7.1 空间几何体的结构、三视图和直观图

认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征，并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构//能画出简单空间图形(长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等的简易组合)的三视图，能识别上述三视图所表示的立体模型，会用斜二测法画出它们的直观图/会用平行投影与中心投影两种方法画出简单空间图形的三视图与直观图，了解空间图形的不同表示形式/会画某些建筑物的三视图与直观图(在不影响图形特征的基础上，尺寸、线条等不作严格要求)．7.1空间几何体的结构、三视图和直观图 1．多面体(1)棱柱：有两个面，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都，由这些面所围成的几何体叫棱柱．(2)棱锥：有一个面是多边形，而其余各面都是有一个公共顶点的，由这些面所围成的几何体叫棱锥．(3)棱台：用一个于棱锥底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分，叫棱台．互相平行互相平行三角形平行 2．旋转体(1)圆柱：以的一边所在的直线为旋转轴，其余三边旋转形成的面所围成的几何体叫做圆柱．(2)圆锥：以所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的面所围成的几何体叫做圆锥．(3)圆台：用一个于圆锥底面的平面去截，底面与截面之间的部分，叫做圆台．(4)球：以的直径所在的直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的几何体叫做球体．简称球．矩形直角三角形的一条直角边平行圆锥半圆 3．三视图与直观图(1)平行投影的投影线；中心投影的投影线．(2)几何体的三视图是指、、．又称为：、、．(3)三视图的画法要求①在画三视图时，重叠的线只画一条，挡住的线要画成，尺寸线用细实线标出；d表示直径，R表示半径；单位不注明，则按mm计．互相平行相交于一点正视图俯视图侧视图主视图俯视图左视图虚线 ②三视图的正视图、侧视图、俯视图分别是从几何体的、、观察几何体画出的轮廓线．画三视图的基本要求是：“正俯一样长、俯侧一样宽、正侧一样高”．③由三视图想象几何体特征时要根据“长对正、宽相等、高平齐”的基本原则．(4)平面图形的直观图画法在斜二测画法中，平行于x轴的线段长度不变；平行于y轴的线段长度．正前方正左方正上方减半 1．下面命题中正确的是()A．有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱B．有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱C．有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体叫棱锥D．有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形的几何体叫棱锥 解析：如图①，面ABC∥面A1B1C1，但图中的几何体每相邻两个四边形的公共边并不都互相平行，故不是棱柱．A不正确．对于选项B，如图②，B不正确．棱锥是有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形的几何体，因此C不正确．答案：D 2．下列几种说法中正确的个数是()①相等的角在直观图中对应的角仍然相等；②相等的线段在直观图中对应的线段仍然相等；③平行的线段在直观图中对应的线段仍然平行；④线段的中点在直观图中仍然是线段的中点．A．1B．2C．3D．4解析：③④正确．答案：B 3．(2009·上海)如右图，已知三棱锥的底面是直角三角形，直角边长分别为3和4，过直角顶点的侧棱长为4，且垂直于底面，该三棱锥的主视图是()解析：根据“长对正、高平齐、宽相等”，可得其主视图为选项B.答案：B 4．从如右图所示的圆柱中挖去一个以圆柱的上底面为底面，下底面的圆心为顶点的圆锥得到一个几何体，现用一个平面去截这个几何体，若这个平面垂直于圆柱的底面所在的平面，那么所截得的图形可能是下图中的________．(把所有可能的图形的序号都填上)答案：(1)(3) 1．准确理解几何体的定义，是真正把握几何体结构特征的关键．2．圆柱、圆锥、圆台的有关元素都集中在轴截面上，解题时要注意用好轴截面中各元素的关系．3．既然棱(圆)台是由棱(圆)锥定义的，所以在解决棱(圆)台问题时，要注意“还台为锥”的解题策略． 