高中数学第1章空间几何体12空间几何体的三视图和直观图123空间几何体的直观

)1.2.3空间几何体的直观图疱丁巧解牛知识•巧学一、平而图形斜二测画法规则1.⑴在已知图形小取互相垂直的x轴、y输两轴相交于0点，画直观图时，把它们画成对应的*轴与『轴，两轴交于0’且使Zx，(Ty‘=45。(或135。)，它们确定的平面表示水平面；(2)已知图形中平行于x轴或y轴的线段，在直观图中分别画成平行于*轴与y‘轴；(3)已知图形中平行于x轴的线段在直观图中长度保持不变，平行于y轴的线段在直观图中长度变为原来的一半.2.坐标平面中，点的直观图的画法.如图1-2-16.:3)DVIIIIII!_►0AX画法:(1)设点C(a,b),作坐标系*O'y‘,使Zx‘0’y‘二45。；(2)在x轴上的点A,画在x‘轴上，使0’A'=0A；(3)在y轴上的点B,画在y‘轴上，使LB'二一OB；2(4)在”0设A点坐标为(a,b),B点坐标为(c,d),作坐标系x'0’y'，使Zx'0’y'二45°；仿照点的作法，分别找出A、B两点的直观图A'、;(3)连结A'Bz，则A'B'就是AB的直观图.如图1-2-17⑴、(2).yz中，作y'轴的平行线X’二a,作x‘轴的平行线『=-,直线*与直线2y‘相交于点C'(a,2),点C'即为点C的直观图.23.坐标平面中，线段的直观图的画法.图1-2-174.一般多边形的直观图.(1)作出各个顶点的直观图；(2)连结各个顶点即可.例如画水平放置的正六边形的直观图.如图1-2-18(1)(2).画法: (1)在已知正六边形ABCDEF44,取对角线AD所在的直线为x轴，取对称轴GH为y轴，x轴、y轴相交于点0,任取点0’，画出对应的”轴、yz轴，使Zx'0’y‘二45。；(2)以点0'为屮点，在x‘轴上収A，D'二AD,在y，轴上取VH'二丄GH,以点H'为屮2点，画F‘E'〃x‘轴，并使F‘E'二FE；再以G'为中点，画B‘C'〃x‘轴，并使C'二BC；(3)顺次连结A'、(/D‘、LE‘、『A'，所得到的六边形A'BzC'D'E‘F'就是水平放置的正六边形ABCDEF的直观图.BGC⑴图1-2-18记忆要诀用斜二测画法画平而图形的直观图时，应牢记下列口决：横不变，竖折半；平行关系不改变；九十度角画一半.二、空间几何体的直观图画法1.斜二测画法的规则.(1)在已知图形中取水平平面，取互相垂直的轴Ox、0y,再取0z轴，使ZxOz二90°；(2)画直观图时，把它们画成对应的轴0’X’、0’yz、0zz'，使Zx‘0’y‘二45。(或135°),Zxz0’*=90°,xz0’『所确定的平面表示水平平面；(3)已知图形中平行于x轴、y轴或z轴的线段，在直观图中分别画成平行于"轴、『轴、*轴的线段；⑷已知图形中平行于X轴和Z轴的线段，在直观图中保持长度不变；平行于y轴的线段，长度变为原来的一半.2.点的画法.在O—xyz坐标系中，A点坐标为(a,b,c),则在O'-x'y'z'坐标系中坐标为(a,—,c).23.儿何体的画法.运用点的画法，画出顶点，连线即可.画水平放置的几何图形的直观图应注意的问题：(1)要根据图形的特点选収适当的坐标系，这样可以简化作图步骤；(2)平行于y轴的线段画直观图时一定要画成原來长度的一半；(3)对于图形中与x轴、y轴、z轴都不平行的线段，可通过确定端点的办法来解决,即过端点作坐标轴的平行线段,再借助于所作的平行线段确定端点在直观图中的位置.问题・探究问题1利用斜二测画法画水平放置的平面图形时要注意“一斜”与“二测”.你是怎么理解这一问题的？探究：“一斜”即把已知图形屮互相垂直的轴Ox、0y画成对应的轴0x‘、0y‘，使xz0y,二45。(或135。)体现了轴的“斜”；“二测”是已知图形中平行于x轴的线段在直 观图屮保持原长度不变，即横不变；已知图形屮平行于y轴的线段在直观图屮长度变为原来的一半，即纵减半.