高中数学空间几何体的结构与三视图

空间几何体的结构与三视图知识框架高考要求空间几何体的结构与三视图要求层次重难点柱、锥、台、球及其简单组合体A①认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征，并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构．②能画出简单空间图形（长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等的简易组合）的三视图，能识别上述的三视图所表示的立体模型，会用斜二侧法画出它们的直观图．③会用平行投影与中心投影两种方法，画出简单空间图形的三视图与直观图，了解空间图形的不同表示形式．④会画某些建筑物的视图与直观图（在不影响图形特征的基础上，尺寸、线条等不作严格要求）．三视图B斜二测法画简单空间图形的直观图B例题精讲板块一：几何体表面最短距离问题（一）知识内容1．几何体：只考虑形状与大小，不考虑其它因素的空间部分叫做一个几何体，比如长方体，球体等． （二）典例分析：【例1】能保证棱锥是正棱锥的一个条件是（）A．底面是正多边形B．各侧棱都相等C．各侧棱与底面都是全等的正三角形D．各侧面都是等腰三角形【例2】如图所示，正三棱锥的侧棱长为，，和分别为棱和上的点，求的周长的最小值．【例3】如图所示，设正三棱锥的底面边长为，侧棱长为，．过作与侧棱相交的截面，求截面周长的最小值．【例4】已知以为顶点的正四面体，其棱长为，分别为上的两点，且．求在正四面体侧面上从到的最短距离．【例5】如图正方体，其棱长为，分别为线段，上的两点，且．求在正方体侧面上从到的最短距离．【例6】如图，长方体中，，，，并且 ．求沿着长方体的表面自到的最短线路的长．【例1】（2005江西，理15）如图，在直三棱柱中，，，，、分别为、的中点，沿棱柱的表面从到两点的最短路径的长度为．【例2】已知如图，正三棱柱的底面边长为1，高为8，一质点自点出发，沿着三棱柱的侧面绕行两周到达点的最短路线的长为．【例3】在半径为的球内，有一个内接正三棱锥，它的底面上的三个顶点恰好在同一个大圆上，一个动点从三棱锥的一个顶点出发沿球面运动，经过其余三顶点后返回，则经过的最短路程是_______．【例4】如图，圆台上底半径为，下底半径为，母线，从中点拉一绳子绕圆台侧面转到点（在下底面）．⑴求绳子的最短长度；⑵求绳子最短时，上底圆周上的点到绳子的最短距离． 【例1】在半径为的球内，有一个内接正三棱锥，它的底面上的三个顶点恰好在同一个大圆上，一个动点从三棱锥的一个顶点出发沿球面运动，经过其余三顶点后返回，则经过的最短路程是_______．【例2】如图所示，正三棱锥的侧棱长为，，和分别为棱和上的点，求的周长的最小值．【例3】如图所示，正三棱锥的侧棱长为，，和分别为棱和上的点，求的周长的最小值．【例4】（2005江西，理15）如图，在直三棱柱中，，，，、分别为、的中点，沿棱柱的表面从到两点的最短路径的长度为．【例5】如图所示，正三棱锥的侧棱长为，，和分别为棱和上的点，求的周长的最小值．板块二：柱、锥、台、球及其简单组合体（一）知识内容1．几何体：只考虑形状与大小，不考虑其它因素的空间部分叫做一个几何体，比如长方体，球体等．2．构成几何体的基本元素：点、线、面．⑴几何中的点不考虑大小，一般用大写英文字母来命名；⑵几何中的线不考虑粗细，分直线（段）与曲线（段）； 其中直线是无限延伸的，一般用一个小写字母或用直线上两个点表示；一条直线把平面分成两个部分．⑶几何中的面不考虑厚薄，分平面（部分）和曲面（部分）；其中平面是一个无限延展的，平滑，且无厚度的面，通常用一个平行四边形表示，并把它想象成无限延展的；平面一般用希腊字母来命名，或者用表示它的平面四边形的顶点或对角顶点的字母来命名，如右图中，称平面，平面或平面．一个平面将空间分成两个部分．3．用运动的观点理解空间基本图形间的关系：在几何中，可以把线看成点运动的轨迹，点动成线；把面看成线运动的轨迹，线动成面；把几何体看成面运动的轨迹（经过的空间部分），面动成体．4．从长方体实例看空间几何体的基本元素：如图的长方体通常记为，它有六个面（即围成长方体的各个矩形），十二条棱（相邻两个面的公共边），八个顶点（棱与棱的公共点）．看长方体的棱：，；（与有什么关系呢？可以引出两条直线的一种新关系：异面）看长方体的面：平面平行于平面，平面平行于平面　　　　　　　棱垂直于底面，棱垂直于侧面5．多面体：由若干个平面多边形所围成的几何体．围成多面体的各个多边形叫做多面体的面，相邻两个面的公共边叫做多面体的棱，棱与棱的公共点叫做多面体的顶点，连结不在同一个面上的两个顶点的线段叫做多面体的对角线．如上面长方体中，有四条对角线，，，，又称体对角线，，…称为面对角线．凸多面体：把一个多面体的任意一个面延展成平面，如果其余的各面都在这个平面的同一侧，则这样的多面体就叫做凸多面体．6．