8-1空间几何体的结构、三视图和直观图

§8.1空间几何体的结构、三视图和直观图1．简单几何体(1)简单旋转体的结构特征：①圆柱可以由_____绕其任一边旋转得到；②圆锥可以由直角三角形绕其________旋转得到；矩形直角边 ③圆台可以由直角梯形绕________或等腰梯形绕__________________旋转得到，也可由________________的平面截圆锥得到；④球可以由半圆或圆绕_____旋转得到．(2)简单多面体的结构特征：①棱柱的侧棱都___________，上下底面是_______的多边形；②棱锥的底面是任意多边形，侧面是有一个_______的三角形；直角腰上下底中点连线平行于圆锥底面直径平行且相等全等公共点 ③棱台可由_________________的平面截棱锥得到，其上下底面是_____多边形.2．直观图(1)画法：常用____________．(2)规则：①原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直，直观图中，x′轴、y′轴的夹角为45°(或135°)，z′轴与x′轴和y′轴所在平面____．平行于棱锥底面相似斜二测画法垂直 ②原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍_______________．平行于x轴和z轴的线段在直观图中保持原长度____，平行于y轴的线段长度在直观图中________________.3．三视图(1)几何体的三视图包括正视图、侧视图、俯视图，分别是从几何体的_____方、_____方、_____方观察几何体画出的轮廓线．说明：正视图也称主视图，侧视图也称左视图．平行于坐标轴不变变为原来的一半正前正左正上 (2)三视图的画法①基本要求：_______，_______，_______．②画法规则：_____一样高，_____一样长，_____一样宽；看不到的线画线.长对正高平齐宽相等正侧正俯侧俯虚 【知识拓展】1．常见旋转体的三视图(1)球的三视图都是半径相等的圆．(2)水平放置的圆锥的正视图和侧视图均为全等的等腰三角形．(3)水平放置的圆台的正视图和侧视图均为全等的等腰梯形．(4)水平放置的圆柱的正视图和侧视图均为全等的矩形. 【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱．()(2)有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥．() (3)用斜二测画法画水平放置的∠A时，若∠A的两边分别平行于x轴和y轴，且∠A＝90°，则在直观图中，∠A＝45°.()(4)正方体、球、圆锥各自的三视图中，三视图均相同．()【答案】(1)×(2)×(3)×(4)× 1．(教材改编)下列说法正确的是()A．相等的角在直观图中仍然相等B．相等的线段在直观图中仍然相等C．正方形的直观图是正方形D．若两条线段平行，则在直观图中对应的两条线段仍然平行【解析】由直观图的画法规则知，角度、长度都有可能改变，而线段的平行性不变．【答案】D 2．以下关于几何体的三视图的论述中，正确的是()A．球的三视图总是三个全等的圆B．正方体的三视图总是三个全等的正方形C．水平放置的正四面体的三视图都是正三角形D．水平放置的圆台的俯视图是一个圆【解析】几何体的三视图要考虑视角，只有球无论选择怎样的视角，其三视图总是三个全等的圆．故选A.【答案】A 3．(2019·北京高考)某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为()A．60B．30C．20D．10 4．用一张4cm×8cm的矩形硬纸卷成圆柱的侧面，则圆柱轴截面的面积为________cm2(接头忽略不计)． 题型一 空间几何体的结构特征【例1】(1)给出下列命题：①在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线；②直角三角形绕其任一边所在直线旋转一周所形成的几何体都是圆锥；③棱台的上、下底面可以不相似，但侧棱长一定相等．其中正确命题的个数是()A．0B．1C．2D．3 (2)以下命题：①以直角梯形的一腰所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆台；②圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆面；③一个平面截圆锥，得到一个圆锥和一个圆台．其中正确命题的个数为()A．0B．1C．2D．3 【解析】(1)①不一定，只有当这两点的连线平行于轴时才是母线；②不一定，当以斜边所在直线为旋转轴时，其余两边旋转形成的面所围成的几何体不是圆锥，如图所示，它是由两个同底圆锥组成的几何体；③错误，棱台的上、下底面相似且是对应边平行的多边形，各侧棱延长线交于一点，但是侧棱长不一定相等． (2)由圆台的定义可知①错误，②正确．对于命题③，只有平行于圆锥底面的平面截圆锥，才能得到一个圆锥和一个圆台，③不正确．【答案】(1)A(2)B 【思维升华】(1)解决本类题目的关键是准确理解几何体的定义，真正把握几何体的结构特征，可以根据条件构建几何模型，在几何模型中进行判断；(2)解决本类题目的技巧：三棱柱、四棱柱、三棱锥、四棱锥是常用的几何模型，有些问题可以利用它们举特例解决或者学会利用反例对概念类的命题进行辨析． 跟踪训练1下列结论正确的是()A．各个面都是三角形的几何体是三棱锥B．夹在圆柱的两个平行截面间的几何体还是一个旋转体C．棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则此棱锥可能是六棱锥D．圆锥的顶点与底面圆周上任意一点的连线都是母线 【解析】如图1知，A不正确．如图2，两个平行平面与底面不平行时，截得的几何体不是旋转体，则B不正确．若六棱锥的所有棱长都相等，则底面多边形是正六边形．由几何图形知，若以正六边形为底面，侧棱长必然要大于底面边长，C错误．由母线的概念知，选项D正确．【答案】D 题型二 简单几何体的三视图角度一 已知几何体，识别三视图【例2】沿一个正方体三个面的对角线截得的几何体如图所示，则该几何体的侧视图为() 【解析】由已知中几何体的直观图，我们可得侧视图首先应该是一个正方形，故D不正确；中间的棱在侧视图中表现为一条对角线，故C不正确；而对角线的方向应该从左上到右下，故A不正确．【答案】B 角度二 已知三视图，判断几何体的形状【例3】(2019·全国Ⅱ卷)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为() A．90πB．63πC．42πD．36π 【解析】方法一(割补法)由几何体的三视图可知，该几何体是一个圆柱截去上面虚线部分所得，如图所示． 角度三 已知三视图中的两个视图，判断第三个视图【例4】(2018·石家庄质检)一个三棱锥的正视图和俯视图如图所示，则该棱锥的侧视图可能为() 【思维升华】三视图问题的常见类型及解题策略(1)由几何体的直观图求三视图．注意正视图、侧视图和俯视图的观察方向，注意看到的部分用实线表示，不能看到的部分用虚线表示．(2)由几何体的部分视图画出剩余的部分视图．先根据已知的一部分三视图，还原、推测直观图的可能形式，然后再找其剩下部分三视图的可能形式．当然作为选择题，也可将选项逐项代入，再看看给出的部分三视图是否符合． (3)由几何体的三视图还原几何体的形状．要熟悉柱、锥、台、球的三视图，明确三视图的形成原理，结合空间想象将三视图还原为实物图． 题型三 空间几何体的直观图【例5】有一块多边形的菜地，它的水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形(如图所示)，∠ABC＝45°，AB＝AD＝1，DC⊥BC，则这块菜地的面积为________． 【思维升华】用斜二测画法画直观图的技巧在原图形中与x轴或y轴平行的线段在直观图中与x′轴或y′轴平行，原图中不与坐标轴平行的直线段可以先画出线段的端点再连线，原图中的曲线段可以通过取一些关键点，作出在直观图中的相应点后，用平滑的曲线连接而画出．