空间几何体的三视图和直观图

1.2空间几何体的三视图和直观图1313自我检测1.已知△ABC选定的投影面与4ABC所在平面平行，则经过中心投影后所得的三角形与△ABC()B13.不相似D.以上都不正确13132.一条直线在平面上的平行投影是()DB.点C.线段3.卜列说法错误的是（）DA.正视图反映了物体上下、左右的位置关系,即反映了物体的高度和长度B.俯视图反映了物体左右、前后的位置关系,即反映了物体的长度和宽度C.侧视图反映了物体上下、前后的位置关系,即反映了物体的高度和宽度13134.在已知图形中平行于x轴的线段AB=6cm,则在直观图中线段AB'.cm;在已知图形中平D.一个几何体的正视图和俯视图高度一样，正视图和侧视图长度一样，侧视图和俯视图宽度一样1313cm.行于y轴的线段CD=4cm,则在直观图中线段C'D'=解析：由于平行于x轴的线段在直观图中保持原长度不变，则AB'=AB=6cm,平行于y轴的线段在直观图中长度变为原来的一1半，则CD=^CD=2cm.［答案］62cm.5、在空间几何体中，平行于z轴的线段AB=10cm,则在直观图中对应的线段AB'［解析］由于平行于z轴的线段在直观图中保持长度不变，则AB'=AB=10cm.［答案］106、水平放置的△ABC的直观图如图所示，已知AC'=3,B'C=2,求AB边上的中线的实际长度为多［解析］形中，/ACB2,则在原图形中,由于在直观图中，—AC则AB边上的中线的长度为考点一画简单几何体的三视图例1画出如图所示的正三棱柱和正五棱台的三视图俯视图图①(1),则在原图90°,又；在直观图中,CB'=45°3,BC=4,52.偏视图图②13 上图（2）所示的正五棱台的三视图如图②所示.［解析］上图（1）所示的正三棱柱的三视图如图①所示.［点评］正五棱台的正视图中有两条虚线，它们是正五棱台后面两条棱所形成的投影，辨析某条棱的可见与不可见的方法是:把物体看成是不透明的，能看见的棱就是可见轮廓线，看不见、但又确实存在的棱就是不可见轮廓线.例2、如图所示，水平放置的圆柱形物体的三视图是图中的（）DO正视图做I视图口口OD正视图侧视图正-视图侧视图俯视图A1313［解析］此题主要研究实物图到三视图的转化过程，正视图是通过正面观察物体的形状，侧视图是从左侧面去观察，俯视图AB、C、D,可是从上往下看物体的形状如何.从正面看是个矩形，从左面看是个圆，从上往下看是一个矩形，对照图中的知A是正确的.例3、某几何体的正视图和侧视图均如左图所示，则该几何体的俯视图不可能是（）13［分析］本题是组合体的三视图问题，由几何体的正视图和侧视图均如左图所示知，几何体下面为圆柱或直四棱柱，上面是圆柱或直四棱柱或底面是直角三角形的直三棱柱.［解析］A,B,D都可能是该几何体的俯视图，C不可能是该几何体的俯视图，因为它的正视图上面应为如下图所示的矩形.［答案］C例4、如图所示，画出四面体ABCD三视图中的正视图，以面AADD为投影面，则得到的正视图可以为（）1313［分析］依次确定四面体ABCD的每一条棱在面AADD上的投影即可.［解析］显然AB,ACBD,CD分别投影得到正视图的外轮廓，BiC为可见实线，AD为不可见虚线.故A正确.［答案］A13 例5、在一个几何体的三视图中，主视图和俯视图如图所示，则相应的侧视图可以为解视图1313［解析］此几何体为一个半圆锥和一个三棱锥的组合体，只有D项符合题意.［答案］D变式练习1313［解析］圆台的三视图如图.2、下列几何体各自的三视图中，有且仅有两个视图相同的是（）①正方'体A.①②［解析］①正方体，三视图均相同；②圆锥，正视图和侧视图相同；③三棱台,三视图各不相同；④圆台，正视图和侧1313视图相同.