常考问题11 三视图及空间几何体的计算

个人收集整理勿做商业用途常考问题11 三视图及空间几何体的计算［真题感悟］1．（2013·四川卷）一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的直观图可以是(  ）．解析 由于俯视图是两个圆，所以排除A，B，C，故选D.答案 D2．（2013·新课标全国Ⅱ卷)一个四面体的顶点在空间直角坐标系O-xyz中的坐标分别是（1,0，1)，（1，1,0)，(0,1,1)，(0，0，0），画该四面体三视图中的正视图时,以zOx平面为投影面，则得到正视图可以为(  )．解析 在空间直角坐标系中，先画出四面体O—ABC的直观图，如图,设O(0，0，0）,A（1,0,1)，B（1,1，0)，C(0，1，1），将以O，A，B,C为顶点的四面体被还原成一正方体后，由于OA⊥BC,所以该几何体以zOx平面为投影面的正视图为A.答案 A3．（2013·湖南卷）已知棱长为1的正方体的俯视图是一个面积为1的正方形，则该正方体的正视图的面积不可能等于(  )．A．1B。C。D. 个人收集整理勿做商业用途解析 由俯视图的面积为1可知，该正方体的放置如图所示，当正视图的方向与正方体的侧面垂直时，正视图的面积最小,其值为1，当正视图的方向与正方体的对角面BDD1B1或ACC1A1垂直时，正视图的面积最大,其值为，由于正视图的方向不同，因此正视图的面积S∈［1，]．故选C.答案 C4．（2013·新课标全国Ⅰ卷)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为(  ）．A．16＋8πB．8＋8πC．16＋16πD．8＋16π解析 由三视图可知该几何体由长方体和圆柱的一半组成．其中长方体的长、宽、高分别为4,2,2，圆柱的底面半径为2，高为4。所以V＝2×2×4＋×22×π×4＝16＋8π.故选A.答案 A［考题分析]题型 选择题、填空题难度 低档 三视图或直观图的判断；由三视图求简单几何体的表面积与体积． 个人收集整理勿做商业用途中档 由三视图求组合体的体积，有关球的体积的求解。1．正棱锥的性质侧棱相等，侧面是全等的等腰三角形，斜高相等；棱锥的高、斜高和斜高在底面内的射影构成一个直角三角形；棱锥的高、侧棱和侧棱在底面内的射影也构成一个直角三角形；某侧面的斜高、侧棱及底面边长的一半也构成一个直角三角形；侧棱在底面内的射影、斜高在底面内的射影及底面边长的一半也构成一个直角三角形．2．三视图(1）三视图的正视图、侧视图、俯视图分别是从几何体的正前方、正左方、正上方观察几何体画出的轮廓线．画三视图的基本要求：正俯一样长,俯侧一样宽，正侧一样高．（2）三视图排列规则:俯视图放在正视图的下面,长度与正视图一样；侧视图放在正视图的右面，高度和正视图一样，宽度与俯视图一样．3．几何体的切接问题(1）球的内接长方体、正方体、正四棱柱等关键是把握球的直径即棱柱的体对角线长．（2)柱、锥的内切球找准切点位置,化归为平面几何问题．4．常用面积和体积公式(1)S圆柱侧＝2πrl，S圆锥侧＝πrl。(2)V柱＝Sh，V锥＝Sh.5．规则的空间几何体（柱、锥、台、球)都有其表面积和体积的计算公式，不规则的空间几何体要通过分割、补形等转化为规则的空间几何进行求解．(1）“分割”指的是将一个不规则的几何体拆成几个简单的规则几何体,便于计算．（2）“补形”指的是将小几何体嵌入一个大几何体中，如一个三棱锥还原成一个三棱柱、一个正方体再补一个相同的正方体、还台为锥。热点一 三视图的识别 个人收集整理勿做商业用途例1在一个几何体的三视图中，正视图和俯视图如右图所示，则相应的侧视图可以为(  ）．解析 通过题中正视图及俯视图可看出该几何体为半个圆锥和一个三棱锥的组合体．答案 D［规律方法]空间几何体的三视图是分别从空间几何体的正面、左面、上面用平行投影的方法得到的三个平面投影图，因此在分析空间几何体的三视图时,先根据俯视图确定几何体的底面,然后根据正视图或侧视图确定几何体的侧棱与侧面的特征，调整实线和虚线所对应的棱、面的位置，再确定几何体的形状,即可得到结果．训练1某几何体的正视图和侧视图均如图所示，则该几何体的俯视图不可能是（  )．解析 选项A中只要是两个圆柱放在一起即可；一个圆柱和一个正四棱柱的组合体也可,选项B也有可能；选项C中是一个底面为等腰直角三角形的三棱柱和一个正四棱柱的组合体，其符合要求；选项D中是一个正三棱柱和一个正四棱柱的组合体，三种视图方向,其正视图中上面矩形的底边是三棱柱的底面边长，但侧视图中上面矩形的底面边长是三棱柱底面三角形的高,故只有选项D中的不可能，故选D. 