空间几何体三视图和直观图

空间几何体、三视图和直观图自主梳理1．多面体的结构特征(1)棱柱的上下底面_平行 ____，侧棱都____平行___且______长度相等_____，上底面和下底面是___全等______的多边形．(2)棱锥的底面是任意多边形，侧面是有一个_公共顶点_______的三角形．(3)棱台可由__平行于棱锥底面________的平面截棱锥得到，其上下底面的两个多边形__相似______．2．旋转体的结构特征(1)圆柱可以由矩形绕其___一边所在直线_________旋转得到．(2)圆锥可以由直角三角形绕其____一条直角边所在直线______________旋转得到．(3)圆台可以由直角梯形绕___垂直于底边的腰所在直线 _______________或等腰梯形绕上下底中点的连线旋转得到，也可由平行于圆锥底面的平面截圆锥得到．(4)球可以由半圆或圆绕其__直径 ______旋转得到．3．空间几何体的三视图空间几何体的三视图是用正投影得到，这种投影下与投影面平行的平面图形留下的影子与平面图形的形状和大小是完全相同的，三视图包括__正视图 侧视图 俯视图 4．空间几何体的直观图画空间几何体的直观图常用__斜二测______画法，基本步骤是：(1)在已知图形中取互相垂直的x轴、y轴，两轴相交于点O，画直观图时，把它们画成对应的x′轴、y′轴，两轴相交于点O′，且使∠x′O′y′＝__45°(或135°)______.(2)已知图形中平行于x轴、y轴的线段，在直观图中分别画成平行于___x′轴、y′轴_______的线段．(3)已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中保持原长度___不变 _____，平行于y轴的线段，长度变为_______原来的一半____________．(4)在已知图形中过O点作z轴垂直于xOy平面，在直观图中对应的z′轴也垂直于x′O′y′平面，已知图形中平行于z轴的线段，在直观图中仍平行于z′轴且长度___不变_____．5．中心投影与平行投影(1)平行投影的投影线互相平行，而中心投影的投影线相交于一点．(2)从投影的角度看，三视图和用斜二测画法画出的直观图都是在平行投影下画出来的图形． 探究点一 空间几何体的结构例1 给出下列命题：①棱柱的侧棱都相等，侧面都是全等的平行四边形；②用一个平面去截棱锥，棱锥底面与截面之间的部分是棱台；③若三棱锥的三条侧棱两两垂直，则其三个侧面也两两垂直；④若有两个过相对侧棱的截面都垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱；⑤存在每个面都是直角三角形的四面体；⑥棱台的侧棱延长后交于一点．其中正确命题的序号是________．例1 解题导引 解决这种判断题的关键是：①准确理解棱柱、棱锥、棱台的概念；②正确运用平行、垂直的判定及性质定理进行判断，整体把握立体几何知识．③④⑤⑥解析 ①错误，因为棱柱的底面不一定是正多边形，故侧面不一定都全等；②错误，必须用平行于底面的平面去截棱锥，才能得到棱台；③正确，因为三个侧面构成的三个平面的二面角都是直二面角；④正确，因为两个过相对侧棱的截面的交线平行于侧棱，又垂直于底面；⑤正确，如图所示，正方体AC1中的四棱锥C1—ABC，四个面都是直角三角形；⑥正确，由棱台的概念可知．因此，正确命题的序号是③④⑤⑥.变式迁移1 下列结论正确的是(  )A．各个面都是三角形的几何体是三棱锥B．以三角形的一条边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫圆锥C．棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则此棱锥可能是六棱锥D．圆锥的顶点与底面圆周上的任意一点的连线都是母线变式迁移1 D [A错误．如图所示，由两个结构相同的三棱锥叠放在一起构成的几何体，各面都是三角形，但它不是棱锥．B错误．如下图，若△ABC不是直角三角形或是直角三角形，但旋转轴不是直角边，所得的几何体都不是圆锥．C错误．若六棱锥的所有棱长都相等，则底面多边形是正六边形．由几何图形知，若以正六边形为底面，侧棱长必然要大于底面边长．D正确．] 探究点二 空间几何体的三视图例2 (2009·福建)如图，某几何体的正视图与侧视图都是边长为1的正方形，且体积为，则该几何体的俯视图可以是(  )例2 解题导引 三视图的正视图、侧视图、俯视图分别是从几何体的正前方、正左方、正上方观察几何体画出的轮廓线．解决此类问题的关键是弄清三视图“长、宽、高”的关系．C [当俯视图为A中正方形时，几何体为边长为1的正方体，体积为1；当俯视图为B中圆时，几何体为底面半径为，高为1的圆柱，体积为；当俯视图为C中三角形时，几何体为三棱柱，且底面为直角边长为1的等腰直角三角形，高为1，体积为；当俯视图为D中扇形时，几何体为圆柱的，且体积为.]变式迁移2 (2011·课标全国)在一个几何体的三视图中，正视图和俯视图如图所示，则相应的侧视图可以为(  )变式迁移2 D [由几何体的正视图和俯视图可知，该几何体的底面为半圆和等腰三角形，其侧视图可以是一个由等腰三角形及底边上的高构成的平面图形，故应选D.]探究点三 直观图及斜二测画法例3  用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图为如图所示的一个正方形，则原来的图形是(  )例3 解题导引 本题是已知直观图，探求原平面图形，考查逆向思维能力．