空间几何体的结构特征和三视图复习

一 空间几何体的结构特征和三视图 1．简单旋转体(1)以半圆的直径所在的直线为旋转轴，将半圆旋转所形成的曲面叫作球面．球面所围成的几何体叫作球体，简称____．在球面上，两点之间连线最短的长度，就是经过这两点的大圆在这两点间的一段劣弧的长度，我们称这段弧长为两点的_____________．球双基研习•面对高考基础梳理球面距离 (2)分别以矩形的一边、直角三角形的一条直角边、直角梯形垂直于底边的腰所在的直线为旋转轴，其余各边旋转而形成的曲面所围成的几何体分别叫作圆柱、圆锥、圆台．它们都有_____________________．高、底面、侧面、母线 思考感悟1．直角三角形绕其一边所在直线旋转一周得到的几何体一定是圆锥吗？提示：不一定是圆锥．若直角三角形绕一条直角边所在直线旋转一周，则得到的几何体是圆锥；若绕其斜边所在直线旋转一周，则得到的是两个同底圆锥构成的一个组合体． 2．简单多面体(1)两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，这些面围成的几何体叫作________．两个面的公共边叫作棱柱的棱，其中两个侧面的公共边叫作棱柱的_______，底面多边形与侧面的公共点叫作棱柱的顶点，与两个底面都垂直的直线夹在两底面间的线段长叫作棱柱的高．棱柱分为直棱柱和斜棱柱．棱柱侧棱 (2)有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，这些面围成的几何体叫作棱锥．这个多边形叫作棱锥的底面，其余各面叫作棱锥的侧面，相邻侧面的公共边叫作棱锥的_______，各侧面的公共点叫作棱锥的顶点，过顶点作底面的垂线，顶点与垂足间的线段长叫作棱锥的________．(3)如果棱锥的底面是正多边形，且各侧面全等，就称作__________．正棱锥的侧面是全等的等腰三角形，它的高叫作正棱锥的_______．侧棱高正棱锥斜高 用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分叫作_______．原棱锥的底面和截面分别叫作棱台的下底面和上底面，其他各面叫作棱台的侧面，相邻侧面的公共边叫作棱台的侧棱，与两个底面都垂直的直线夹在两底面间的线段长叫作棱台的________．由正棱锥截得的棱台叫作正棱台，正棱台的侧面是全等的等腰梯形，它的高叫作正棱台的______．棱台高斜高 3．斜二测画法(1)在已知图形中建立直角坐标系xOy，画直观图时，它们分别对应x′轴和y′轴，两轴交于点O′，使∠x′O′y′＝45°，它们确定的平面表示___________．(2)已知图形中平行于x轴或y轴的线段，在直观图中分别画成平行于____________的线段．(3)已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中保持_____________；平行于y轴的线段，长度为原来水平平面x′轴和y′轴原长度不变 4．三视图(1)三视图的特点：主、俯视图_______；主、左视图_________；俯、左视图宽相等，前、后对应．(2)若相邻两物体的表面相交，表面的交线是它们的________，在三视图中，________和可见轮廓线都用实线画出．(3)画简单组合体的三视图应注意两个问题：首先，确定主视、俯视、左视的_______．同一物体放置的_________，所画的三视图可能不同．其次，简单组合体是由哪几个基本几何体生成的，并注意它们的生成方式，特别是它们的_____________．长对正高平齐分界线分界线方向位置不同交线位置 思考感悟2．空间几何体的三视图和直观图在观察角度和投影效果上有什么区别？提示：(1)观察角度：三视图是从三个不同位置观察几何体而画出的图形；直观图是从某一点观察几何体而画出的图形．(2)投影效果：三视图是正投影下的平面图形，直观图是在平行投影下画出的空间图形． 课前热身1．(教材习题改编)如图所示，4个三视图和4个实物图配对正确的是() A．(1)c，(2)d，(3)b，(4)aB．(1)d，(2)c，(3)b，(4)aC．(1)c，(2)d，(3)a，(4)bD．(1)d，(2)c，(3)a，(4)b答案：A 2．(2011年质检)如图，下列几何体各自的三视图中，三个视图均不相同的是()A．①B．②C．③D．④答案：C 3．利用斜二测画法得到：①三角形的直观图是三角形；②平行四边形的直观图是平行四边形；③正方形的直观图是正方形；④菱形的直观图是菱形．以上结论，正确的是()A．①②B．①C．③④D．①②③④答案：A 4．给出下列命题：①在圆柱的上、下底面的圆上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线；②圆锥的顶点与底面圆周上任意一点的连线是圆锥的母线；③在圆台的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆台的母线；④圆柱的任意两条母线所在的直线是相互平行的．其中正确的是________．答案：②④ 5．