空间几何体结构及三视图、直观

立体几何3空间点、线、面之间的位置关系1空间几何体的结构及三视图、直观图2空间几何体的表面积和体积4直线、平面平行的判定与性质5直线、平面垂直的判定与性质6空间直角坐标系 立体几何空间几何体空间点、直线、平面位置关系空间两个平面结构：柱、锥、台、球的有关概念三视图与直观图表面积与体积公式平面：三个公理空间两条直线空间直线与平面两个平面平行两个平面相交平面直线：公理4及等角定理异面直线：重点异面直线所成角相交直线在平面内直线与平面平行直线与平面相交线面平行判定及性质垂直：三垂线定理相交：线面所成的角距离面面平行的判定及性质二面角两个平面垂直的判定及性质知识框架 1.立体几何初步（1）空间几何体①认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征，并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构；②能画出简单空间图形（长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等的简易组合）的三视图，能识别上述的三视图所表示的立体模型，会用斜二测法画出它们的直观图;③会用平行投影与中心投影两种方法画出简单空间图形的三视图与直观图，了解空间图形的不同表示形式；④会画某些建筑物的视图与直观图（在不影响图形特征的基础上，尺寸、线条等不作严格要求）。⑤了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式（不要求记忆公式）.考试要求 （2）点、线、面之间的位置关系①理解空间直线、平面位置关系的定义，并了解如下可以作为推理依据的公理和定理：◆公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点在此平面内。◆公理2：过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面。◆公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。◆公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行。◆定理：空间中如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补。考试要求 ②以立体几何的上述定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面平行、垂直的有关性质与判定.理解以下判定定理：◆平面外一条直线与此平面内一条直线平行，则该直线与此平面平行.◆一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行.◆一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，则该直线与此平面垂直.◆一个平面过另一个平面的垂线，则两个平面垂直.考试要求 理解以下性质定理，并能够证明：◆一条直线与一个平面平行，则过该直线的任一个平面与此平面的交线与该直线平行.◆两个平面平行，则任意一个平面与这两个平面相交所得的交线相互平行.◆垂直于同一个平面的两条直线平行.◆两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直.③能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间位置关系的简单命题.考试要求 （3）空间直角坐标系①了解空间直角坐标系，会用空间直角坐标表示点的位置。②会推导空间两点间的距离公式。 空间几何体的结构多面体棱柱棱锥棱台斜棱柱直棱柱—长方体—正方体—正棱锥正三棱锥—正六面体正四棱锥旋转体圆柱圆锥圆台球 一.空间几何体的结构与性质空间几何体棱柱棱柱的概念棱柱的分类棱柱的性质棱锥棱锥的概念棱锥的分类棱锥的性质棱台圆柱圆锥圆台球 1.定义：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体叫做棱柱．（一）棱柱 （1）侧棱不垂直于底的棱柱叫做斜棱柱．2.棱柱的分类（2）侧棱垂直于底的棱柱叫做直棱柱．（3）底面是正多边形的直棱柱叫做正棱柱． 说明:底面是正多边形的直棱柱称为正棱柱; 3.棱柱的性质（1）侧棱都相等，侧面是平行四边形；（2）两个底面与平行于底面的截面是全等的多边形；（3）过不相邻的两条侧棱的截面是平行四边形．4.长方体的性质（1）长方体的对角线交于一点，并且在交点处互相平分.