截面：一个几何体和一个平面相交所得的平面图形（包括它的内部），叫做这个几何体的截面，如图． ⑴立体几何中的平面与我们平时看见的平面是有区别的，立体几何里的平面是理想化的，绝对平且无限延展的，它是点的集合．⑵立体几何中的平面与平面几何中的平面图形是有区别的，它无大小之分，无形状，无边沿，无厚度，不可度量．⑶我们通常画平行四边形表示平面，它表示的是整个平面，没有边沿，一般把这个平行四边形的锐角画成，并将横边的长度画成邻边的两倍．画两个相交平面时，当一个平面的一部分被另一部分遮住时，应把被遮住的部分画成虚线或不画，以增加立体感．⑷有时根据需要我们也可以用其它平面图形来表示一个平面，如用三角形，圆等．⑸在立体几何中，辅助线并不总是虚线，而是根据实际情况，能看到的用实线，被遮住的用虚线，以增强立体感，更好地配合空间想象．⑹我们说两个平面时，通常情况下是指两个不重合的平面．⑺异面直线：不同在任何一个平面内的两条直线．如果两条直线既不平行又不相交，则它们是异面直线．7．棱柱：⑴棱柱的概念：由一个平面多边形沿某一确定方向平移形成的空间几何体叫做棱柱．平移起止位置的两个面叫做棱柱的底面，多边形的边平移所形成的面叫做棱柱的侧面；相邻侧面的公共边叫做棱柱的侧棱；过不相邻的两条侧棱所形成的面叫做棱柱的对角面；与底面垂直的直线与两个底面的交点部分的线段或距离称为棱柱的高．右图中的棱柱，两个底面分别是面，，侧面有，等四个，侧棱为，对角面为面，为棱柱的高．⑵棱柱的性质：棱柱的两个底面是全等的多边形，且对应边互相平行，侧面都是平行四边形，侧棱平行且相等．⑶棱柱的分类：①底面是三角形、四边形、五边形……的棱柱分别叫做三棱柱、四棱柱、五棱柱……；②侧棱与底面不垂直的棱柱叫斜棱柱，侧棱与底面垂直的棱柱叫直棱柱．底面是正多边形的直棱柱叫正棱柱．⑷棱柱的记法：①用表示两底面的对应顶点的字母表示棱柱；②用棱柱的对角线端点的两个字母表示棱柱．例如：上面的棱柱是斜四棱柱，记成棱柱或棱柱等．⑸特殊的四棱柱： 8．棱锥：⑴棱锥的概念：当棱柱的一个底面收缩为一个点时，得到的几何体叫做棱锥．它有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形．棱锥中有公共顶点的各三角形叫做棱锥的侧面；各侧面的公共顶点叫做棱锥的顶点；多边形叫做棱锥的底面；相邻侧面的公共边叫做棱锥的侧棱；棱锥中过不相邻的两条侧棱的截面叫做棱锥的对角面；过顶点且与底面垂直相交的直线在顶点与交点间的线段或距离叫做棱锥的高．⑵棱锥的分类：①底面是三角形、四边形、五边形……的棱锥分别叫做三棱锥、四棱锥、五棱锥……；②底面是正多边形，顶点与底面中心的连线垂直于底面的棱锥叫正棱锥．正棱锥的各个侧面都是全等的等腰三角形，它们底边上的高都相等，称为正棱锥的斜高．⑶棱锥的记法：用顶点和底面各顶点的字母表示或者用表示顶点和底面的一条对角线端点的字母表示．如上图的五棱锥记为棱锥或棱锥．9．棱台：⑴棱台的概念：棱锥被平行于底面的一个平面所截后，截面和底面之间的部分叫做棱台．原棱锥的底面和截面分别叫做棱台的下底面和上底面；其余各面叫做棱台的侧面；相邻两侧面的公共边叫做棱台的侧棱；与棱台的底面垂直的直线夹在两个底面之间的线段或距离称为棱台的高．⑵棱台的性质：棱台的各侧棱延长后交于一点，即棱台的上下底面平行且对应边成比例；⑶棱台的记法：用上下底面的字母表示或者用一条对角线两个端点的字母来表示．⑷正棱台：由正棱锥截得的棱台叫做正棱台．正棱台的各个侧面都是全等的等腰梯形，这些等腰梯形的高叫做棱台的斜高． 右图为一个正三棱台，记为棱台，侧棱，，延长后必交于一点．，为上下底面的中心，它们的连线是棱台的高，是棱台的斜高．1．正棱锥的性质很多，要特别注意的是：⑴平行于底面截面的性质：如果一个棱锥被平行于底面的一个平面所截，那么：①棱锥的侧棱和高被这个平面分成比例线段．②所得的截面和底面是对应边互相平行的相似正多边形．③截面面积和底面面积的比，等于从顶点到截面和从顶点到底面的距离平方的比，即等于截得的棱锥与已知棱锥的高的平方比．⑵有关正棱锥的计算问题，要抓住四个直角三角形和两个角：正棱锥的高、侧棱及其在底面的射影、斜高及其在底面的射影、底面边长的一半可组成四个直角三角形，即下图，，，，这是解决正棱锥计算问题的基本依据，必须牢固掌握．2．棱台的性质都由截头棱锥这个特征推出的，掌握它的性质，就得从这个特征入手，有关正棱台的计算问题，应抓住三个直角梯形、两个直角三角形：即正棱台的两底面中心的连线、相应的边心距、相应的外接圆半径，侧棱，斜高，两底面边长的一半，组成三个直角梯形（梯形，，）和两个直角三角形（，）．10．圆柱、圆锥和圆台：⑴将矩形、直角三角形、直角梯形分别绕着它的一边、一直角边、垂直于底边的腰所在的直线旋转一周，形成的几何体分别叫做圆柱、圆锥和圆台．⑵这条旋转轴叫做几何体的轴，轴的长即为该旋转体的高．垂直于轴的边旋转而成的圆面叫做底面，不垂直于轴的边旋转而成的曲面叫做侧面，无论旋转到什么位置，这条边都叫做侧面的母线；圆柱、圆锥、圆台一般用表示它的轴的字母来表示．