学案1 空间几何体的结构、直观图、三视图

学案1空间几何体的结构、视图和直观图 空间几何体的结构、三视图和直观图1.认识柱、锥、台、球及其组合体的结构特征，并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构.2.能画出简单空间图形（长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等的简单组合）的三视图，能识别上述三视图所表示的立体模型，会用斜二测法画出它们的直观图.3.会用平行投影与中心投影两种方法画出简单空间图形的三视图与直观图，了解空间图形的不同表示形式.4.会画某些建筑物的三视图与直观图. 1.空间几何体的结构常常在小题中考查，有时也渗透在解答题中考查某个几何体的结构特征.2.直观图常常与三视图同时考查，由几何体的直观图确定三视图或由几何体的三视图确定对应直观图.3.三视图是新课标中新增加的内容，对考生要求较低，一般不会直接考查作图，但经常会与立体几何中有关的计算问题融合在一起，如面积、体积的计算，从而考查考生的空间想象能力，因此要对常见的几何体的三视图有所理解，并能够进行识别和判断. 1、棱柱的结构特征一般地，有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的多面体叫做棱柱.棱柱中，的面叫做棱柱的底面，简称底；其余各面叫做棱柱的侧面；相邻侧面的公共边叫做棱柱的侧棱；的公共顶点叫做棱柱的顶点.根据底面多边形的边数分为：三棱柱、四棱柱、五棱柱等.两个互相平行侧棱与底面 2、棱锥的结构特征一般地，有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的多面体叫做棱锥.这个多边形面叫做棱锥的底面或底；有的各个三角形面叫做棱锥的侧面；各侧面的公共顶点叫做棱锥的顶点；相邻侧面的公共边叫做棱锥的侧棱.按照底面多边形的边数分为：三棱锥、四棱锥、…、n棱锥.其中三棱锥也叫四面体.公共顶点 3、圆锥的结构特征以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的面所围成的旋转体叫做圆锥.旋转轴叫做圆锥的轴；旋转而成的圆面叫做圆锥的底面；斜边旋转而成的曲面叫做圆锥的侧面；无论旋转到什么位置，斜边都叫做圆锥侧面的母线.垂直于轴的直角边 4、三视图一个物体的三视图的排列规则是：俯视图放在，长度和正(主)视图一样，侧(左)视图放在，高度和主视图一样，宽度与俯视图一样.5、斜二测画法的步骤(1)在已知图形中取互相垂直的x轴、y轴、z轴，相交于O点，画直观图时，画成相应的x′轴、y′轴、z′轴，相交于O′点，使∠x′O′y′=，∠z′O′x′=.(2)已知图形中平行于x轴、y轴、z轴的线段，在直观图中分别画成平行于的线段.(3)已知图形中平行于x轴、z轴的线段，在直观图中，平行于y轴的线段，长度为.原来的一半正（主）视图的下面正视图的右面45°(135°)90°x′轴、y′轴、z′轴保持原长度不变 下列说法正确的是()A.有两个平面互相平行，其余各面都是平行四边形的多面体是棱柱B.四棱锥的四个侧面都可以是直角三角形C.有两个面互相平行，其余各面都是梯形的多面体是棱台D.棱台的各侧棱延长后不一定相交于一点考点1几何体的结构特征 【分析】从棱柱、棱锥、棱台的概念入手，借助于几何模型帮助掌握空间几何体的结构特征.名师伴你行SANPINBOOK【解析】A可找一反例，如图B如图，返回目录 C如图，D由棱台的概念可知，其侧棱必相交于同一点.故应选B. 【评析】解决这些问题必须充分理解柱、锥、台、球等有关几何体的定义，抓住定义中的本质. 下列结论正确的是（）A.各个面都是三角形的几何体是三棱锥B.以三角形的一条边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫圆锥C.棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则此棱锥可能是六棱锥D.圆锥的顶点与底面圆周上的任意一点的连线都是母线 【解析】A错误.如图所示，由两个结构相同的三棱锥叠放在一起构成的几何体，各面都是三角形，但它不一定是棱锥.B错误.如图，若△ABC不是直角三角形或是直角三角形，但旋转轴不是直角边，所得的几何体都不是圆锥.C显然错误.故应选D. 已知△ABC的直观图A′B′C′是边长为a的正三角形，求原三角形ABC的面积.