（2）长方体的一条对角线长的平方等于一个顶点上三条棱长的平方和，也等于长方体外接球的直径. 正方体内切球直径等于棱长. 5.正三棱柱的性质 (2004全国卷二,16)下面是关于四棱柱的四个命题:①若有两个侧面垂直于底面,则该四棱柱为直四棱柱②若两个过相对侧棱的截面都垂直于底面,则该四棱柱为直四棱柱③若四个侧面两两全等,则该四棱柱为直四棱柱④若四棱柱的四条对角线两两相等,则该四棱柱为直四棱柱其中,真命题的编号是.②④ (08’江西)如图1,一个正四棱柱形的密闭容器底部镶嵌了同底的正四棱锥形实心装饰块,容器内盛有a升水时,水面恰好经过正四棱锥的顶点P.如果将容器倒置,水面也恰好过点P(图2).有下列四个命题：A.正四棱锥的高等于正四棱柱高的一半;B.将容器侧面水平放置时，水面也恰好过点P;C.任意摆放该容器,当水面静止时,水面都恰好经过点P;D.若往容器内再注入a升水,则容器恰好能装满.其中真命题的代号是：____（写出所有真命题的代号）．B,D 1.棱锥的定义棱锥的底面棱锥的侧面棱锥的顶点棱锥的侧棱棱锥的高SABCDEO(二)棱锥如果一个多面体的一个面是一个多边形,其余各面是有一个公共顶点的三角形,那么这个多面体叫棱锥. 2.棱锥的性质截面∽底面SABCDEOA’B’C’E’D’如果棱锥被平行于底面的平面所截,那么截面与底面相似,并且它们的面积比等于截得棱锥的高与已知棱锥的高的平方比. [例]一棱锥被平行于底面的平面所截，若截面面积与底面面积之比为1：2，则此棱锥的高被分成的两段（自上至下）之比为.SABCDEOA’B’C’E’D’ 3.正棱锥(2)正棱锥的性质:①各侧棱相等,各侧面都是全等的等腰三角形,各等腰三角形底边上的高(斜高)相等.②正棱锥的高、侧棱和侧棱在底面内的射影组成一个直角三角形；正棱锥的高、斜高和斜高在底面内的射影也组成一个直角三角形；③顶点在底面上的射影是底面的中心.(1)定义:底面是正多边形,顶点在底面上的射影是底面的中心这样的棱锥叫做正棱锥.(3)正四面体：定义？性质？ (2000春北京)如图是体积为72的正四面体,连结两个面的重心E、F，则线段EF的长是.SABCMNABCDA1D1C1B1注:正四面体可看作是一正方体的六条面对角线围成的几何体.那么正四面体的棱长与对应正方体的棱长有什么关系?体积有什么关系?O （2003辽宁，16）对于四面体ABCD，给出下列四个命题①若AB=AC，BD=CD，则BC⊥AD②若AB=CD，AC=BD，则BC⊥AD③若AB⊥AC，BD⊥CD，则BC⊥AD④若AB⊥CD，BD⊥AC，则BC⊥AD其中真命题的序号是.①④ABCD （三）棱台1.棱台的定义用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分叫棱台。由正棱锥截得的棱台叫正棱台。2.正棱台的性质各侧棱相等，各侧面都是全等的等腰梯形；正棱台的两个底面以及平行于底面的截面是相似的正多边形；正棱台的两底面的中心连线、相应的边心距和斜高组成一个直角梯形，两底面的中心连线、侧棱和两底面相应的半径也组成一个直角梯形 圆柱：矩形绕它的一边旋转一周圆锥：直角三角形绕一直角边旋转一周圆台：直角梯形绕垂直于底边的腰旋转一周球：半圆绕它的直径所在直线旋转一周(四)圆柱圆锥圆台球旋转体 轴：绕它旋转的直线；底面：与轴垂直的边旋转而成的圆面叫底面；侧面：不垂直于轴的边旋转而成的曲面叫侧面；母线：不垂直于轴的边无论旋转到什么位置都叫母线；轴截面：过轴的截面，分别是全等的矩形，等腰三角形，等腰梯形。 圆柱，圆锥，圆台的侧面展开图 .RdrOP球的截面的性质球心和截面圆心的连线垂直于截面.球的体积和表面积 1．下列命题中正确的是()A．棱柱的底面一定是平行四边形B．棱锥的底面一定是三角形C．棱锥被平面分成的两部分不可能都是棱锥D．棱柱被平面分成的两部分可以都是棱柱D题型:对概念的识别 2.(1)有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱(2)两个底面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台(3)有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体叫棱锥(4)用一个平面去截棱锥，底面与截面之间的部分组成的几何体叫棱台以上4个命题正确的有()A．0个B.1个C．2个D．3个A 3.下列命题中，成立的是()A．各个面都是三角形的多面体一定是棱锥B．四面体一定是三棱锥C．棱锥的侧面是全等的等腰三角形，该棱锥一定是正棱锥D．底面多边形既有外接圆又有内切圆，且侧棱相等的棱锥一定是正棱锥B 4.