⑶圆柱、圆锥、圆台的性质：①平行于底面的截面都是圆；②过轴的截面（轴截面）分别是全等的矩形、等腰三角形、等腰梯形． 11．球与球面：⑴半圆绕着它的直径所在的直线旋转一周而形成的几何体叫做球（或球体），半圆旋转而成的曲面叫做球面．⑵半圆的圆心称为球心，球心与球面上一点的连线段称为球的半径，连结球面上两点且过球心的线段叫作球的直径．一般用球心的字母表示一个球．⑶球面也可看做空间中到一个定点的距离等于定长的点的集合，球体可以看成到空间中一个定点的距离小于等于定长的点的集合．⑷球面被经过球心的平面截得的圆叫做球的大圆，被不经过球心的平面截得的圆叫做球的小圆；在球面上，两点之间的最短距离，就是经过两点的大圆在这两点间的劣弧的长度，这个弧长叫做两点间的球面距离．飞机、轮船都尽可能以大圆弧为航线航行．⑸球的截面性质：球的小圆（指不过球心的截面圆）的圆心与球心的连线垂直于小圆所在平面，有，其中为截面圆的半径，为球的半径，为球心到截面圆的距离，即球心与截面圆圆心的距离．⑴纬线与纬度：赤道是一个大圆，它是纬线，其它纬线是由与赤道面平行的平面截球所得到的小圆，某地的纬度就是经过该点的球半径与该半径在赤道面上的正投影所成的角的度数．如图：圆是赤道面，圆是纬线圈，点的纬度就等于的度数，也等于的度数．⑵经线与经度：经线是地球表面上从北极到南极的半个大圆，在同一条经线上的点的经度都相等，如图点的经度与点的经度相等，在地球上确立了一条经线为本初子午线（经线）．任意点的经度就定义为经过它的经线与本初子午线在同一个纬线圈上的交点与该纬线圈的圆心连线所成的角．（以后能证明，这样的角必然相等，定义是合理的）如图，如果经过的经线是本初子午线，则点的经度就等于的度数，也等于的度数．⑴球面与球体是两个不同的概念，要注意它们的区别与联系．⑵ 球面的概念可以用集合的观点来描述．球面是由点组成的，球面上的点有什么共同的特点呢？与定点的距离等于定长的所有点的集合（轨迹）叫球面．如果点到球心的距离小于球的半径，这样的点在球的内部，否则在外部．⑶地球上的经线的分布从本初子午线开始，往东往西分别是东经与西经，本初子午线既是东经线，又是西经线，转半圈后的东经与西经又重合成一条经线，与本初子午线合成一个大圆．⑷如果球面上两点的连线不是直径，则经过这两点有且只有一个大圆，如果恰为直径，则可以作无数个大圆．（二）典例分析：【例1】能保证棱锥是正棱锥的一个条件是（）A．底面是正多边形B．各侧棱都相等C．各侧棱与底面都是全等的正三角形D．各侧面都是等腰三角形【例2】判断下面这个命题是否正确：由两个面互相平行，其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱．【例3】能保证棱锥是正棱锥的一个条件是（）A．底面是正多边形B．各侧棱都相等C．各侧棱与底面都是全等的正三角形D．各侧面都是等腰三角形【例4】一个棱柱是正四棱柱的条件是（）A．底面是正方形，有两个侧面是矩形B．底面是正方形，有两个侧面垂直于底面C．每个侧面都是全等矩形的四棱柱D．底面是菱形，且有一个顶点处的三条棱两两垂直【例5】（2008全国II理16）平面内的一个四边形为平行四边形的充要条件有多个，如两组对边分别平行，类似地，写出空间中的一个四棱柱为平行六面体的两个充要条件：充要条件①；充要条件②．（写出你认为正确的两个充要条件）【例6】（2002北京理10）设命题甲：“直四棱柱中，平面与对角面垂直”；命题乙：“直四棱柱是正方体”．那么甲是乙的（）A．充分必要条件B．充分非必要条件C．必要非充分条件D．既非充分又非必要条件【例7】（2004全国）下面关于四棱柱的四个命题：①若有两个侧面垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱；②若两个过相对侧棱的截面都垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱； ③若四个侧面两两全等，则该四棱柱为直四棱柱；④若四棱柱的四条对角线两两相等，则该四棱柱为直四棱柱．其中，真命题的序号是______．【例1】⑴判断下列说法是否正确，并说明理由：①四边相等的四边形是菱形；②若四边形的两个对角都是直角，则这个四边形是圆内接四边形．③将一个矩形沿竖直方向平移一段距离可形成一个长方体；④平行四边形是一个平面．⑤多面体至少有四个面．⑵根据图中所给的图形制成几何体后，哪些点重合在一起．【例2】下面是一多面体的展开图，每个面内都给了字母，请根据要求回答问题：①如果在多面体的底面，那么哪一面会在上面？②如果面在前面，从左边看是面，哪一个面会在上面？③如果从左面看是面，面在后面，哪一个面会在上面？【例3】任给三个平面，可能把空间划分成几个部分？【例4】（2007重庆理3）若三个平面两两相交，且三条交线互相平行，则这三个平面把空间分成（）A．5部分B．6部分C．7部分D．8部分【例5】把正方体的各个面伸展成平面，则把空间分为（）A．13部分B．19部分C．21部分D．