要熟悉运用斜二测画法画水平放置的直观图的基本规则，注意直观图中的线段、角与原图中的对应线段、角的关系．A [按照斜二测画法的作图规则，对四个选项逐一验证，可知只有选项A符合题意．]变式迁移3 一个平面四边形的斜二测画法的直观图是一个边长为a的正方形，则原平面四边形的面积等于(  )A.a2B．2a2C.a2D.a2变式迁移3 B [根据斜二测画法画平面图形的直观图的规则可知，在x轴上(或与x轴平行)的线段，其长度保持不变；在y轴上(或与y轴平行)的线段，其长度变为原来的一半，且∠x′O′y′＝45°(或135°)，所以，若设原平面图形的面积为S，则其直观图的面积为S′＝··S＝S.可以得出一个平面图形的面积S与它的直观图的面积S′之间的关系是S′＝S，本题中直观图的面积为a2，所以原平面四边形的面积S＝＝2a2.]1．画几何体三视图的基本要求是：正视图与俯视图长对正；正视图与侧视图高平齐；侧视图与俯视图宽相等．2．三视图的安排规则是：正视图与侧视图分别在左右两边，俯视图画在正视图的下方．3．用斜二测画法画出的平面图形的直观图的面积S′与原平面图形的面积S之间的关系是S′＝S.A组 1．如图，下列几何体各自的三视图中，有且仅有两个视图相同的是(  )A．①②B．①③C．①④D．②④1．D [在各自的三视图中①正方体的三个视图都相同；②圆锥有两个视图相同；③三棱台的三个视图都不同；④正四棱锥有两个视图相同．]2．(2011·浙江)若某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的直观图可以是(  ) 2．D [A，B的正视图不符合要求，C的俯视图显然不符合要求，答案选D.]3．(2011·金华月考)将正三棱柱截去三个角(如图1所示)，A，B，C分别是△GHI三边的中点，得到几何体如图2，则该几何体按图2所示方向的侧视图(或称左视图)为(  )3．A [∵原几何体是正三棱柱，且AE在平面EG中，∴在侧视图中，AE应为竖直的．]4. (2010·广东)如图，△ABC为正三角形，AA′∥BB′∥CC′，CC′⊥平面ABC且3AA′＝BB′＝CC′＝AB，则多面体ABC－A′B′C′的正视图(也称主视图)是(  )4．D [由AA′∥BB′∥CC′及CC′⊥平面ABC，知BB′⊥平面ABC.又CC′＝BB′，且△ABC为正三角形，故正视图应为D中的图形．]5．(2011·山东)如图是长和宽分别相等的两个矩形，给定下列三个命题：①存在三棱柱，其正(主)视图、俯视图如右图；②存在四棱柱，其正(主)视图、俯视图如右图；③存在圆柱，其正(主)视图、俯视图如右图．其中真命题的个数是(  )A．3B．2C．1D．05．A [底面是等腰直角三角形的三棱柱，当它的一个矩形侧面放置在水平面上时，它的正视图和俯视图可以是全等的矩形，因此①正确；若长方体的高和宽相等，则存在满足题意的两个相等的矩形，因此②正确；当圆柱侧放时(即侧视图为圆时)，它的正视图和俯视图可以是全等的矩形，因此③正确．]B组一、选择题(每小题5分，共25分)2．(2011·汕头月考)已知水平放置的△ABC的直观图△A′B′C′(斜二测画法)是边长为a的正三角形，则原△ABC的面积为(  ) A.a2B.a2C.a2D.a22．D [斜二测画法中原图面积与直观图面积之比为1∶，则易知S＝(a)2，∴S＝a2.]3．有一个正三棱柱，其三视图如图所示：则其体积等于(  )A．3cm3B．1cm3C.cm3D．4cm33．D [由给出的三视图可以得知该正三棱柱的高等于正视图和侧视图的高为cm，若设该正三棱柱的底面边长为acm，则有a＝2，所以a＝，故该正三棱柱的体积为V＝··2·＝4(cm3)．]4．(2011·青岛模拟)如下图，一个简单空间几何体的三视图其正视图与侧视图都是边长为2的正三角形，其俯视图轮廓为正方形，则其体积是(  )A.B.C.D.4．C [由三视图知该几何体为一正四棱锥，记为S—ABCD，如图，其中AB＝2，△SCD中CD上的高为2，即SE＝2，设S在底面上的射影为O，在Rt△SOE中，SO＝，∴SO＝＝.∴V＝SABCD×SO＝×4×＝.] 5．(2011·福州质检)某简单几何体的一条对角线长为a，在该几何体的正视图、侧视图与俯视图中，这条对角线的投影都是长为的线段，则a等于(  )A.B.C．1D．25．B [可以把该几何体形象为一长方体AC1，设AC1＝a，则由题意知A1C1＝AB1＝BC1＝，设长方体的长、宽、高分别为x、y、z，则x2＋y2＝2，y2＋z2＝2，z2＋x2＝2，三式相加得2(x2＋y2＋z2)＝2a2＝6.∴a＝.]6．(2010·湖南)图中的三个直角三角形是一个体积为20cm3的几何体的三视图，则h＝________cm.6．4解析 由三视图可知该几何体是一个三棱锥，其底面是一个直角边长分别是5和6的直角三角形，几何体的高为h，则该几何体的体积V＝··5·6·h＝20.∴h＝4.10．(12分)如图是一个几何体的正视图和俯视图．(1)试判断该几何体是什么几何体；(2)画出其侧视图，并求该平面图形的面积．10．解 (1)由该几何体的正视图及俯视图可知几何体是正六棱锥．(4分)(2)侧视图(如图) (6分)其中AB＝AC，AD⊥BC，且BC长是俯视图正六边形对边间的距离，即BC＝a，AD是正棱锥的高，AD＝a，所以侧视图的面积为S＝×a×a＝a2.