［答案］D考点二画简单组合体的三视图例1如下图所示，画出下列组合体的三视图①②①②［分析］图①是一个长方体挖去一个四棱柱，图②是上下叠起且轴线重合的三个圆柱组成的几何体.三视图如下图①②所示.13 变式练习1、如图①所示的几何体，则该几何体的俯视图是图②中的()［解析］(1)此几何体俯视图首先为矩形.但上方被截去角的三棱柱的侧棱及角的边是看得见的,所以，俯视图中间有实线且1313靠左边有三角形形状.故选C.2、画出如图所示几何体的三视图.解：①此几何体的三视图如图所示:②此几何体的三视图如图所示:1313考点三由三视图还原空间几何体例1某几何体的三视图如图所示，试分析该几何体的结构特征1313［解析］由正视图和侧视图可知，该物体的下半部分为柱体，上半部分为锥体，又因俯视图为一个正六边形，故该几何体是由一个正六棱柱和一个正六棱锥组合而成的，如图所示.例2、下面是某立体图形的三视图，请说出立体图形的名称.［解析］该立体图形为长方体，如下图所示.变式练习13 1、若一个几何体的正视图和侧视图都是等腰三角形，俯视图是圆，则这个几何体是（）A.圆柱B,三棱柱C.圆锥D.球［解析］正视图和侧视图都是等腰三角形，俯视图是圆说明此几何体是圆锥.答案：C2、如图所示是两个立体图形的三视图，请说出立体图形的名称.正视图恻视国OA俯视图俯视图甲乙解析：由已知可知甲的俯视图是圆，则该几何体是旋转体，又正视图和侧视图均是矩形，则甲是圆柱：乙的俯视图是三角形,则该几何体是多面体，又正视图和侧视图均是三角形，则该多面体的各个面都是三角形，则乙是三棱锥.答案：甲是圆柱；乙是三棱锥.考点四斜二测画法的性质例1、在用斜二测画法画水平放置的△ABC时，若/A的两边平行于x轴、y轴，则在直观图中，LA=（A.45°B,135°C.90°D,45°或135°［解析］因/A的两边平行于x轴、y轴，故/A=90°,在直观图中，按斜二测画法规则知/x'O'y'=45°或135/A'=45°或135°.［答案］D例2.给出以下关于斜二测直观图的结论，其中正确的个数是（）①角的水平放置的直观图-一定是角.②相等的角在直观图中仍相等.③相等的线段在直观图中仍然相等.④若两条线段平行，则在直观图中对应的两条线段仍然平行.A.0B.1C.2D.3［解析］由斜二测画法规则可知，直观图保持线段的平行性，：④对，①对；而线段的长度，角的大小在直观图中都会发生改变，：②③错.［答案］C例3.利用斜二测画法得到:13 ①三角形的直观图是三角形；②平行四边形的直观图是平行四边形；③正方形的直观图是正方形；④菱形的直观图是菱形.以上说法正确的是（）A.①B.①②C.③④D.①②③④［解析］根据画法规则，平行性保持不变，与y轴平行的线段长度减半.［答案］B变式练习1.下列关于用斜二测画法画直观图的说法中，正确的是（）A.水平放置的正方形的直观图不可能是平行四边形B.平行四边形的直观图仍是平行四边形C.两条相交直线的直观图可能是平行直线D.两条垂直的直线的直观图仍互相垂直［点评］斜二测画法主要保留了原图的三个性质：①保平行；②保共点；③保平行线段的长度比.［答案］B考点五水平放置的平面图形直观图的画法例1、画正五边形的直观图Vli画法：（1）以正五边形的中心为原点0,建立如图（1）所示的直角坐标系xOy,再建立如图（2）所示的坐标系x'O'y',使/x'O'y'=45°；(2)在图(1)中作BGLx轴于G,EHLx轴于H,在坐标系1x'Oy中作OH'=0H,OG=0G,OA=]0A,1OF=2OF,过F作CD'//x'轴使C'D'=CD且F'为C'D'的中点.