个人收集整理勿做商业用途答案 D热点二 几何体的表面积及体积例2（1）一个几何体的三视图如图所示(单位长度：cm),则此几何体的表面积是________cm2。（2)(2013·浙江卷)若某几何体的三视图(单位：cm)如图所示,则此几何体的体积等于________cm3。解析 (1)由三视图可得,该几何体是由棱长为4的正方体和底边边长为4,高为2的正四棱锥组合而成的几何体,该正四棱锥的斜高h′＝＝2，则该几何体的表面积S＝5×42＋4××4×2＝（80＋16)cm2。（2）此三视图所表示的几何体由一个直三棱柱截去一个三棱锥所得（如图所示)，故其体积V＝×3×4×5－××3×4×3＝24cm3。答案 (1)80＋16 （2）24[规律方法]解决由三视图确定几何体的形状并求解其表面积或体积的问题时,首先要确定几何体的大致轮廓，然后利用三视图中的实线和虚线通过切割、挖空等手段逐步调整，得出几何体的形状，最后利用相关公式计算即可． 个人收集整理勿做商业用途训练2(1)如图为某个几何体的三视图，则该几何体的侧面积为（  ）．A．16＋4πB．12＋4πC．16＋8πD．12＋8π（2)(2013·湖北卷)一个几何体的三视图如图所示，该几何体从上到下由四个简单几何体组成,其体积分别记为V1，V2，V3，V4,上面两个几何体均为旋转体,下面两个简单几何体均为多面体，则有(  )．A.V1＜V2＜V4＜V3B.V1＜V3＜V2＜V4C.V2＜V1＜V3＜V4D。V2＜V3＜V1＜V4解析 （1）易知该几何体是一个半圆柱和一个三棱柱的组合体，其侧面积为4π＋6＋10＝16＋4π.(2)由三视图知自上而下的几何体分别为圆台、圆柱、正方体、棱台，其体积分别为V1＝π（12＋1×2＋22)＝π,V2＝π×12×2＝2π，V3＝23＝8,V4＝（4＋＋16）×1＝,∴V2〈V1＝＝＝。结合图知二面角G。EFD的大小为45°。(3)解 三棱锥DPAB的体积VD.PAB＝VP。DAB＝S△ABD·PD＝××2×2×2＝。审题示例(六） 破解与球有关几何体的计算问题 个人收集整理勿做商业用途A。π＋B。＋C。＋D。＋图1解析 如图1所示，S△ABC＝AB×AC＝×1×1＝,VP.ABC＝×S△ABC×AP＝××1＝，又Rt△ABC是半球底面的内接三角形，∴球的直径2r＝BC＝，∴r＝，∴V半球＝×πr3＝××3＝.故所求几何体的体积V＝VP—ABC＋V半球＝＋π.答案 C方法点评 解此类问题抓好两个方面:一是根据三视图正确判断几何体的结构特征，尤其是组合体中各个简单几何体之间的关系；二是根据三视图中的数据准确地确定几何体的几何度量．［针对训练］(2013·新课标全国Ⅰ卷)如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8cm,将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6cm， 个人收集整理勿做商业用途如果不计容器的厚度，则球的体积为(  )．A。cm3B.cm3C。cm3D.cm3解析 作出该球的轴截面，如图所示，依题意BE＝2，AE＝CE＝4，设DE＝x,故AD＝2＋x,因为AD2＝AE2＋DE2，解得x＝3,故该球的半径AD＝5，所以V＝πR3＝。答案 A训练11 三视图及空间几何体的计算（建议用时:50分钟）1．(2013·东北三校第三次模拟）如图，多面体ABCD。EFG的底面ABCD为正方形，FC＝GD＝2EA，其俯视图如下，则其正视图和侧视图正确的是（  ）．解析 注意BE，BG在平面CDGF上的投影为实线，且由已知长度关系确定投影位置，排除A，C选项，观察B,D选项,侧视图是指光线， 个人收集整理勿做商业用途从几何体的左面向右面正投影，则BG，BF的投影为虚线,故选D。答案 D2．如图，在矩形ABCD中,AB＝2，BC＝3，沿BD将矩形ABCD折叠，连接AC，所得三棱锥A.BCD正视图和俯视图如图,则三棱锥A。BCD侧视图的面积为（  ）．A。B.C.D。解析 由正视图及俯视图可得，在三棱锥A。BCD中，平面ABD⊥平面BCD，该几何体的侧视图是腰长为＝的等腰直角三角形，其面积为×2＝.答案 B3．(2013·重庆卷)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为(  )．A.B。C．200D．240解析 由三视图还原的几何体为两底面为等腰梯形的直棱柱,梯形的面积为(2＋8）×4＝20，所以棱柱的体积为20×10＝200.答案 C4．（2013·广东卷）某四棱台的三视图如图所示，则该四棱台的体积是（  ）． 个人收集整理勿做商业用途A．4B.C。D．6解析 由四棱台的三视图可知该四棱台的上底面是边长为1的正方形,下底面是边长为2的正方形，高为2。