27部分【例6】给出如下四个命题：①用一个平面去截一个正方体，截出的面一定是正方形或长方形；②用一个平面去截一个圆柱，截出的面一定是圆；③用一个平面去截圆锥，截出的面一定是三角形；④用一个平面去截一个球，无论如何截，截面都是一个圆．其中正确命题的个数为（）A．1个B．2个C．3个D．4个【例7】任给三个平面，可能把空间划分成几个部分？ 【例1】右图是一个长方体，问此长方体过点的三个面所在的平面将空间分成几个部分？侧面，和对角面所在的三个平面将空间分成几个部分？【例2】给出如下四个命题：①用一个平面去截一个正方体，截出的面一定是正方形或长方形；②用一个平面去截一个圆柱，截出的面一定是圆；③用一个平面去截圆锥，截出的面一定是三角形；④用一个平面去截一个球，无论如何截，截面都是一个圆．其中正确命题的个数为（）A．1个B．2个C．3个D．4个【例3】用一个平面去截一个正方体，所得的截面可能是什么形状的？【例4】如图，在三棱锥中，，，，分别是边,,,的中点，那么四边形是（）A．平行四边形　B．矩形　　C．菱形　D．正方形【例5】如图，在三棱锥中，，，，分别是边,,,的中点，且，那么四边形是（）A．平行四边形　B．矩形　　C．菱形　D．正方形【例6】判断下面这个命题是否正确：由两个面互相平行，其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱． 【例1】能保证棱锥是正棱锥的一个条件是（）A．底面是正多边形B．各侧棱都相等C．各侧棱与底面都是全等的正三角形D．各侧面都是等腰三角形【例2】长方体的全面积为，条棱长度之和为，则长方体的一条对角线长为（）A．B．C．D．【例3】下列命题正确的有．⑴底面是矩形的平行六面体是长方体；⑵棱长相等的直四棱柱是正方体；⑶棱锥被平面分成的两部分不可能都是棱锥；⑷有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥．【例4】下列命题正确的有．⑴底面是矩形的平行六面体是长方体；⑵棱长相等的直四棱柱是正方体；⑶棱锥被平面分成的两部分不可能都是棱锥；⑷有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥．【例5】下列命题正确的有．⑴棱柱的侧面都是平行四边形；⑵有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫做棱柱；⑶用一个平面去截棱锥，棱锥底面和截面之间的部分是棱台；⑷有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台．【例6】⑴一个棱柱至少有个面，面数最少的一个棱锥有个顶点，顶点最少的一个棱台有　　条侧棱．⑵一个正棱锥的侧棱长与底面边长相等，则该棱锥不可能是（　）A．三棱锥B．四棱锥C．五棱锥D．六棱锥【例7】一个正三棱柱的每一条棱长都是，则经过底面一边和相对的一个端点的截面的面积为_______【例8】如图，正方体中，对角线与过、、的平面交于点，则__________．【例9】一个长方体共一个顶点的三个面的面积分别为，，，这个长方体的对角线长为 _____.【例1】正四棱台的高为，两底面的边长分别是和，求这个棱台的侧棱长和斜高．【例2】已知正三棱锥的高，斜高，求经过的中点且平行于底面的截面的面积．【例3】正四棱锥的侧棱长是底面边长的倍，求的取值范围．【例4】如图所示的正四棱锥，它的高，侧棱长为，⑴求侧面上的斜高与底面面积．⑵是高的中点，求过点且与底面平行的截面（即中截面）的面积．【例5】正四棱台的高为，两底面的边长分别是和，求这个棱台的侧棱长和斜高．【例6】如图，已知棱锥的底面积是，平行于底面的截面面积是，棱锥顶点在截面和底面上的射影分别是、，过的三等分点作平行于底面的截面，求各截面的面积． 【例1】⑴圆台两底半径分别是和，母线长是，求它的轴截面的面积；⑵把一个圆锥截成圆台，已知圆台的上、下底面半径的比是，母线长，求圆锥的母线长．⑶圆台的一个底面周长是另一个底面周长的倍，轴截面的面积等于，母线与底面的夹角是，求这个圆台的母线长．【例2】圆锥轴截面顶角为，母线长为．⑴求轴截面的面积；⑵过顶点的圆锥的截面中，最大截面的面积．【例3】一个轴截面是正三角形的圆锥内有一个轴截面是正方形的内接圆柱，求它们的高的比值和母线长的比值．【例4】圆台的母线长为，母线和轴的夹角为，一个底面半径是另一个底面半径的倍，求圆台的高与上下两底面面积之和．【例5】一个轴截面是正三角形的圆锥内有一个轴截面是正方形的内接圆柱，求它们的高的比值和母线长的比值．【例6】（2005上海春季）有两个相同的直三棱柱，高为，底面三角形的三边长分别为、、．用它们拼成一个三棱柱或四棱柱，在所有可能的情形中，全面积最小的是一个四棱柱，则的取值范围是．【例7】（2004福建，16）如图，将边长为的正六边形铁皮的六个角各切去一个全等的四边形，再沿虚线折起，做成一个无盖的正六棱柱容器（如图）．当这个正六棱柱容器的底面边长为时，其容积最大．