底面矩形，中心轴，然后画上底面矩形，连线即成.画法：如图，先画轴，依次画x′,y′,z′轴，三轴相交于点O′，使∠x′O′y′=45°，∠x′O′z′=90°.在z′轴上取O′O″=8cm,再画x″,y″轴.在坐标系x′O′y′中作直观图ABCD，使得AD=20cm，AB=8cm；在坐标系x″O″y″中作直观图A1B1C1D1，使 得A1D1=12cm，A1B1=4cm.连接AA1,BB1,CC1,DD1，即得到所求直观图.(2)如图所示，△A′B′C′是边长为a的正三角形，作C′D′∥A′B′交y′轴于点D′，则D′到x′轴的距离为，∵∠D′A′B′=45°，∴A′D′= 由斜二测画法的法则知，在△ABC中，AB=A′B′=a，AB边上的高是A′D′的二倍，即为∴S△ABC= 【互动探究】本例题(2)若改为“已知△ABC是边长为a的等边三角形，求其直观图△A′B′C′的面积”,则如何求解?【解析】如图所示,△A′B′C′为△ABC的直观图,O′为A′B′的中点.由直观图的画法知A′B′=a,∴即边长为a的等边三角形的直观图的面积为 【拓展提升】直观图的画法直观图的斜二测画法的关键之处在于将图中的关键点转化为坐标系中的水平方向与垂直方向的坐标长度，然后运用“水平长不变，垂直长减半”的方法确定出点，最后连线即得直观图.【提醒】画直观图时注意被遮挡的部分画成虚线. 【变式备选】如图,矩形O′A′B′C′是水平放置的一个平面图形的直观图,其中O′A′=6cm,O′C′=2cm,则原图形是()(A)正方形(B)矩形(C)菱形(D)一般的平行四边形 【解析】选C.将直观图还原得▱OABC,∵O′D′=O′C′=(cm),∴OD=2O′D′=(cm),∵C′D′=O′C′=2(cm),∴CD=2(cm),∴∴OA=O′A′=6(cm)=OC,故原图形为菱形.