由棱台的体积公式可知该四棱台的体积V＝(12＋＋22）×2＝，故选B。答案 B5．在具有如图所示的正视图和俯视图的几何体中，体积最大的几何体的表面积为(  )．A．13B．7＋3C.πD．14解析 由正视图和俯视图可知，该几何体可能是四棱柱或者是水平放置的三棱柱，或水平放置的圆柱．由图象可知四棱柱的体积最大．四棱柱的高为1，底面边长分别为1，3，所以表面积为2（1×3＋1×1＋3×1）＝14。答案 D6．(2013·江苏卷）如图，在三棱柱A1B1C1。ABC中，D,E,F分别是AB，AC，AA1 个人收集整理勿做商业用途的中点，设三棱锥F。ADE的体积为V1，三棱柱A1B1C1。ABC的体积为V2，则V1∶V2＝________.解析 设三棱柱A1B1C1—ABC的高为h，底面三角形ABC的面积为S，则V1＝×S·h＝Sh＝V2，即V1∶V2＝1∶24。答案 1∶247．一个半径为2的球体经过切割后，剩余部分几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为________．解析 该几何体是从一个球体中挖去个球体后剩余的部分，所以该几何体的表面积为×(4π×22)＋2×＝16π。答案 16π8．已知三棱锥S.ABC的所有顶点都在球O的球面上,△ABC是边长为1的正三角形，SC为球O的直径，且SC＝2，则此三棱锥的体积为________．解析 在Rt△ASC中，AC＝1,∠SAC＝90°，SC＝2，所以SA＝＝。同理，SB＝。过A点作SC的垂线交SC于D点,连接DB，因为△SAC≌△SBC，故BD⊥SC,AD＝BD,故SC⊥平面ABD，且△ABD为等腰三角形．因为∠ASC＝30°，故AD＝SA＝,则△ABD的面积为×1×＝，则三棱锥S—ABC的体积为××2＝。答案 9．已知某几何体的俯视图是如图所示的矩形，正视图是一个底边长为8、高为4的等腰三角形，侧视图是一个底边长为6、高为4的等腰三角形．(1)求该几何体的体积V； 个人收集整理勿做商业用途(2)求该几何体的侧面积S。解 由已知可得,该几何体是一个底面为矩形，高为4，顶点在底面的射影是矩形中心的四棱锥E。ABCD.（1）V＝×(8×6)×4＝64。(2)四棱锥EABCD的两个侧面EAD，EBC是全等的等腰三角形，且BC边上的高h1＝＝4；另两个侧面EAB,ECD也是全等的等腰三角形，AB边上的高h2＝＝5.因此S＝2×＝40＋24。10．如图，四边形ABCD是边长为2的正方形，直线l与平面ABCD平行,E和F是l上的两个不同点,且EA＝ED,FB＝FC。E′和F′是平面ABCD内的两点,EE′和FF′都与平面ABCD垂直．（1）证明：直线E′F′垂直且平分线段AD；(2）若∠EAD＝∠EAB＝60°,EF＝2.求多面体ABCDEF的体积．(1)证明 ∵EA＝ED且EE′⊥平面ABCD，∴E′D＝E′A,∴点E′在线段AD的垂直平分线上．同理，点F′在线段BC的垂直平分线上．又四边形ABCD是正方形，∴线段BC的垂直平分线也就是线段AD的垂直平分线，即点E′、F′都在线段AD的垂直平分线上．∴直线E′F′垂直且平分线段AD。（2)解 如图，连接EB、EC,由题意知多面体ABCDEF可分割成正四棱锥E。ABCD和正四面体E。BCF两部分．设AD的中点为M，在Rt△MEE′中，由于ME′＝1，ME＝，∴EE′＝。∴VE.ABCD＝·S正方形ABCD·EE′＝×22×＝. 个人收集整理勿做商业用途又VE。BCF＝VC。BEF＝VC。BEA＝VEABC＝S△ABC·EE′＝××22×＝，∴多面体ABCDEF的体积为VE。ABCD＋VEBCF＝2。11．(2013·西工大附中模拟）已知四棱锥P。ABCD的底面ABCD是边长为2的正方形，PD⊥底面ABCD，E，F分别为棱BC，AD的中点．(1)求证：DE∥平面PFB；(2）已知二面角PBF。C的余弦值为,求四棱锥P。ABCD的体积．（1）证明 因为E，F分别为正方形ABCD的两边BC，AD的中点，所以BE綉FD，即BEDF为平行四边形，∴ED∥FB，∵FB⊂平面PFB，且ED⊄平面PFB，∴DE∥平面PFB.（2）解 以D为原点,直线DA，DC，DP分别为x,y，z轴建立空间直角坐标系．如图，设PD＝a,可得如下点的坐标P(0,0，a)，F（1，0,0)，B(2，2,0)．则有＝(1,0，－a），＝（1,2，0）．因为PD⊥底面ABCD,所以平面ABCD的一个法向量为m＝（0，0，1）．设平面PFB的法向量为n＝（x，y,z）,则可得即令x＝1,得z＝，y＝－, 个人收集整理勿做商业用途所以n＝。由已知二面角P-BF—C的余弦值为,所以得cos〈m，n〉＝＝，∴a＝2，∴VP－ABCD＝×2×2×2＝.