下面有四个命题：(1)各个侧面都是等腰三角形的棱锥是正棱锥；(2)三条侧棱都相等的棱锥是正棱锥；(3)底面是正三角形的棱锥是正三棱锥；(4)顶点在底面上的射影既是底面多边形的内心，又是外心的棱锥必是正棱锥。其中正确命题的个数是()A．1个B.2个C．3个D．4个A 5.下面有四个命题：①底面是平行四边形的四棱柱是平行六面体；②底面是矩形的平行六面体是长方体；③直四棱柱是直平行六面体；④棱台的相对侧棱延长后必交于一点。其中真命题的序号是。①④ 空间几何体的三视图 年份题型2007（大题）由三视图求几何体体积、侧面积2008已知直观图求三视图（侧视图）2009（大题）由直观图画三视图，求体积2010已知直观图求三视图（正视图）2011已知三视图求几何体的体积2007-2012广东高考文科试题(三视图)2012已知三视图求几何体的体积 （1）光线从几何体的___________正投影所得到的投影图，叫做几何体的正视图.（2）光线从几何体的___________正投影所得到的投影图，叫做几何体的侧视图.（3）光线从几何体的___________正投影所得到的投影图，叫做几何体的俯视图.1.三视图的概念前面向后面左面向右面上面向下面 俯视图正视图俯视图正视图侧视图侧视图①棱柱的三视图长度高度宽度高平齐宽相等2.简单几何体的三视图长方体 正三棱柱正视图侧视图俯视图 ②棱锥的三视图正三棱锥正视图侧视图俯视图 正四棱锥正视图侧视图俯视图 ③棱台的三视图正四棱台正视图侧视图俯视图 圆柱正视图侧视图俯视图④旋转体的三视图 圆锥·正视图侧视图俯视图 圆台正视图侧视图俯视图 球正视图侧视图俯视图 (08’广东,5)将正三棱柱截去三个角(如图1所示,A,B,C分别是△GHI三边的中点)得到几何体如图2，则该几何体按图2所示方向的侧视图(或称左视图)为()AEFDIAHGBCEFDABC侧视图1图2BEA．BEB．BEC．BED．题型1:已知直观图求三视图 (10’广东,6)△ABC为正三角形，则多面体的正视图是() 题型2:已知三视图求直观图（2011’浙江）若某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的直观图可以是()正视图侧视图俯视图 (2011’山东)右图是长和宽分别相等的两个矩形．给定下列三个命题：①存在三棱柱,其正(主)视图、俯视图如下图；②存在四棱柱,其正(主)视图、俯视图如下图；③存在圆柱,其正(主)视图、俯视图如下图．其中真命题的个数是()A．3B．2C．1D．0题型3:已知三视图中的两个求第三个的可能情况正(主)视图俯视图 （2011’全国新课标)在一个几何体的三视图中，正视图与俯视图如右图所示，则相应的侧视图可以为()正视图俯视图 (10’北京)一个长方体去掉一个小长方体，所得几何体的正（主）视图与侧（左）视图分别如右图所示，则该几何体的俯视图为() 题型4:已知三视图求几何体的体积(07’海南)已知某个几何体的三视图如下，根据图中标出的尺寸（单位：cm），可得这个几何体的体积是_________________.正视图侧视图俯视图 C (2011’广东理)如图，某几何体的正视图（主视图）是平行四边形，侧视图（左视图）和俯视图都是矩形，则该几何体的体积为()正视图侧视图俯视图 (2012’广东)如图，某几何体的三视图如图1所示，则该几何体的体积为() (07’海南改编)已知某个几何体的三视图如下，根据图中标出的尺寸（单位：cm），可得这个几何体的表面积是_________________.正视图侧视图俯视图题型5:已知三视图求几何体的表面积PABCD 作水平放置的平面图形的直观图，用斜二测画法．空间几何体的直观图斜二测画法的步骤(3)已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中保持原长度不变；平行于y轴的线段，长度为原来的一半．(1)在已知图形中取互相垂直的x轴和y轴，两轴相交于o点.画直观图时，把它画成对应的轴、轴，两轴交于，使(2)已知图形中平行于x轴或y轴的线段，在直观图中分别画成平行于轴或轴的线段． [例1]（1）作出平面图（左）的直观图；（2）右图是水平放置图形的直观图，试画出它原来的图形.（3）思考平面图与其直观图之间的面积比是否总为 [点评]画水平放置的平面图形的步骤为：画轴、取点、成图.图形中平行于x的线段，在直观图中保持不变，平行于y轴的线段，长度变为原来的一半.其实质为点在两坐标系中的对应关系.[解]（3）均为 练习1.用斜二测画法画水平放置的正六边形的直观图 练习2 [例2]如图，已知几何体的三视图，用斜二测法画出它的直观图．