【例8】设圆锥的底面半径为，高为，求：⑴内接正方体的棱长；⑵内切球的表面积．【例9】已知正三棱锥，一个正三棱柱的上底面三顶点在棱锥的三条侧棱上，下底面在正三棱锥的底面上，若正三棱锥的高为，底面边长为，内接正三棱柱的侧面积为．⑴求正三棱柱的高；⑵求正三棱柱的体积；⑶求棱柱上底面所截棱锥与原棱锥的侧面积之比．【例10】如图所示，正四面体的外接球的体积为，求四面体的体积． 【例1】（2008福建15）若三棱锥的三个侧面两两垂直，且侧棱长均为，则其外接球的表面积是　　　　．【例2】（2008江西）如图1，一个正四棱柱形的密闭容器底部镶嵌了同底的正四棱锥形实心装饰块，容器内盛有升水时，水面恰好经过正四棱锥的顶点．如果将容器倒置，水面也恰好过点（图2）．有下列四个命题：A．正四棱锥的高等于正四棱柱高的一半B．将容器侧面水平放置时，水面也恰好过点C．任意摆放该容器，当水面静止时，水面都恰好经过点D．若往容器内再注入升水，则容器恰好能装满其中真命题的代号是：（写出所有真命题的代号）．【例3】(2005全国Ⅱ，理12)将半径都为的个钢球完全装入形状为正四面体的容器里，这个正四面体的高的最小值为()A．B．C．D．【例4】(2002年全国文最后一题)⑴给出两块相同的正三角形纸片（如图1，图2），要求用其中一块剪拼成一个三棱锥模型，另一块剪拼成一个正三棱柱模型，使它们的全面积都与原三角形的面积相等，请设计一种剪拼方法，分别用虚线标示在图1、图2中，并作简要说明；⑵试比较你剪拼的正三棱锥与正三棱柱的体积的大小；⑶如果给出的是一块任意三角形的纸片（如图3），要求剪拼成一个直三棱柱，使它的全面积与给出的三角形的面积相等．请设计一种剪拼方法，用虚线标示在图3中，并作简要说明． 【例1】设表示平行六面体，表示直平行六面体，表示长方体，表示正四棱柱，表示正方体，则，，，，的关系是（）A．B．C．D．【例2】正棱锥的高增为原来的倍，底面边长缩为原来的，那么体积（）A．缩为原来的B．增为原来的倍C．没有变化D．以上结论都不对【例3】设有四个命题：①底面是矩形的平行六面体是长方体；②棱长相等的直四棱柱是正方体；③有两条侧棱都垂直于底面一边的平行六面体是直平行六面体；④对角线相等的平行六面体是直平行六面体．以上四个命题中，真命题有_______．【例4】如图，右边哪一个长方体是由左边的平面图形围成的（）【例5】右图是一个正方体，它的展开图可能是下面四个展开图中的（）【例6】⑴下列命题中正确的是（） A．由五个平面围成的多面体只能是四棱锥B．棱锥的高线可能在几何体之外C．仅有一组对面平行的六面体是棱台D．棱长相等的直四棱柱是正方体⑵下列说法正确是（）A．圆台是直角梯形绕其一边旋转而成B．圆锥是直角三角形绕其一边旋转而成C．圆柱的母线和它的底面不垂直．D．圆台可以看作是平行于底面的平面截一个圆锥而得到的．【例1】长方体中共点的三条棱长分别为，，，分别过这三条棱中的一条及其对棱的对角面的面积分别记为，，，则（　　　）A．　　　B．　　　　C．　　D．【例2】⑴已知正六棱台的上，下底面的边长和侧棱长分别为，，，则它的高和斜高分别为⑵正四棱锥的斜高为，侧棱长为，求棱锥的高与中截面（即过高线的中点且平行于底面的截面）的面积？【例3】⑴一圆锥轴截面顶角为，母线长为，求轴截面的面积．⑵圆台侧面的母线长为，母线与轴的夹角为，一个底面半径是另一个底面半径的倍，则两底面半径为．【例4】正四棱锥的斜高为，侧棱长为，求棱锥的高与中截面（即过高线的中点且平行于底面的截面）的面积？【例5】用一个平行于圆锥底面的平面截这个圆锥，截得圆台上下底面半径的比是，截去的圆锥的母线长是，求圆台的母线长．【例6】一个轴截面是正三角形的圆锥内有一个轴截面是正方形的内接圆柱，求它们的高的比值和母线长的比值．【例7】圆台母线长为，母线与轴的夹角为，一个底面的半径是另一个底面半径的倍，求两底面半径以及两底面面积之和．【例8】圆锥轴截面顶角为，母线长为．⑴求轴截面的面积；⑵过顶点的圆锥的截面中，最大截面的面积． 【例1】一个轴截面是正三角形的圆锥内有一个轴截面是正方形的内接圆柱，求它们的高的比值和母线长的比值．【例2】(2005全国Ⅱ，理12)将半径都为的个钢球完全装入形状为正四面体的容器里，这个正四面体的高的最小值为()A．B．C．D．【例3】能保证棱锥是正棱锥的一个条件是（）A．底面是正多边形B．各侧棱都相等C．各侧棱与底面都是全等的正三角形D．各侧面都是等腰三角形【例4】圆台的母线长为，母线和轴的夹角为，一个底面半径是另一个底面半径的倍，求圆台的高与上下两底面面积之和．【例5】一个轴截面是正三角形的圆锥内有一个轴截面是正方形的内接圆柱，求它们的高的比值和母线长的比值．【例6】(2005上海春季)有两个相同的直三棱柱，高为，底面三角形的三边长分别为、、．用它们拼成一个三棱柱或四棱柱，在所有可能的情形中，全面积最小的是一个四棱柱，则的取值范围是．【例7】（2008重庆）如题图，模块①－⑤均由个棱长为的小正方体构成，模块⑥由个棱长为的小正方体构成．