问题2把太阳光线看成是平行的，它把一个矩形ABCD投射到地平而上.①如果太阳光线不垂直于地平面，矩形ABCD垂直于地平面，它的投影是矩形吗？②如果太阳光线不垂直于地平面，矩形ABCD平行于地平面，它的投影是矩形吗？原图形与它的投影是什么关系？③如果太阳光线垂直于地平面，矩形ABCD平行于地平面，它的投影是矩形吗？原图形与它的投影是什么关系？探究:①投影不是矩形，而是一个平行四边形；②投影是矩形，且这个矩形与原来的矩形是全等的；③投影是矩形，这个矩形与原来的矩形一定是全等的.典题•热题例1画出水平放置的等腰梯形的直观图.思路解析：画水平放置的直观图应遵循以下原则：⑴直角坐标系中Zx‘O'yz=45°;(2)横线相等，即A'B'二ABCD'二CD;(3)竖线是原来的丄，即LE，=丄0£・22解：(1)如图1-2-19(1),取AB所在直线为x轴,AB中点0为原点，建立直角坐标系，画对应的坐标系x‘0,y‘，使Zx‘O'y‘=45°;(1)⑵图1-2-19⑵以0’为中点在X’轴上取2B/二AB,在『轴上取0’E，二丄OE,以E'为中点画2CfD'〃x‘轴，并使C‘Df=CD;(1)连结C'、卜A，，所得的四边形A'BzC'卜就是水平放置的等腰梯形ABCD的直观图.如图1-2-19(2).误区警示画水平放置的几何图形的直观图时，不能将与y轴平行的线段画的与原來的长度相等,应变为原来长度的丄，如本例中的VEf・2方法归纳画水平放置的平面图形的直观图的步骤为I田i轴(让尽量多的点在坐标轴上)；取点;成图.在图形中，平行于x轴的线段，在直观图中保持其长度不变，平行于y轴的线段，在直观图中长度减半.例2画棱长为2cm的正方体的直观图•如图1-2-20(1)(2).思路解析:在儿何体屮建立适当的空间直角坐标系,在坐标系屮根据规则作出儿何体各顶点,再连结顶点即可得到几何体的直观图.解：步骤：(1)作水平放置的正方形的直观图ABCD,使ZBAD二45°,AB二2cm,AD二1cm;⑵过点A作zz轴，使ZBAz/=90°，分别过点A、B、C、D,沿zz轴的正方向収AAi=BBi=CCi=DDi=2cm； (3)连结A.B..BiCisCD、D,A：,得到的图形就是所求的正方体直观图. °Cl⑴⑵图1-2-20方法归纳画立体图形的直观图，在画轴吋，要多画一条与厶7『平面垂直的轴Vzz,且平行于V刁'的线段，在直观图中的长度不变，其他与平面图形直观图的画法一致.例3如图1-2-21是上、下底面处在水平状态下的棱长为2cm的正方体的直观图，比例尺为1：1,回答下列问题：(1)线段AB】在图中、实物中长度各为多少？ZABA在图中、实物中的度数各为多少？(2)在实物中，ZABC、ZAEB、ZBEC、ZABD、ZCBD的度数是多少？(3)线段BC在图中、实物中的长度各是多少？ZADA、ZCBQ在实物中的度数是多少?思路解析：从正方体的上下面、左右面、前后面去认证线段和角的实际意义.解：⑴面MDB处在铅直状态下,其内部的图形为真实图形.由己知AAFA1BF2cm,Ab丄Ab,所以AB^722+22=2^2cm.所以线段AB】在图中、实物屮的长度都是2血cm.ZABA在图中、实物中度数都是45°.(1)在实物中，ZABC=ZAEB=ZBEC=90°,ZABD二ZCBD二45°.(2)线段BC在图中、实物中的长度分别是1cm、2cm,ZADA、ZCB1C1在实物中的度数都是45°・深化升华立体几何中的图形都是空|'可图形，在空间图形中，我们用直尺量得的线段的长度,用量角器量得的角的度数，与线段、角在实物屮的长度、度数有相同的，也有不同的，怎样把握空间图形与实物的对应关系，最有效的途径之一就是在正方形的上下面、左右面、前后面内去认证线段和角的实际意义.