常考问题11三视图及空间几何体的计算

个人收集整理勿做商业用途常考问题一　三视图及空间几何体的计算1．正棱锥的性质侧棱相等,侧面是全等的等腰三角形，斜高相等；棱锥的高、斜高和斜高在底面内的射影构成一个直角三角形；棱锥的高、侧棱和侧棱在底面内的射影也构成一个直角三角形；某侧面的斜高、侧棱及底面边长的一半也构成一个直角三角形;侧棱在底面内的射影、斜高在底面内的射影及底面边长的一半也构成一个直角三角形．2．三视图（1）三视图的正视图、侧视图、俯视图分别是从几何体的正前方、正左方、正上方观察几何体画出的轮廓线．画三视图的基本要求:正俯一样长，俯侧一样宽，正侧一样高．(2）三视图排列规则：俯视图放在正视图的下面,长度与正视图一样;侧视图放在正视图的右面，高度和正视图一样，宽度与俯视图一样．3．几何体的切接问题(1)球的内接长方体、正方体、正四棱柱等关键是把握球的直径即棱柱的体对角线长．(2）柱、锥的内切球找准切点位置，化归为平面几何问题．4．常用面积和体积公式（1）S圆柱侧＝2πrl,S圆锥侧＝πrl。（2）V柱＝Sh,V锥＝Sh。5．规则的空间几何体(柱、锥、台、球)都有其表面积和体积的计算公式，不规则的空间几何体要通过分割、补形等转化为规则的空间几何进行求解．（1)“分割”指的是将一个不规则的几何体拆成几个简单的规则几何体，便于计算．（2）“补形”指的是将小几何体嵌入一个大几何体中，如一个三棱锥还原成一个三棱柱、一个正方体再补一个相同的正方体、还台为锥.热点一　三视图的识别例1在一个几何体的三视图中,正视图和俯视图如右图所示，则相应的侧视图可以为(　　)．解析　通过题中正视图及俯视图可看出该几何体为半个圆锥和一个三棱锥的组合体．答案　D［规律方法］空间几何体的三视图是分别从空间几何体的正面、左面、上面用平行投影的方法得到的三个平面投影图，因此在分析空间几何体的三视图时，先根据俯视图确定几何体的底面，然后根据正视图或侧视图确定几何体的侧棱与侧面的特征，调整实线和虚线所对应的棱、面的位置，再确定几何体的形状，即可得到结果．热点二　几何体的表面积及体积例2（1)一个几何体的三视图如图所示(单位长度：cm)，则此几何体的表面积是________cm2. 个人收集整理勿做商业用途例3（2013·浙江卷）若某几何体的三视图(单位：cm）如图所示,则此几何体的体积等于________cm3。解析　（1)由三视图可得，该几何体是由棱长为4的正方体和底边边长为4，高为2的正四棱锥组合而成的几何体，该正四棱锥的斜高h′＝＝2,则该几何体的表面积S＝5×42＋4××4×2＝（80＋16）cm2。（2）此三视图所表示的几何体由一个直三棱柱截去一个三棱锥所得（如图所示)，故其体积V＝×3×4×5－××3×4×3＝24cm3。答案　(1）80＋16　（2）24［规律方法]解决由三视图确定几何体的形状并求解其表面积或体积的问题时,首先要确定几何体的大致轮廓，然后利用三视图中的实线和虚线通过切割、挖空等手段逐步调整，得出几何体的形状,最后利用相关公式计算即可．破解与球有关几何体的计算问题A.π＋B。＋C。＋D。＋图1解析　如图1所示，S△ABC＝AB×AC＝×1×1＝，VP.ABC＝×S△ABC×AP＝××1＝，又Rt△ABC是半球底面的内接三角形，∴球的直径2r＝BC＝，∴r＝,∴V半球＝×πr3＝××3＝。故所求几何体的体积V＝VP—ABC＋V半球＝＋π。答案　C方法点评　解此类问题抓好两个方面:一是根据三视图正确判断几何体的结构特征, 个人收集整理勿做商业用途尤其是组合体中各个简单几何体之间的关系;二是根据三视图中的数据准确地确定几何体的几何度量．［针对训练］例5(2013·新课标全国Ⅰ卷）如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8cm，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6cm，如果不计容器的厚度，则球的体积为(　　）．A.cm3B。cm3C。cm3D.cm3作出该球的轴截面，如图所示,依题意BE＝2，AE＝CE＝4,设DE＝x，故AD＝2＋x，因为AD2＝AE2＋DE2，解得x＝3，故该球的半径AD＝5，所以V＝πR3＝。答案　A训练　三视图及空间几何体的计算例6．(2013·重庆卷)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（　　)．A。B.C．200D．240解析　由三视图还原的几何体为两底面为等腰梯形的直棱柱,梯形的面积为（2＋8）×4＝20，所以棱柱的体积为20×10＝200。答案　C例7．（2013·广东卷)某四棱台的三视图如图所示，则该四棱台的体积是（　　)． 个人收集整理勿做商业用途A．4B.C。D．6解析　由四棱台的三视图可知该四棱台的上底面是边长为1的正方形，下底面是边长为2的正方形,高为2.由棱台的体积公式可知该四棱台的体积V＝（12＋＋22）×2＝，故选B。答案　B例8．（2013·江苏卷)如图，在三棱柱A1B1C1。ABC中,D，E，F分别是AB，AC，AA1的中点，设三棱锥F。ADE的体积为V1，三棱柱A1B1C1。ABC的体积为V2，则V1∶V2＝________。解析　设三棱柱A1B1C1-ABC的高为h，底面三角形ABC的面积为S，则V1＝×S·h＝Sh＝V2，即V1∶V2＝1∶24。答案　1∶24例9．已知三棱锥SABC的所有顶点都在球O的球面上，△ABC是边长为1的正三角形，SC为球O的直径，且SC＝2，则此三棱锥的体积为________．解析　在Rt△ASC中,AC＝1，∠SAC＝90°，SC＝2，所以SA＝＝。同理，SB＝。过A点作SC的垂线交SC于D点，连接DB,因为△SAC≌△SBC，故BD⊥SC，AD＝BD，故SC⊥平面ABD,且△ABD为等腰三角形．因为∠ASC＝30°,故AD＝SA＝，则△ABD的面积为×1×＝，则三棱锥S—ABC的体积为××2＝.答案　例10．已知某几何体的俯视图是如图所示的矩形，正视图是一个底边长为8、高为4的等腰三角形，侧视图是一个底边长为6、高为4的等腰三角形．（1)求该几何体的体积V;(2）求该几何体的侧面积S.解　由已知可得，该几何体是一个底面为矩形,高为4，顶点在底面的射影是矩形中心的四棱锥E。ABCD。(1)V＝×（8×6）×4＝64.（2)四棱锥E。ABCD的两个侧面EAD，EBC是全等的等腰三角形，且BC边上的高h1＝＝4；另两个侧面EAB，ECD也是全等的等腰三角形,AB边上的高h2＝＝5。因此S＝2×＝40＋24。