空间几何体的结构及其三视图和直观

§8.1 空间几何体的结构及其三视图和直观图1.多面体的结构特征(1)棱柱的上下底面________，侧棱都________且____________，上底面和下底面是________的多边形.(2)棱锥的底面是任意多边形，侧面是有一个____________的三角形.(3)棱台可由________________________的平面截棱锥得到，其上下底面的两个多边形________.2.旋转体的结构特征(1)圆柱可以由矩形绕其________________旋转得到.(2)圆锥可以由直角三角形绕其________________________________旋转得到.(3)圆台可以由直角梯形绕直角腰所在直线或等腰梯形绕上下底中点的连线旋转得到，也可由______________________的平面截圆锥得到.(4)球可以由半圆或圆绕其________旋转得到.3.空间几何体的三视图空间几何体的三视图是用__________得到，这种投影下与投影面平行的平面图形留下的影子与平面图形的形状和大小是____________的，三视图包括____________、__________、________.4.空间几何体的直观图画空间几何体的直观图常用________画法，基本步骤是：(1)在已知图形中取互相垂直的x轴、y轴，两轴相交于点O，画直观图时， 把它们画成对应的x′轴、y′轴，两轴相交于点O′，且使∠x′O′y′＝__________.(2)已知图形中平行于x轴、y轴的线段，在直观图中分别平行于____________.(3)已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中长度____________，平行于y轴的线段，长度变为______________.(4)在已知图形中过O点作z轴垂直于xOy平面，在直观图中对应的z′轴也垂直于x′O′y′平面，已知图形中平行于z轴的线段，在直观图中仍平行于z′轴且长度________.[难点正本 疑点清源]1.画空间几何体的三视图的两个步骤第一步，确定三个视图的形状；第二步，将这三个视图摆放在平面上.在绘制三视图时，分界线和可见轮廓线都用实线画出，被遮挡的部分的轮廓线用虚线表示出来，即“眼见为实、不见为虚”.2.三视图与空间几何体中的几何量的关系空间几何体的数量关系也体现在三视图中，正视图和侧视图的“高平齐”，正视图和俯视图的“长对正”，侧视图和俯视图的“宽相等”.其中，正视图、侧视图的高就是空间几何体的高，正视图、俯视图中的长就是空间几何体的最大长度，侧视图、俯视图中的宽就是空间几何体的最大宽度.要尽量按照这个规则画空间几何体的三视图.1.利用斜二测画法得到的以下结论，正确的是__________.(写出所有正确的序号)①三角形的直观图是三角形；②平行四边形的直观图是平行四边形；③正方形的直观图是正方形；④圆的直观图是椭圆；⑤菱形的直观图是菱形.2.如果圆锥的侧面展开图是半圆，那么这个圆锥的顶角(圆锥轴截面中两条母线的夹角)是________.3.一个几何体的正视图为一个三角形，则这个几何体可能是下列几何体中的________(填入所有可能的几何体前的编号).①三棱锥；②四棱锥；③三棱柱；④四棱柱；⑤圆锥；⑥圆柱.4.以下命题：①直角三角形绕一边所在直线旋转得到的旋转体是圆锥；②夹在圆柱的两个平行截面间的几何体还是圆柱；③圆锥截去一个小圆锥后剩余部分是圆台；④棱锥截去一个小棱锥后剩余部分是棱台.其中正确的命题序号是________. 5.(2011·浙江)若某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的直观图可以是(  )题型一 空间几何体的结构特征例1 设有以下四个命题：①底面是平行四边形的四棱柱是平行六面体；②底面是矩形的平行六面体是长方体；③直四棱柱是直平行六面体；④棱台的相对侧棱延长后必交于一点.其中真命题的序号是________.探究提高 解决该类题目需准确理解几何体的定义，要真正把握几何体的结构特征，并且学会通过反例对概念进行辨析，即要说明一个命题是错误的，设法举出一个反例即可.