空间几何体的结构及其三视图和直观图

第八编立体几何§8.1空间几何体的结构及其三视图和直观图要点梳理1.多面体的结构特征(1)棱柱的上下底面，侧棱都且___，上底面和下底面是的多边形.(2)棱锥的底面是任意多边形，侧面是有一个的三角形.平行平行长度相等全等公共点基础知识自主学习 (3)棱台可由的平面截棱锥得到，其上下底面的两个多边形相似.2.旋转体的结构特征(1)圆柱可以由矩形绕其旋转得到.(2)圆锥可以由直角三角形绕其旋转得到.(3)圆台可以由直角梯形绕直角腰所在直线或等腰梯形绕上下底中点的连线旋转得到，也可由的平面截圆锥得到.(4)球可以由半圆或圆绕其旋转得到.平行于棱锥底面一边所在直线一条直角边所在直线平行于圆锥底面直径 3.空间几何体的三视图空间几何体的三视图是用正投影得到,这种投影下与投影面平行的平面图形留下的影子与平面图形的形状和大小是的,三视图包括、、.4.空间几何体的直观图画空间几何体的直观图常用画法，基本步骤是：(1)在已知图形中取互相垂直的x轴、y轴，两轴相交于点O,画直观图时,把它们画成对应的x′轴、y′轴,两轴相交于点O′,且使∠x′O′y′.完全相同斜二测=45°（或135°）主视图左视图俯视图 (2)已知图形中平行于x轴、y轴的线段，在直观图中平行于.(3)已知图形中平行于x轴的线段,在直观图中长度________，平行于y轴的线段，长度变为.(4)在已知图形中过O点作z轴垂直于xOy平面，在直观图中对应的z′轴也垂直于x′O′y′平面,已知图形中平行于z轴的线段，在直观图中仍平行于z′轴且长度.x′轴、y′轴原来的一半不变保持不变 5.中心投影与平行投影(1)平行投影的投影线互相平行，而中心投影的投影线相交于一点.(2)从投影的角度看，三视图和用斜二测画法画出的直观图都是在平行投影下画出来的图形. 基础自测1.一个棱柱是正四棱柱的条件是（）A.底面是正方形，有两个侧面是矩形B.底面是正方形，有两个侧面垂直于底面C.底面是菱形，具有一个顶点处的三条棱两两垂直D.每个侧面都是全等矩形的四棱柱解析根据正四棱柱的结构特征加以判断.C 2.用任意一个平面截一个几何体,各个截面都是圆，则这个几何体一定是（）A.圆柱B.圆锥C.球体D.圆柱、圆锥、球体的组合体解析当用过高线的平面截圆柱和圆锥时，截面分别为矩形和三角形，只有球满足任意截面都是圆面.C 3.如果圆锥的侧面展开图是半圆，那么这个圆锥的顶角(圆锥轴截面中两条母线的夹角)是()A.30°B.45°C.60°D.90°解析设母线为l,底面半径为r，则πl=2πr.∴母线与高的夹角为30°.∴圆锥的顶角为60°.C 4.三视图如下图的几何体是（）A.三棱锥B.四棱锥C.四棱台D.三棱台解析由三视图知该几何体为一四棱锥，其中有一侧棱垂直于底面,底面为一直角梯形.故选B.B 5.等腰梯形ABCD，上底CD=1，腰AD=CB=，下底AB=3，以下底所在直线为x轴，则由斜二测画法画出的直观图A′B′C′D′的面积为.解析 题型一几何体的结构、几何体的定义设有以下四个命题：①底面是平行四边形的四棱柱是平行六面体；②底面是矩形的平行六面体是长方体；③直四棱柱是直平行六面体；④棱台的相对侧棱延长后必交于一点.其中真命题的序号是.利用有关几何体的概念判断所给命题的真假.题型分类深度剖析 解析命题①符合平行六面体的定义,故命题①是正确的,底面是矩形的平行六面体的侧棱可能与底面不垂直,故命题②是错误的,因直四棱柱的底面不一定是平行四边形,故命题③是错误的,命题④由棱台的定义知是正确的.答案①④解决该类题目需准确理解几何体的定义，要真正把握几何体的结构特征，并且学会通过反例对概念进行辨析，即要说明一个命题是错误的，设法举出一个反例即可. 知能迁移1下列结论正确的是（）A.各个面都是三角形的几何体是三棱锥B.以三角形的一条边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫圆锥C.棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则此棱锥可能是六棱锥D.圆锥的顶点与底面圆周上的任意一点的连线都是母线解析A错误.如图所示，由两个结构相同的三棱锥叠放在一起构成的几何体,各面都是三角形，但它不一定是棱锥. B错误.如下图，若△ABC不是直角三角形或是直角三角形,但旋转轴不是直角边，所得的几何体都不是圆锥.C错误.若六棱锥的所有棱长都相等，则底面多边形是正六边形.由几何图形知，若以正六边形为底面，侧棱长必然要大于底面边长.D正确.答案D 题型二几何体的直观图一个平面四边形的斜二测画法的直观图是一个边长为a的正方形,则原平面四边形的面积等于()A.B.C.D.按照直观图的画法，建立适当的坐标系将正方形A′B′C′D′还原，并利用平面几何的知识求出相应的线段、角，求解时要注意线段和角的变化规律. 