现从模块①－⑤中选出三个放到模块⑥上，使得模块⑥成为一个棱长为的大正方体．则下列选择方案中，能够完成任务的为（） A．模块①，②，⑤B．模块①，③，⑤C．模块②，④，⑥D．模块③，④，⑤【例1】有一塔形几何体由若干个正方体构成，构成方式如图所示，上层正方体下底面的四个顶点是下层正方体上底面各边的中点．已知最底层正方体的棱长为2，且该塔形的表面积（含最底层正方体的底面面积）超过39，则该塔形中正方体的个数至少是（）A．4B．5C．6D．7板块三：球与球面（一）知识内容1．几何体：只考虑形状与大小，不考虑其它因素的空间部分叫做一个几何体，比如长方体，球体等．（二）典例分析：【例1】已知半径为的球的两个平行截面的周长分别为和，求这两个截面间的距离．【例2】（2009四川卷）如图，在半径为3的球面上有、、三点，， ，球心到平面的距离是，则、两点的球面距离是（）A．B．C．D．【例1】（2008四川卷８）设是球心的半径上的两点，且，分别过作垂直于的平面截球得三个圆，则这三个圆的面积之比为（　　）A．　　B．　　C．　　　D．【例2】⑴设地球半径为，若甲地位于北纬，东经，乙地位于南纬，东经，则甲、乙两地的球面距离为．⑵（2009陕西卷）如图，球的半径为，圆是一小圆，，，是圆上两点．若，则、两点间的球面距离为．【例3】已知地球的半径为，球面上两点都在北纬圈上，它们的球面距离为，点在东经上，求点的位置及，两点所在的纬线圈上对应的劣弧的长度．【例4】（06浙江）如图，是半径为的球心，点在球面上，两两垂直，分别是大圆弧与的中点，则点在该球面上的球面距离是（　　）A．B．C．D．【例5】已知三点在球心为，半径为的球面上，且，那么两点的球面距离为_________，球心到平面的距离为_________．【例6】（2008四川卷８）设是球心的半径上的两点，且，分别过作垂直于的平面截球得三个圆，则这三个圆的面积之比为（　　） A．　　B．　　C．　　　D．【例1】（2009四川卷）如图，在半径为3的球面上有、、三点，，，球心到平面的距离是，则、两点的球面距离是（）A．B．C．D．【例2】平面截球得到半径是的圆面，球心到这个平面的距离是，则该球的表面积是（）A．B．C．D．【例3】球面上有三点、、组成这个球的一个截面的内接三角形三个顶点，其中，、，球心到这个截面的距离为球半径的一半，求球的半径．【例4】（2008年江西卷10）连结球面上两点的线段称为球的弦．半径为4的球的两条弦、的长度分别等于、，、分别为、的中点，每条弦的两端都在球面上运动，有下列四个命题：①弦、可能相交于点②弦、可能相交于点③的最大值为5④的最小值为1其中真命题的个数为（）A．1个B．2个C．3个D．4个【例5】、是半径为的球的球面上两点，它们的球面距离为，求过、的平面中，与球心的最大距离是多少？【例6】已知地球的半径为，球面上两点都在北纬圈上，它们的球面距离为，点在东经上，求点的位置及，两点所在的纬线圈上对应的劣弧的长度．【例7】球面上有个点，其中任意两点的球面距离都等于大圆周长的，经过个点的小圆的周长为，求这个球的半径．【例8】如图所示，正四面体的外接球的体积为，求四面体的体积． 【例1】把四个半径都是1的球中的三个放在桌面上，使它两两外切，然后在它们上面放上第四个球，使它与前三个都相切，求第四个球的最高点与桌面的距离．【例2】球面上有个点，其中任意两点的球面距离都等于大圆周长的，经过个点的小圆的周长为，求这个球的半径．【例3】从北京（靠近北纬、东经，以下经纬度均取近似值）飞往南非首都约翰内斯堡（南纬、东经），有两条航空线可供选择：甲航空线：从北京沿纬线向西飞到土耳其首都安卡拉（北纬、东经），然后向南飞到目的地．乙航空线：从北京沿经线向南飞到澳大利亚的珀斯（南纬、东经），然后向沿纬线向西飞到目的地．请问：哪一条航空线较短？如果这条航线的两段都分别选择最短路线，那么这条航线的总长为多少？（地球视为半径的球）【例4】（06浙江）如图，是半径为的球心，点在球面上，两两垂直，分别是大圆弧与的中点，则点在该球面上的球面距离是（　　）A．B．C．D．【例5】已知三点在球心为，半径为的球面上，且，那么两点的球面距离为_________，球心到平面的距离为_________．【例6】球面上有三点、、组成这个球的一个截面的内接三角形三个顶点，其中，、，球心到这个截面的距离为球半径的一半，求球的半径．【例7】⑴（2008安徽） 已知在同一个球面上，平面，，若，，，则两点间的球面距离是．⑵（2008海南宁夏）一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直底面．已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为，底面周长为3，那么这个球的体积为_________．【例1】球面上有三点，，组成这个球的一个截面的内接三角形三个顶点，已知球的半径为，且，两点的球面距离为，，两点及，两点的球面距离均为，球心到这个截面的距离为，求球的表面积．