【例1】下列结论正确的是()A．各个面都是三角形的几何体是三棱锥B．以三角形的一条边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫圆锥C．棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则此棱锥可能是六棱锥D．圆锥的顶点与底面圆周上的任意一点的连线都是母线 解析：A错误．如图1所示，由两个结构相同的三棱锥叠放在一起构成的几何体，各面都是三角形，但它不一定是棱锥．B错误．如图2，若△ABC不是直角三角形或是直角三角形，但旋转轴不是直角边，所得的几何体都不是圆锥．C错误．若六棱锥的所有棱长都相等，则底面多边形是正六边形．由几何图形知，若以正六边形为底面，侧棱长必然要大于底面边长．D正确．答案：D 画三视图时，应牢记其要求的“长对正、高平齐、宽相等”，注意虚、实线的区别，同时应熟悉一些常见几何体的三视图．解决由三视图想象几何体，进而进行有关计算的题目，关键是准确把握三视图和几何体之间的关系． 【例2】将正三棱柱截去三个角(如图1所示)，A，B，C分别是△GHI三边的中点得到几何体如图2，则该几何体按图2所示方向的侧视图(或称左视图)为() 解析：当三棱锥没有截去三个角时的侧视图如图(1)所示，由此可知截去三个角后的侧视图如图(2)所示．答案：A 变式2.如下的三个图中，上面的是一个长方体截去一个角后所得多面体的直观图，它的正视图和侧视图在下面画出(单位：cm)．在正视图下面，按照画三视图的要求画出该多面体的俯视图． 解答：如下图 斜二测画法：1．在已知图形中取互相垂直的x轴和y轴，两轴相交于点O.画直观图时，把它们画成对应的x′轴与y′轴，两轴交于O′点，且使∠x′O′y′＝45°(或135°)，它们确定的平面表示水平面．2．已知图形中平行于x轴或y轴的线段，在直观图中分别画成平行于x′轴或y′轴的线段．3．已知图形中平行于x轴的线段在直观图中保持原长度不变，平行于y轴的线段，长度为原来的一半．4．在已知图形中过O点作z轴垂直于xOy平面，在直观图中对应的z′轴垂直于x′O′y′平面且长度不变． 【例3】已知正三角形ABC的边长为a，那么△ABC的平面直观图△A′B′C′的面积为()解析：如图①、②所示的实际图形和直观图由②可知，在图②中作C′D′⊥A′B′于D′，则C′D′∴S△A′B′C′＝A′B′·C′D′答案：D 变式3.一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是一个底角为45°、腰和上底长均为1的等腰梯形，则这个平面图形的面积是()解析：如图(1)，等腰梯形A′B′C′D′为水平放置的平面图形的直观图，作D′E′∥A′B′交B′C′于E′，由条件理E′C′＝A′B′＝，所以B′C′＝1＋.由斜二测直观图画法规则，等腰梯形A′B′C′D′的直观图为如下图(2)所示的直角梯形ABCD，且AB＝2，BC＝1＋，AD＝1，所以面积S△ABCD＝2＋.故选D.答案：D 1．正棱锥问题常归结到它的高、侧棱、斜高、底面正多边形、内切圆半径、外接圆半径、底面边长的一半构成的直角三角形中解决．2．圆柱、圆锥、圆台、球应抓住它们是旋转体这一特点，弄清旋转轴、旋转面、轴截面．3．台体可以看成是由锥体截得的．但一定强调截面与底面平行．4．在绘制三视图时，若相邻两物体的表面相交，表面的交线是它们的分界线．在三视图中，分界线和可见轮廓线都用实线画出，被挡住的轮廓线画成虚线．并做到“正侧一样高、正俯一样长、俯侧一样宽”．【方法规律】 5．在斜二测画法中，要确定关键点及关键线段．“平行于x轴的线段平行性不变，长度不变；平行于y轴的线段平行性不变，长度减半．”6．能够由空间几何体的三视图得到它的直观图；也能够由空间几何体的直观图得到它的三视图．提升空间想象能力. (本题满分4分)下面是一个物体的三视图，根据图中尺寸(单位：cm)，它的体积为________cm3. 解析：三视图对应的几何体是长方体上摆放了一个圆柱，因此此几何体的体积V＝V长方体＋V圆柱＝8×8×4＋π×42×4＝256＋64π(cm3)．【答题模板】答案：256＋64π 1.三视图是新课标教材的新增内容，本着考查学生空间想像能力的宗旨，对几何体三视图的考查成为考试的热点．而用斜二测画法作几何体的直观图，是解决立体几何问题的必要手段，但作图并不是要求十分规范严格，只要不违犯原则，能够直观的反映出问题即可．2．由于对物体观察的角度不同，对于同一个几何体可能有不同的三视图；反之，不同的几何体也可能有相同的三视图，如图根据所给的三视图也可以得到如图所示的几何体，此问题的答案并不是唯一的.点击此处进入作业手册【分析点评】