常考问题11 三视图及空间几何体的计算

常考问题11 三视图及空间几何体的计算[真题感悟]1．(2013·四川卷)一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的直观图可以是(  )．解析 由于俯视图是两个圆，所以排除A，B，C，故选D.答案 D2．(2013·新课标全国Ⅱ卷)一个四面体的顶点在空间直角坐标系O-xyz中的坐标分别是(1,0,1)，(1,1,0)，(0,1,1)，(0,0,0)，画该四面体三视图中的正视图时，以zOx平面为投影面，则得到正视图可以为(  )．解析 在空间直角坐标系中，先画出四面体O-ABC的直观图，如图，设O(0,0,0)，A(1,0,1)，B(1,1,0)，C(0,1,1)，将以O，A，B，C为顶点的四面体被还原成一正方体后，由于OA⊥BC，所以该几何体以zOx平面为投影面的正视图为A.答案 A3．(2013·湖南卷)已知棱长为1的正方体的俯视图是一个面积为1的正方形，则该正方体的正视图的面积不可能等于(  )．A．1B.C.D. 解析 由俯视图的面积为1可知，该正方体的放置如图所示，当正视图的方向与正方体的侧面垂直时，正视图的面积最小，其值为1，当正视图的方向与正方体的对角面BDD1B1或ACC1A1垂直时，正视图的面积最大，其值为，由于正视图的方向不同，因此正视图的面积S∈[1，]．故选C.答案 C4．(2013·新课标全国Ⅰ卷)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为(  )．A．16＋8πB．8＋8πC．16＋16πD．8＋16π解析 由三视图可知该几何体由长方体和圆柱的一半组成．其中长方体的长、宽、高分别为4,2,2，圆柱的底面半径为2，高为4.所以V＝2×2×4＋×22×π×4＝16＋8π.故选A.答案 A[考题分析]题型 选择题、填空题难度 低档 三视图或直观图的判断；由三视图求简单几何体的表面积与体积．中档 由三视图求组合体的体积，有关球的体积的求解. 1．正棱锥的性质侧棱相等，侧面是全等的等腰三角形，斜高相等；棱锥的高、斜高和斜高在底面内的射影构成一个直角三角形；棱锥的高、侧棱和侧棱在底面内的射影也构成一个直角三角形；某侧面的斜高、侧棱及底面边长的一半也构成一个直角三角形；侧棱在底面内的射影、斜高在底面内的射影及底面边长的一半也构成一个直角三角形．2．三视图(1)三视图的正视图、侧视图、俯视图分别是从几何体的正前方、正左方、正上方观察几何体画出的轮廓线．画三视图的基本要求：正俯一样长，俯侧一样宽，正侧一样高．(2)三视图排列规则：俯视图放在正视图的下面，长度与正视图一样；侧视图放在正视图的右面，高度和正视图一样，宽度与俯视图一样．3．几何体的切接问题(1)球的内接长方体、正方体、正四棱柱等关键是把握球的直径即棱柱的体对角线长．(2)柱、锥的内切球找准切点位置，化归为平面几何问题．4．常用面积和体积公式(1)S圆柱侧＝2πrl，S圆锥侧＝πrl.(2)V柱＝Sh，V锥＝Sh.5．规则的空间几何体(柱、锥、台、球)都有其表面积和体积的计算公式，不规则的空间几何体要通过分割、补形等转化为规则的空间几何进行求解．(1)“分割”指的是将一个不规则的几何体拆成几个简单的规则几何体，便于计算．(2)“补形”指的是将小几何体嵌入一个大几何体中，如一个三棱锥还原成一个三棱柱、一个正方体再补一个相同的正方体、还台为锥.热点一 三视图的识别 例1在一个几何体的三视图中，正视图和俯视图如右图所示，则相应的侧视图可以为(  )．解析 通过题中正视图及俯视图可看出该几何体为半个圆锥和一个三棱锥的组合体．答案 D[规律方法]空间几何体的三视图是分别从空间几何体的正面、左面、上面用平行投影的方法得到的三个平面投影图，因此在分析空间几何体的三视图时，先根据俯视图确定几何体的底面，然后根据正视图或侧视图确定几何体的侧棱与侧面的特征，调整实线和虚线所对应的棱、面的位置，再确定几何体的形状，即可得到结果．训练1某几何体的正视图和侧视图均如图所示，则该几何体的俯视图不可能是(  )．解析 选项A中只要是两个圆柱放在一起即可；一个圆柱和一个正四棱柱的组合体也可，选项B也有可能；选项C中是一个底面为等腰直角三角形的三棱柱和一个正四棱柱的组合体，其符合要求；选项D中是一个正三棱柱和一个正四棱柱的组合体，三种视图方向，其正视图中上面矩形的底边是三棱柱的底面边长，但侧视图中上面矩形的底面边长是三棱柱底面三角形的高，故只有选项D中的不可能，故选D. 答案 D热点二 几何体的表面积及体积例2(1)一个几何体的三视图如图所示(单位长度：cm)，则此几何体的表面积是________cm2.(2)(2013·浙江卷)若某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则此几何体的体积等于________cm3.解析 (1)由三视图可得，该几何体是由棱长为4的正方体和底边边长为4，高为2的正四棱锥组合而成的几何体，该正四棱锥的斜高h′＝＝2，则该几何体的表面积S＝5×42＋4××4×2＝(80＋16)cm2.(2)此三视图所表示的几何体由一个直三棱柱截去一个三棱锥所得(如图所示)，故其体积V＝×3×4×5－××3×4×3＝24cm3.答案 (1)80＋16 (2)24[规律方法]解决由三视图确定几何体的形状并求解其表面积或体积的问题时，首先要确定几何体的大致轮廓，然后利用三视图中的实线和虚线通过切割、 挖空等手段逐步调整，得出几何体的形状，最后利用相关公式计算即可．训练2(1)如图为某个几何体的三视图，则该几何体的侧面积为(  )．A．16＋4πB．12＋4πC．16＋8πD．12＋8π(2)(2013·湖北卷)一个几何体的三视图如图所示，该几何体从上到下由四个简单几何体组成，其体积分别记为V1，V2，V3，V4，上面两个几何体均为旋转体，下面两个简单几何体均为多面体，则有(  )．A.V1＜V2＜V4＜V3B.V1＜V3＜V2＜V4C.V2＜V1＜V3＜V4D.V2＜V3＜V1＜V4解析 (1)易知该几何体是一个半圆柱和一个三棱柱的组合体，其侧面积为4π＋6＋10＝16＋4π.(2)由三视图知自上而下的几何体分别为圆台、圆柱、正方体、棱台，其体积分别为V1＝π(12＋1×2＋22)＝π，V2＝π×12×2＝2π，V3＝23＝8，V4＝(4＋＋16)×1＝，∴V2