【例2】（2009四川）如图，在半径为的球面上有三点，，球心到平面的距离是，则两点的球面距离是（）A．B．C．D．【例3】（2009陕西）如图球的半径为，圆是一小圆，，、是圆上两点，若两点间的球面距离为，则=．【例4】（2009全国卷I）直三棱柱的各顶点都在同一球面上，若，，则此球的表面积等于． 【例1】（江西）正三棱柱内接于半径为的球，若两点的球面距离为，则正三棱柱的体积为　　．【例2】（2009四川）如图，在半径为的球面上有三点，，球心到平面的距离是，则两点的球面距离是（）A．B．C．D．【例3】（2009陕西）如图球的半径为，圆是一小圆，，、是圆上两点，若两点间的球面距离为，则=． 【例1】设、、、是球面上的四个点，且在同一平面内，，球心到该平面的距离是球半径的一半，则球的体积是（）A．B．C．D．【例2】已知球的表面积为，球面上有、、三点．如果，，则球心到平面的距离为（）A．B．C．D．【例3】（2008全国Ⅱ）已知球的半径为，相互垂直的两个平面分别截球面得两个圆．若两圆的公共弦长为，则两圆的圆心距等于（）A．B．C．D．C；【例4】已知正方体的棱长为，以顶点为球心，为半径作一个球，则球面与正方体的表面相交所得到的曲线的长等于___________．【例5】（2008陕西）长方体的各顶点都在球的球面上，其中．两点的球面距离记为，两点的球面距离记为，则的值为．【例6】（2008辽宁）在体积为的球的表面上有三点，，，，两点的球面距离为，则球心到平面的距离为． 【例1】（2008海淀二模）在棱长为的正方体中，、分别是棱和的中点，则线段被正方体的内切球球面截在球内的线段长为_______．【例2】（08湖南）长方体的8个顶点在同一个球面上，且，则顶点间的球面距离是（）A．B．C．D．2【例3】（06四川卷理10）已知球的半径是1，、、三点都在球面上，、两点和、两点的球面距离都是，、两点的球面距离是，则二面角的大小是（　　　）A．B．C．D．【例4】（2008全国Ⅱ）已知球的半径为，相互垂直的两个平面分别截球面得两个圆．若两圆的公共弦长为，则两圆的圆心距等于（）A．B．C．D．【例5】在半径为的球内，有一个内接正三棱锥，它的底面上的三个顶点恰好在同一个大圆上，一个动点从三棱锥的一个顶点出发沿球面运动，经过其余三顶点后返回，则经过的最短路程是_______．【例6】在半径为的球内，有一个内接正三棱锥，它的底面上的三个顶点恰好在同一个大圆上，一个动点从三棱锥的一个顶点出发沿球面运动，经过其余三顶点后返回，则经过的最短路程是_______．【例7】在球心同侧有相距的两个平行截面，它们的面积分别为和．求球的半径．【例8】⑴（2009辽宁卷文）如果把地球看成一个球体，则地球上的北纬纬线长和赤道长的比值为（）A．B．C．D．⑵在半径为的球面上有，两点，球心为，半径，的夹角是，则，两点的球面距离为________．【例9】在北纬纬线上有，两地，它们分别在东经与西经的经线上，设地球半径为，求，两地的球面距离． 【例1】（2008浙江卷14）如图，已知球的球面上四点、、、，平面，，，则球点体积等于__________【例2】⑴（2008浙江卷14）如图，已知球的球面上四点、、、，平面，，，则球点体积等于__________⑵（2005全国Ⅱ，理12）将半径都为的个钢球完全装入形状为正四面体的容器里，这个正四面体的高的最小值为（）A．B．C．D．【例3】、是半径为的球的球面上两点，它们的球面距离为，求过、的平面中，与球心的最大距离是多少？【例4】在北纬纬线上有，两地，它们分别在东经与西经的经线上，设地球半径为，求，两地的球面距离．【例5】（2008全国Ⅱ）已知球的半径为，相互垂直的两个平面分别截球面得两个圆．若两圆的公共弦长为，则两圆的圆心距等于（）A．B．C．D． 板块四：三视图（一）知识内容1．投影：由于光的照射，在不透明物体后面的屏幕上可以留下这个物体的影子，这种现象叫做投影．其中，我们把光线叫做投影线，把留下物体的影子的屏幕叫做投影面．2．平行投影⑴概念：已知图形，直线与平面相交，过上任意一点作直线平行于，交平面于点，则点叫做点在平面内关于直线的平行投影（或象）；如果图形上的所有点在平面内关于直线的平行投影构成图形，则叫做图形在内关于直线的平行投影．平面叫做投射面，叫做投射线．另外的解释：我们把在一束平行光线照射下形成的投影，叫做平行投影．平行投影的投涉线是平行的．在平行投影中，投影线正对着投影面时，叫做正投影，否则叫做斜投影．⑵性质：若图形中的直线或线段不平行于投射线时，平行投影具有以下性质：①直线或线段的平行投影仍是直线或线段；②平行直线的平行投影是平行或重合的直线；③平行于投射面的线段，它的投影与这条线段平行且等长；④平行于投射面的平面图形，它的投影与这个图形全等；⑤在同一直线或平行直线上，两条线段平行投影的比等于这两条线段的比．⑶正投影：概念：在平行投影中，如果投射线与投射面垂直，则称这样的平行投影为正投影．