如果把地球看成一个球体，则地球上北纬30°纬线长和赤道线长的比值为________． 考点探究•挑战高考考点突破空间几何体的结构特征解决该类题目需准确理解几何体的定义，要真正把握几何体的结构特征．要学会通过反例对概念进行辨析，即要说明一个命题是错误的，设法举出一个反例即可． 如果四棱锥的四条侧棱都相等，就称它为“等腰四棱锥”，四条侧棱称为它的腰，以下4个命题中，为假命题的是()A．等腰四棱锥的腰与底面所成的角都相等B．等腰四棱锥的侧面与底面所成的二面角都相等或互补C．等腰四棱锥的底面四边形必存在外接圆D．等腰四棱锥的各顶点必在同一球面上【思路点拨】根据几何体的特征“四条侧棱都相等”进行判断．例1 【解析】A．如图，∵SA＝SB＝SC＝SD，∴∠SAO＝∠SBO＝∠SCO＝∠SDO，即等腰四棱锥腰与底面所成的角相等，正确；B.等腰四棱锥的侧面与底面所成的二面角相等或互补不一定成立；C.如图，由SA＝SB＝SC＝SD得OA＝OB＝OC＝OD，即等腰四棱锥的底面四边形存在外接圆，正确；D.等腰四棱锥各顶点在同一个球面上，正确．故选B. 【答案】B【规律小结】熟悉空间几何体的结构特征，依据条件构建几何体模型，在条件不变的情况下，变换模型中的线面位置关系或增加线、面等基本元素，然后再依据题意判定，是解决这类题目的基本思考方法． 几何体的三视图画三视图时，应牢记其要求的“长对正、高平齐、宽相等”，注意虚、实线的区别，同时应熟悉一些常见几何体的三视图．解决由三视图想象几何体，进而进行有关计算的题目，关键是准确把握三视图和几何体之间的关系． (2010年高考浙江卷)若某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则此几何体的体积是()例2 【思路点拨】根据三视图，确定几何体的结构，画出直观图，根据公式可求体积． 【答案】B 【名师点评】通过三视图间接给出几何体的形状，打破了以往直接给出几何体并给出相关数据进行相关运算的传统模式，使三视图与传统意义上的几何体有机结合，这也体现了新课标的思想． 几何体的直观图画几何体的直观图一般采用斜二测画法，其规则可以用“斜”(两坐标轴成45°)和“二测”(平行于y轴的线段长度减半，平行于x轴和z轴的线段长度不变)来掌握． 例3【思路点拨】根据直观图的画法规则求出△A′B′C′的高即可． 【解析】如图所示，正三角形ABC的实际图形和直观图． 【答案】D【失误点评】本题易出现用错斜二测画法规则的错误，如把与横轴平行的线段长度变为原来的一半或与纵轴平行的线段长度不变等，都会导致计算结果的错误． 变式训练2如图所示，ABCD是一平面图形的水平放置的斜二测直观图，在斜二测直观图中，ABCD是一直角梯形，AB∥CD，AD⊥CD，且BC与y轴平行，若AB＝6，DC＝4，AD＝2，则这个平面图形的实际面积是________． 方法感悟方法技巧1．几何体的结构特征主要是理解基本概念和性质，并能灵活应用正棱锥问题常归结到它的高、侧棱、斜高、底面正多边形、内切球半径、外接圆半径、底面边长的一半构成的直角三角形中解决．(如例1)2．要注意物体的三视图和直观图的关系，注意两者之间的转化，会由物体的三视图作出物体的直观图，同样也应会由物体的直观图画出物体的三视图．(如例2) 失误防范1．台体可以看成是由锥体截得的，但一定强调截面与底面平行．2．掌握三视图的概念及画法在绘制三视图时，若相邻两物体的表面相交，表面的交线是它们的分界线．在三视图中，分界线和可见轮廓线都用实线画出，被挡住的轮廓线画成虚线．并做到“主、俯视图长对正，主、左视图高平齐，俯、左视图宽相等”． 3．掌握直观图的概念及斜二测画法在斜二测画法中，要确定关键点及关键线段．“平行于x轴的线段平行性不变，长度不变；平行于y轴的线段平行性不变，长度减半．” 考情分析考向瞭望•把脉高考柱、锥、台、球的定义与性质是基础，以它们为载体考查线线、线面、面面的关系是重点，三视图及直观图属新增内容，在各地高考题中频繁出现，大多为由三视图确定原几何体的表面积与体积，球面距离也是考查的重点内容，以上考点多以选择题、填空题出现，难度不大．预测2012年高考仍将以空间几何体的三视图为主要考查点，重点考查学生读图、识图能力以及空间想象能力． 真题透析例(2010年高考天津卷)一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为________． 1．下列命题中，不正确的是()A．棱长都相等的长方体是正方体B．有两个相邻侧面为矩形的棱柱为直棱柱C．有两个侧面与底面垂直的棱柱为直棱柱D．底面为平行四边形的四棱柱叫平行六面体解析：选C.由平行六面体、正方体的定义知A、D正确；对于B，相邻两侧面垂直于底面，则侧棱垂直于底面，所以该棱柱为直棱柱，因而B正确；对于C，若两侧面平行且垂直于底面，则不一定是直棱柱．名师预测 3．如图，△O′A′B′是水平放置的△OAB的直观图，则△OAB的面积是________． 答案：12 4．星期天小川和他爸爸到公园散步，小川身高是160cm，在阳光下他的影长为80cm，爸爸身高是180cm，则此时爸爸的影长为________cm.答案：90