(3)在平面x'O'y'中，过G'作G'B'//y'轴，且11GB'=2BG,过H'作H'E'//y'轴，且H'E'=]HE,连接A'B',B'C'、C'D'、D'E'、E'A',得五边形A'B'C'D'E'为正五边形ABCDE的平面直观图.(4)擦去x',y'轴得直观图五边形A'B'C'D'E'.例2、在下列选项中，利用斜二测画法，边长为1的正三角形ABC勺直观图不是全等三角形的一组是（）13 ［解析］C中前者画成斜二测直观图时，底AB不变，原来高h变为J,后者画成斜二测直观图时，高不变，边AB变为原，，，1-来的亍［答案］c变式练习1、画边长为1cm的正三角形的水平放置的直观图.［解析］（1）如图所示，以BC边所在直线为x轴,以BC边上的高线AO所在直线为y轴，再画对应的x'轴与y'轴，两轴相1313交于点O',使/x'O'y'=45（2）在x'轴上截取O'B'=O'C'=0.5cm,在y'轴上截取O'A'=2aO=?cm,连接A'B',A'C',则4A'B'C即为正三角形ABC的直观图.（3）擦去x',y'轴得直观图△A'B'C'.2、如图，用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图为一个正方形，则原来图形的形状是（）［解析］由斜二测画法可知，与y'轴平行的线段在原图中为在直观图中的2倍.故可判断A正确.考点六画几何体的直观图例1、用斜二测画法画出六棱锥P-ABCDEF勺直观图，其中底面ABCDE屋正六边形，点P在正六边形的投影是正六边形ABCDEF的中心（尺寸自定）［解析］画法：（1）画六棱锥P—ABCDEF勺底面.①在正六边形ABCDE冲，取AD所在直线为x轴，对称轴MNff在直线为y轴，两轴相交于O（如图1所示），画相应的x'轴13 和y'轴、z'轴，三轴交于O',使/父OV‛=45°,/x'O'z'=90°（如图2所示）.②在图2中，以O'为中点，在x'轴上取AD'=AD,1在y轴上取MN=2mN,以点N'为中点回B'C平行于x'轴，并且等于BC;再以M'为中点画E'F'平行于x'轴，并且等于EF.③连接AB',C'D',D'E',F'A'得到正六边形ABCDEF水平放置的直观图A'B'CD'E'F'.⑵画六棱锥P—ABCDEF勺顶点，在O'z'轴上截取O'P'=OP.(3)成图.连接P'A',P'B',P'C',P'D',P'E',P'F',并擦去x'轴，y'轴，z'轴，便得到六棱锥P-ABCDEF的直观图P'—AB'C'D'EF'(图3).变式练习1、用斜二测画法画长、宽、高分别是4cm,3cm,2cm［画法］(1)画轴.如图①所示，画x轴、y轴、z轴，三轴相交于点O,使/xOy=45°,/xOz=90°.(2)画底面.以点O为中点，在x轴上取线段MN,使MN=4cm；在y轴上取线段PQ,使PQ=|cm.分别过点M和点N作y轴的平行线，过点P和Q作x轴的平行线，设它们的交点分别为A,B,C,D,四边形ABCD就是长方体的底面ABCD.(3)画侧棱，过A,B,C,D各点分别作z轴的平行线，并在这些平行线上分别截取2cm长的线段AA',BB',CC,DD(4)成图.顺次连接A',B',C',D',并加以整理(擦掉辅助线，将被遮挡的线改为虚线)，就得到长方体的直观图(如图考点七由三视图画直观图例1、某几何体的三视图如图所示，用斜二测画法画出它的直观图13 ［画法］(1)画轴.如图①，画x轴、y轴、z轴，使/xOy=45°,/xOz=90°.0x(2)画圆台的两底面.利用斜二测画法，画出底面。0,在z轴上截取OO,使OO等于三视图中相应的高度，过。’作的平行线0x',作Oy的平行线O'V用，利用0'X'与O'y'画出上底面。0'(与画O0一样).(3)画圆锥的顶点.