空间几何体的三视图应用山西省 任所怀随着新课程改革的不断推广和深化,利用三视图培养学生的空间想象能力,从而形成对几何体的整体认识,在立体几何的学习中起到了很大的作用。在教学中,我觉得对于三视图的认识,不少学生只能停留在定性研究的基础上,对于定量的应用三视图来更准确的计算几何体的表面积体积等,还存在问题。于是我在本文中重点谈谈如何利用三视图定量研究几何体。例1:(改编自《人教版普通高中课程标准实验教科书数学②》P35。3)已知几何体的三视图如下,画出它们的直观图,并根据所标数据计算该几何体的表面积与体积。解:(1)这个几何体是由圆柱和圆锥组合而成的组合体。由正视图可知:圆柱的高为4,底面直径为1;圆锥的高为2,底面直径为3.于是:该几何体的表面积为S=圆柱+S圆锥=+=。该几何体的体积为V=V圆柱+V圆锥=(。(2)这个几何体为棱台。棱台的底面为正方形。下底边长为2,上底边长为4,高为2.要注意正视图中等腰梯形的腰正是棱台左、右两侧面的高。侧视图中等腰梯形的腰正是棱台前、后两侧面的高。
于是该几何体的表面积S=4+16+4[]=20+12.它的体积为。点评:解决此类问题的关键在于了解三视图与几何体之间的关系。能够利用三视图判断出几何体的形状与关键的尺寸,从而对几何体进行量化研究。学生容易出错的地方是对棱台正视图的判断,他们容易认为正视图就是棱台的前侧面。这是空间想象能力还有所欠缺,未能准确理解三视图的表现。我们在教学中要把棱台与长方体的三视图加以比较,结合教具,通过比较分析,帮助学生形成正确的认识。跟上面相类似的问题还有《人教版普通高中课程标准实验教科书数学②》第29页B组第1题。在这个问题中也涉及到了棱台的体积与表面积计算,读者不妨重新加以练习。返观这几年的高考中有关三视图的考察,主要就是利用三视图判断几何结构,然后画出直观图,计算几何体的表面积或体积。这样出题体现了知识的综合性,但这个综合程度还仅局限在一章知识的范围内,没更大程度的综合。题目的难度有所上升,由容易题变为中等题。(2011年山西高考题(8))在一个几何体的三视图中,正视图与俯视图如图所示,则相应的侧视图可以为点评:这是一个由正视图与俯视图推想侧视图的问题。它要求学生在所学的常见几何体中进行检索,从而找符合已知条件的几何模型进一步再找到俯视图。首先从俯视图上大致可判断这个几何体是一个组合体,一部分为一个半旋转体,另一部分为三棱锥或三棱柱。再由正视图可判断,这个几何体应为锥体。于是可知它是由一个半圆锥与三棱锥组而成的几何体,从而判断其侧视图为D。但也要注意到这样的推理只是一种合情推理,而非严格的逻辑推理,因为由正视图和俯视图是确定不了侧视图的。只是在中学生的认知范围内,他们能够猜想到的就是半圆锥和三棱锥的组合。而实际上侧视图为(A)的几何体也是存在的,它的前面一半也是一个三棱锥,而后面一半可理解为半圆柱与一个横放的三棱柱的交集体,当然这样的几何体对高中生来说很难想到,也无法描述。这样对此题的回答就造成了一定的思维困难,从而使此题的得分率偏低与此不无关系。(2010年新课标卷(14))正视图为一个三角形的几何体可以是_____________。(写出三种)
【答案】棱锥,三棱柱,圆锥点评:此题的解答相当简单,答案也多种多样。有的同学答三棱锥、四棱锥、五棱锥。有的同学答圆锥、三棱柱、三棱台。显然后者的思维更开阔,前者的思维就比较狭窄。但都是正确的。我想这样的结果也并不是出题者想要达到的目的。我们在努力能体现学生个性化特征的试题与考试方式,但面对标准考试的方式,我们的努力却总是失败。(2009年海南宁夏卷(11))一个棱锥的三视图如图,则该棱锥的全面积(单位:c)为(A)48+12(B)48+24(C)36+12(D)36+24 解:由三视图画出直观图得该几何体是一个三棱锥。底面ABC为等腰直角三角形,角B为直角。DE⊥平面ABC垂足为E,且E为AC中点。另外由俯视图知BC=AB=6,由正视图知DE=4.侧面DAB的高为。于是该棱锥的表面积为S=2()++=48+12。
点评:此题就要求学生有一定的空间想象能力,能够准确地由三视图判断出空间几何体的结构特征,进而画出直观图,进行体积或表面积运算。(2008年海南宁夏卷(12))某几何体的一条棱长为,在该几何体的正视图中,这条棱的投影是长为的线段,在该几何体的侧视图与俯视图中,这条棱的投影分别是长为a和b的线段,则a+b的最大值为()A.B.C.4D.解:根据题意得,所以得因为,所以点评:此题是一个综合性较强的问题,对一条线段三视图的考察可放置在长方体中模型中,加以判断。另外综合的重要不等式,是一个难度适当的综合性题目。作者简介:任所怀,山西省一级教师。1996年毕业于山西师范大学数学系,在中学任教15年,一直从事高中数学教学与研究工作。