性质：①垂直于投射面的直线或线段的正投影是点；②垂直于投射面的平面图形的正投影是直线或直线的一部分．3．中心投影：一个点光源把一个图形照射到一个平面上，这个图形的影子就是它在这个平面上的中心投影．中心投影的直观性强，看起来与人的视觉效果一致，常在绘画时使用，在立体几何中，一般用平行投影原理来画图．4．三视图：在画正投影时，常选取三个互相垂直的平面作为投射面，一个投射面水平放置，叫做水平投射面，投射到这个面内的图形叫做俯视图；一个投射面放置在正前方，叫直立投射面，投射到此平面内的图形叫做主视图；和水平投射面、直立投射面都垂直的投射面叫做侧立投射面，通常把这个平面放在直立投射面的右面，投射到这个平面内的图形叫做左视图． 将空间图形向这三个平面作正投影，然后把这三个投影按一定的布局放在一个平面内，这样构成的图形叫做空间图形的三视图．如右图为圆锥的三视图：1．投影法背景知识：物体在光线的照射下，就会在地面或墙壁上产生影子，人们将这种自然现象加以科学的抽象，总结其中的规律，提出了投影的方法，使物体在投影面上产生图像的方法叫投影法，工程上常用各种投影法来绘制用途不同的工程图样．2．平行投影的投影线互相平行，中心投影的投影线相交于一点；3．三视图是观察者从不同位置观察同一个几何体画出的空间几何体图形，直观图是观察者站在某一点观察几何体画出的空间几何体的图形；4．三视图分别是从三个方向看到的物体轮廓线的正投影所围成的平面图形．画三视图时，可以把垂直投影面的视线想象成平行光线从不同方向射向几何体，体会可见的轮廓线（包括被遮档，但是可以经过想象透视到的轮廓线）的投影就是所要画出的视图．一个物体的三视图的排列规则是：俯视图放在主视图的下面，长度与主视图一样；左视图放在主视图的右面，高度与主视图一样，宽度与俯视图的宽度一样；三视图满足“长对正，宽平齐，高相等”的基本特征或说“主左一样高，主俯一样长，俯左一样宽”．5．正等测画法的依据还是平行投影，不过这时投影线和人的视线平行，并且投影线与投影面垂直，它一般用于画圆柱，圆锥，圆台，球等旋转体．（二）典例分析：【例1】如图，正方形的边长为，它是水平放置的一个平面图形的直观图．请画出原来的平面几何图形的形状，并求原图形的周长与面积．【例2】（08广东）将正三棱柱截去三个角（如图所示分别是三边的中点）得到几何体如图，则该几何体按图中所示方向的侧视图（或称左视图）为（） 【例1】（2009宁夏海南卷理）一个棱锥的三视图如图，则该棱锥的全面积（单位：）为（）A．B．C．D．【例2】根据下面的几何体的直观图画出相应的的三视图．　　　　　　⑴圆台　　　⑵正三棱柱【例3】（2008海南宁夏）某几何体的一条棱长为，在该几何体的正视图中，这条棱的投影是长为的线段，在该几何体的侧视图与俯视图中，这条棱的投影分别是长为和的线段，则的最大值为（）A．B．C．4D．【例4】已知某几何体的俯视图是如图所示的矩形，正视图（或称主视图）是一个底边长为8、高为4的等腰三角形，侧视图（或称左视图）是一个底边长为6、高为4的等腰三角形． ⑴求该几何体的体积；⑵求该几何体的侧面积．【例1】已知一个几何体的主视图及左视图均是边长为的正三角形，俯视图是直径为的圆，如图，则此几何体的外接球的表面积为．【例2】已知某个几何体的三视图如下，根据图中标出的尺寸，可得这个几何体的体积是_______．【例3】右图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积是________．【例4】下列几何体中，主视图、左视图、俯视图相同的几何体是（）A．球和圆柱B．圆柱和圆锥C．正方体的圆柱D．球和正方体 板块五：斜二测画法（一）知识内容1．直观图：概念：用来表示空间图形的平面图形，叫做空间图形的直观图．画法：斜二测画法和正等测画法：⑴斜二测画法规则：①在已知图形所在的空间中取水平平面，作相互垂直的轴，，再作轴，使，．（三维空间中）②画直观图时，把，，画成对应的轴，使或，，所确定的平面表示水平平面．（二维平面上）③已知图形中，平行于轴，轴或轴的线段，在直观图中分别画成平行于轴，轴或轴的线段．并使它们和所画坐标轴的位置关系，与已知图形中相应线段和原坐标轴的位置关系相同．④已知图形中平行于轴和轴的线段，在直观图中保持长度不变，平行于轴的线段，长度为原来的一半．⑤画图完成后，擦去作为辅助线的坐标轴，就得到了空间图形的直观图．⑵正等测画法：在立体几何中，常用正等测画法画圆的直观图，它的依据还是平行投影，圆的直观图是椭圆，具体画法不要求掌握．正等测画法具体应用主要应用于工程及机械专业的绘图．（三）典例分析：【例1】斜二测画法所得的直观图的多边形面积为，那么原图多边形面积是_______．【例2】如图，正方形的边长为，它是水平放置的一个平面图形的直观图．请画出原来的平面几何图形的形状，并求原图形的周长与面积．【例3】根据下面几何体的三视图，描述这个几何体的大致形状，并用斜二测画法画出这个几何体的直观图，其中三视图中的主视图和左视图都是正三角形，俯视图是边长为２的正方形．