在0z上取一点P,使P0等于三视图中相应的高度.(4)成图.连接PA',PB',AA,B'B,整理得到三视图表示的几何体的直观图，如图②^变式练习1、利用下图所示的三视图，画出它的直观图.俯视图［解析］该几何体是一个三棱柱，直观图如下图所示.13132、下图是一个几何体的直观图，画出它的三视图.1313 考点八与直观图有关的计算问题例1、如图，一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是一个底角为45。、腰和上底均为1的等腰梯形,则这个平面图形的面积是()13 A.B.1+孚a占套C.1十位D.2+地［解析］如图所示，.A'D'//B'C',•.ADIIBC../A'B'C'=45°,•./ABC=90°.•••ABXBC..•・四边形ABCD是直角梯形.其中，AD=A'D'=1,BC=B'C'=1+'2,AB=2,S梯形ABCD=2+'2.例2、如图，水平放置的△ABC勺斜二测直观图是图中的^AB'C',已知AC'=6,B'C'=4,则AB边的实际长度是1310［解析］由斜二测画法，可知△AB星直角三角形，且/BCA=90°,AC=6,BC=4X2=8,则AB=MaC+bC=10.［答案］例3、如图，是^AOB!斜二测画法画出白^直观图，则4AOB勺面积是.1313鸟8a乖216日,1［解析］由图易知^AOBK底边OB=4,又二.底边O阴勺身为8,：面积S=2*4X8=16.［答案］16变式练习1、已知正△ABC的边长为a,那么正△ABC的直观图4ABC的面积是（）r近2C.ga［解析］如图（1）为实际图形，建立如图所示的平面直角坐标系xOy.13 如图（2）,建立坐标系x'O'y',使/x'O'y'=45°,图(1)图⑵由直观图画法知：A‛B=AB=a,O'C'=goc=¥3a.过c作C'D'，O'x'于D',则C‘D'=/'C'=-86a.所以△A'B'C的面积是S=2a'B'C'D2、有一个长为5cm,宽为4cm的矩形，则其直观图的面积为［解析］由于该矩形的面积为S=5X4=20(cm2),所以由-1^公式S'=手$其直观图的面积为S'=i2S=5-.2(cm2).易错题例1、画出如图所示的正视图和俯视图解：正视图和俯视图，如图所示.正视图俯视图1313，请用作图法画例2、如图①所示，△ABC水平放置的直观图为△ABC,ZBAC=30°,/ACB=90°出原△ABC,并量出^ABC的各个内角，/BAC是否等于/BAC的2倍？/BCA是否等于/图①［正解］如图②所示，画出直角坐标系xOy,以点A为原点.在直观图中过C'彳C'D//O'y'轴，交AB'于D',在Ox轴上截取AB=AB',AD-AD'.过D作DC//Oy轴，使DC=2D'C',连接AC,BC,则△ABC为原三角形.用量角器量出/BAG可以彳1出/BAO60°,所以/BAO2/B'AC',/BCL/B'CA.13 变式练习1、如图所示的是水平放置的三角形ABC^直角坐标系中的直观图，其中D为AC的中点，原ABC中，/ACBW30。，则原图形中与线段BD的长相等的线段有［解析］先按照斜二测画法把直观图还原为原来的平面图形，然后根据平面图形的几何性质找与线段BD长度相等的线段，把△ABC还原为平面图形后为直角三角形，则D为斜边AC的中点.［答案］AD,DC2、如图所示的物体的三视图有无错误？如果有，请更正.俯视图俯视图侧视图总结：下图是最基本的常见几何体的三视图几何体直观图形正视图侧视图俯视图止方体1；hTPvrt■■//77口!□ID长方体A_/—□圆柱0(□IDIOI圆锥IA1IG)圆台回1O||O|1©1球1㊁C)|Cc)|13 13