【分析】按照直观图的画法，建立适当的坐标系将△A′B′C′还原，并利用平面几何的知识求出相应的线段、角，求解时要注意线段和角的变化规律.考点2直观图 【解析】建立如图所示的xOy坐标系，△ABC的顶点C在y轴上，AB边在x轴上，OC为△ABC的高.把y轴绕原点顺时针旋转45°得y′轴，则点C变为点C′，且OC=2OC′，A,B点即为A′,B′点，AB=A′B′.已知A′B′=A′C′=a，在△OA′C′中，由正弦定理得所以OC′=，所以原三角形ABC的高OC=，所以S△ABC=×a×=. 【评析】解决这类题的关键是根据斜二测画法求出原三角形的底边和高，将水平放置的平面图形的直观图还原成原来的实际图形，其作法就是逆用斜二测画法，也就是使平行于x轴的线段的长度不变，而平行于y轴的线段的长度变为直观图中平行于y′轴的线段长度的2倍. 已知正三角形ABC的边长为a,那么△ABC的平面直观图△A′B′C′的面积为()A.a2B.a2C.a2D.a2 D(如图①,②所示的实际图形和直观图.由②可知,A′B′=AB=a,O′C′=OC=a,在图②中作C′D′⊥A′B′于D′，则C′D′＝O′C′=a.∴S△A′B′C′=A′B′·C′D′=×a×a=a2.故应选D.) 如图，△ABC为正三角形，AA′∥BB′∥CC′,CC′⊥平面ABC且3AA′=BB′=CC′=AB,则多面体ABC—A′B′C′的正（主）视图是()考点3三视图 【解析】由AA′∥BB′∥CC′及CC′⊥平面ABC,知BB′⊥平面ABC.又CC′=BB′,且△ABC为正三角形,故正（主）视图应为D中的图形.故应选D.【分析】根据图形和数据，按正（主）视图画法确定选项. 【评析】（1）三视图的正(主)视图、侧（左）视图、俯视图分别是从物体的正前方、正左方、正上方看到的物体轮廓线的正投影围成的平面图形，反映了一个几何体各个侧面的特点.（2）画几何体的三视图时，能看到的轮廓线画成实线，看不到的轮廓线画成虚线. 如图，已知三棱锥的底面是直角三角形，直角边长分别为3和4，过直角顶点的侧棱长为4，且垂直于底面，该三棱锥的正（主）视图是() 【解析】通过观察图形，三棱锥的正（主）视图应为高是4，底面边长为3的直角三角形.故应选B. 一个长方体去掉一个小长方体，所得几何体的正（主）视图与侧（左）视图分别如图所示，则该几何体的俯视图为()考点4直观图与三视图的综合应用 【分析】由正(主)视图和侧(左)视图探讨几何体直观图，并由直观图画出俯视图.【解析】由三视图中的正(主)、侧（左）视图得到几何的直观图如图所示，所以该几何体的俯视图为C.故应选C. 【评析】本题考查了三视图的知识，解题的关键是理解、掌握三视图与直观图的关系，特别是应明确三视图是从几何体的哪个方向看到的. 下图中的三个直角三角形是一个体积为20cm3的几何体的三视图，则h=cm 【解析】如图是三视图对应的直观图，这是一个三棱锥，其中SA⊥平面ABC,BA⊥AC.由于V=S△ABC·h=××5×6×h=5h,∴5h=20,∴h=4. 1.斜二测画法下的直观图的面积一个平面图形在斜二测画法下的直观图与原图形相比发生了变化，注意原图与直观图中的“三变、三不变”.三变：坐标轴的夹角改变，与y轴平行线段的长度改变（减半），图形改变.三不变：平行性不变，与x轴平行的线段长度不变，相对位置不变.按照斜二测画法得到的平面图形的直观图.其面积与原图形的面积有以下关系：S直观图=S原图形，S原图形=2S直观图.2.直观图、三视图及几何体的关系一个空间几何体可运用斜二测画法画出它的直观图，利用平行投影法画出相应的三视图，这几种图形表现形式不同，解决有关这类问题应抓住它们之间的内在联系进行转化. 1.正棱锥问题常归结到它的高、侧棱、斜高、底面正多边形、内切圆半径、外接圆半径、底面边长的一半构成的直角三角形中解决.2.圆柱、圆锥、圆台、球应抓住它们是旋转体这一特点，弄清旋转轴、旋转面、轴截面.3.台体可以看成是由锥体截得的,但一定强调截面与底面平行. 4.在绘制三视图时，若相邻两物体的表面相交，表面的交线是它们的分界线.在三视图中，分界线和可见轮廓线都用实线画出，被挡住的轮廓画成虚线,并做到“正侧一样高、正俯一样长、俯侧一样宽”.5.在斜二测画法中，要确定关键点及关键线段.“平行于x轴的线段平行性不变，长度不变；平行于y轴的线段平行性不变，长度减半”. 祝同学们学习上天天有进步！名师伴你行SANPINBOOK