下面是关于四棱柱的四个命题：①若有两个侧面垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱；②若过两个相对侧棱的截面都垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱；③若四个侧面两两全等，则该四棱柱为直四棱柱；④若四棱柱的四条对角线两两相等，则该四棱柱为直四棱柱.其中，真命题的编号是________.题型二 几何体的三视图例2 已知三棱锥的正视图与俯视图如图所示，俯视图是边长为2的正三角形，则该三棱锥的侧视图可能为(  ) 探究提高 根据几何体的直观图，画三视图，要根据三视图的画法规则进行.要严格按以下几点执行：①三视图的安排位置.正视图、侧视图分别放在左、右两边，俯视图放在正视图的下边.②注意实虚线的区别.一个长方体去掉一个小长方体，所得几何体的正视图与侧视图分别如图所示，则该几何体的俯视图为(  )题型三 空间几何体的直观图例3 已知△ABC的直观图A′B′C′是边长为a的正三角形，求原△ABC的面积.探究提高 对于直观图，除了了解斜二测画法的规则外，还要了解原图形面积S与其直观图面积S′之间的关系S′＝S，能进行相关问题的计算. 如图所示，直观图四边形A′B′C′D′是一个底角为45°，腰和上底均为1的等腰梯形，那么原平面图形的面积是________.题型四 几何体的截面问题例4 棱长为2的正四面体的四个顶点都在同一个球面上，若过该球球心的一个截面如图所示，求图中三角形(正四面体的截面)的面积.探究提高 解决这类问题的关键是准确分析出组合体的结构特征，发挥自己的空间想象能力，把立体图和截面图对照分析，有机结合，找出几何体中的数量关系，为了增加图形的直观性，常常画一个截面圆作为衬托.在棱长为6的正四面体内有一个内切球(球与正四面体的四个面都相切)，经过四面体的一条棱及高作截面如图.求内切球的半径.          8.三视图识图不准致误试题：(5分)一个空间几何体的三视图，如图所示，则这个空间几何体的表面积是________.学生答案展示 审题视角 (1)由三视图还原成直观图，并注意数据的对应.(2)表面积包括哪些部分.正确答案 4(π＋1)解析 这是一个由轴截面割开的半个圆柱与一个球的组合体，其表面积是圆柱的上下两个底面半圆、圆柱的侧面积的一半、圆柱的轴截面和球的表面积之和，故这个表面积是2××π×12＋×2π×1×2＋2×2＋4π×2＝4(π＋1).批阅笔记 1.本题考查的是三视图和表面积计算问题. 在由三视图还原为空间几何体的实际形状时，要从三个视图综合考虑，根据三视图的规则，空间几何体的可见轮廓线在三视图中为实线，不可见轮廓线为虚线.在还原空间几何体实际形状时一般是以正视图和俯视图为主，结合侧视图进行综合考虑.2.解本题易出现的错误有：(1)还原空间几何体形状时出错，不能判断出俯视图中的半圆所对应的几何体；(2)计算表面积时漏掉部分表面，如漏掉了半圆柱的截面矩形或是漏掉了上下两个半圆等.方法与技巧1.棱柱主要是理解、掌握基本概念和性质，并能灵活应用.2.正棱锥问题常归结到它的高、侧棱、斜高、底面正多边形内切圆半径或外接圆半径、底面边长的一半构成的直角三角形中解决.3.圆柱、圆锥、圆台、球应抓住它们是旋转体这一特点，弄清旋转轴、旋转面、轴截面.失误与防范1.台体可以看成是由锥体截得的，但一定强调截面与底面平行.2.掌握三视图的概念及画法在绘制三视图时，若相邻两物体的表面相交，表面的交线是它们的分界线.在三视图中，分界线和可见轮廓线都用实线画出，被挡住的轮廓线画成虚线.并做到“正侧一样高、正俯一样长、俯侧一样宽”.3.掌握直观图的概念及斜二测画法在斜二测画法中，要确定关键点及关键线段.“平行于x轴的线段平行性不变，长度不变；平行于y轴的线段平行性不变，长度减半.”4.能够由空间几何体的三视图得到它的直观图；也能够由空间几何体的直观图得到它的三视图，提升空间想象能力.§8.1 空间几何体的结构及其三视图和直观图(时间：60分钟)A组 专项基础训练题组一、选择题1.给出四个命题：①各侧面都是全等四边形的棱柱一定是正棱柱；②对角面是全等矩形的六面体一定是 长方体；③有两侧面垂直于底面的棱柱一定是直棱柱；④长方体一定是正四棱柱.其中正确的命题个数是(  ) A.0B.1C.2D.32.如图是一个正方体的展开图，将其折叠起来，变成正方体后的图形是(  )3.(2011·课标全国)在一个几何体的三视图中，正视图和俯视图如图所示，则相应的侧视图可以为(  )二、填空题4.如图所示，E、F分别为正方体ABCD—A1B1C1D1的面ADD1A1、面BCC1B1的中心，则四边形BFD1E在该正方体的面DCC1D1上的投影是______.(填序号) 5.(2010·辽宁)如图，网格纸的小正方形的边长是1，在其上用粗线画出了某多面体的三视图，则这个多面体最长的一条棱的长为________.三、解答题6.已知圆锥的底面半径为r，高为h，且正方体ABCD—A1B1C1D1内接于圆锥，求这个正方体的棱长.B组 专项能力提升题组一、选择题1.已知某一几何体的正视图与侧视图如图所示，则在下列图形中，可以是该几何体的俯视图的图形为(  ) A.①②③⑤B.②③④⑤C.①②④⑤D.①②③④2.一个正方体截去两个角后所得几何体的正视图、侧视图如图所示，则其俯视图为(  )3.在棱长为1的正方体ABCD—A1B1C1D1中，过对角线BD1的一个平面交AA1于E，交CC1于F，得四边形BFD1E，给出下列结论：①四边形BFD1E有可能为梯形；②四边形BFD1E有可能为菱形；③四边形BFD1E在底面ABCD内的投影一定是正方形； ④四边形BFD1E有可能垂直于平面BB1D1D；⑤四边形BFD1E面积的最小值为.其中正确的是(  )A.①②③④B.②③④⑤C.①③④⑤D.①②④⑤二、填空题4.如图，点O为正方体ABCD—A′B′C′D′的中心，点E为面B′BCC′的中心，点F为B′C′的中点，则空间四边形D′OEF在该正方体的各个面上的投影可能是________(填出所有可能的序号).5.对于四面体ABCD，下列命题正确的是________.(写出所有正确命题的编号)①相对棱AB与CD所在的直线异面；②由顶点A作四面体的高，其垂足是△BCD三条高线的交点；③若分别作△ABC和△ABD的边AB上的高，则这两条高所在的直线异面；④分别作三组相对棱中点的连线，所得的三条线段相交于一点；⑤最长棱必有某个端点，由它引出的另两条棱的长度之和大于最长棱.6.用半径为r的半圆形铁皮卷成一个圆锥筒，那么这个圆锥筒的高是________.三、解答题7.已知正三棱锥V—ABC的正视图、侧视图和俯视图如图所示.(1)画出该三棱锥的直观图；(2)求出侧视图的面积. 答案1.(1)平行 平行 长度相等 全等 (2)公共顶点 (3)平行于棱锥底面 相似2.(1)一边所在直线 (2)一条直角边所在直线(3)平行于圆锥底面 (4)直径3.正投影 完全相同 正视图 侧视图 俯视图4.斜二测 (1)45°(或135°) (2)x′轴、y′轴 (3)保持不变 原来的一半 (4)不变基础自测1.①②④2.60°3.①②③⑤4.③5.D题型分类·深度剖析例1 ①④变式训练1 ②④例2 B 变式训练2 C例3 解 建立如图所示的坐标系xOy′，△A′B′C′的顶点C′在y′轴上，A′B′边在x轴上，把y′轴绕原点逆时针旋转45°得y轴，在y轴上取点C使OC＝2OC′，A、B点即为A′、B′点，长度不变.已知A′B′＝A′C′＝a，在△OA′C′中，由正弦定理得＝，所以OC′＝a＝a，所以原三角形ABC的高OC＝a，所以S△ABC＝×a×a＝a2.变式训练3 ＋2例4 解 如图所示，△ABE为题中的三角形， 由已知得AB＝2，BE＝2×＝，BF＝BE＝，AF＝＝＝，∴△ABE的面积为S＝×BE×AF＝××＝.∴所求的三角形的面积为.变式训练4 解 AB为正四面体的一条棱，所以AB＝6.BD为正四面体的一个面的高，所以BD＝×6＝3，同理AD＝3，又HD＝×BD＝，∴AH＝＝2，又△AOE∽△ADH，∴＝，即＝，∴OE＝，∴内切球的半径为.课时规范训练A组1.A 2.B 3.D 4.② 5.26.解 如图所示，过内接正方体的一组对棱作圆锥的轴截面，设圆锥内接正方体的棱长为x，则在轴截面中，正方体的对角面A1ACC1的一组邻边的长分别为x和x.∵△VA1C1∽△VMN，∴＝，∴x＝. 即圆锥内接正方体的棱长为.B组1.D 2.C 3.B 4.①②③ 5.①④⑤ 6.r7.解 (1)如图所示.(2)根据三视图间的关系可得BC＝2，∴侧视图中VA＝＝2，∴S△VBC＝×2×2＝6.