解析根据斜二测画法画平面图形的直观图的规则可知,在x轴上(或与x轴平行)的线段,其长度保持不变;在y轴上(或与y轴平行)的线段,其长度变为原来的一半,且∠x′O′y′=45°(或135°),所以,若设原平面图形的面积为S,则其直观图的面积为可以得出一个平面图形的面积S与它的直观图的面积S′之间的关系是S′=本题中直观图的面积为a2，所以原平面四边形的面积答案B 对于直观图,除了解斜二测画法的规则外,还要了解原图形面积S与其直观图面积S′之间的关系S′=能进行相关问题的计算.知能迁移2如图所示，直观图四边形A′B′C′D′是一个底角为45°，腰和上底均为1的等腰梯形，那么原平面图形的面积是. 解析把直观图还原为平面图形得：直角梯形ABCD中，AB=2，BC=1+，AD=1，答案 题型三几何体的三视图(2009·山东)一空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A.B.C.D. 由几何体的三视图，画出几何体的直观图，然后利用体积公式求解.解析该空间几何体为一圆柱和一四棱锥组成，圆柱的底面半径为1，高为2，体积为2π，四棱锥的底面边长为，高为，所以体积为所以该几何体的体积为答案C通过三视图间接给出几何体的形状,打破以往直接给出几何体并给出相关数据进行相关运算的传统模式,使三视图与传统意义上的几何体有机结合,这也体现了新课标的思想. 知能迁移3一个几何体的三视图如图所示，其中正视图与侧视图都是边长为2的正三角形，则这个几何体的侧面积为（）A.B.C.D.解析由三视图知，该几何体为一圆锥，其中底面直径为2，母线长为2，S侧=πrl=π×1×2=2π.B 题型四多面体与球（12分）棱长为2的正四面体的四个顶点都在同一个球面上，若过该球球心的一个截面如图所示，求图中三角形（正四面体的截面）的面积.截面过正四面体的两顶点及球心，则必过对边的中点. 解如图所示，△ABE为题中的三角形，4分8分解题示范 解决这类问题的关键是准确分析出组合体的结构特征,发挥自己的空间想象能力,把立体图和截面图对照分析,有机结合,找出几何体中的数量关系,为了增加图形的直观性,常常画一个截面圆作为衬托.12分 知能迁移4在一个倒置的正三棱锥容器内,放入一个钢球,钢球恰好与棱锥的四个面都接触,经过棱锥的一条侧棱和高作截面,正确的截面图形是()解析正三棱锥的内切球心在高线上,与侧面有公共点,与棱无公共点.B 方法与技巧1.棱柱主要是理解、掌握基本概念和性质，并能灵活应用.2.正棱锥问题常归结到它的高、侧棱、斜高、底面正多边形、内切圆半径、外接圆半径、底面边长的一半构成的直角三角形中解决.3.圆柱、圆锥、圆台、球应抓住它们是旋转体这一特点，弄清旋转轴、旋转面、轴截面.思想方法感悟提高 失误与防范1.台体可以看成是由锥体截得的，但一定强调截面与底面平行.2.掌握三视图的概念及画法在绘制三视图时,若相邻两物体的表面相交,表面的交线是它们的分界线.在三视图中，分界线和可见轮廓线都用实线画出，被挡住的轮廓线画成虚线.并做到“主俯视图长对正，主左视图高平齐，俯左视图宽相等”. 3.掌握直观图的概念及斜二测画法在斜二测画法中，要确定关键点及关键线段.“平行于x轴的线段平行性不变，长度不变；平行于y轴的线段平行性不变，长度减半.”4.能够由空间几何体的三视图得到它的直观图；也能够由空间几何体的直观图得到它的三视图.提升空间想象能力. 一、选择题1.如图是由哪个平面图形旋转得到的（）解析几何体的上部为圆锥，下部为圆台，只有A可以旋转得到，B得到两个圆锥，C得到一圆柱和一圆锥，D得到两个圆锥和一个圆柱.A定时检测 2.下列命题中，成立的是（）A.各个面都是三角形的多面体一定是棱锥B.四面体一定是三棱锥C.棱锥的侧面是全等的等腰三角形，该棱锥一定是正棱锥D.底面多边形既有外接圆又有内切圆，且侧棱相等的棱锥一定是正棱锥解析A是错误的，只要将底面全等的两个棱锥的底面重合在一起，所得多面体的每个面都是三角形，但这个多面体不是棱锥； B是正确的，三个面共顶点，另有三边围成三角形是四面体也必定是个三棱锥；C是错误的，如图所示，棱锥的侧面是全等的等腰三角形，但该棱锥不是正三棱锥；D也是错误的，底面多边形既有内切圆又有外接圆，如果不同心，则不是正多边形，因此不是正棱锥.答案B 3.下列几何体各自的三视图中，有且仅有两个视图相同的是（）A.①②B.①③C.①④D.②④解析在各自的三视图中①正方体的三个视图都相同；②圆锥的两个视图相同；③三棱台的三个视图都不同；④正四棱锥的两个视图相同，故选D.D 4.将正三棱柱截去三个角（如图1所示），A，B，C分别是△GHI三边的中点得到几何体如图2，则该几何体按图2所示方向的左视图（或称侧视图）为（） 解析当三棱锥没有截去三个角时的侧视图如图（1）所示，由此可知截去三个角后的左视图如图（2）所示.答案A 5.已知△ABC的直观图是边长为a的等边△A1B1C1(如图)，那么原三角形的面积为（）A.B.C.D. 解析在原图与直观图中有OB=O1B1，BC=B1C1.在直观图中，过A1作A1D1⊥B1C1，因为△A1B1C1是等边三角形，所以A1D1=在Rt△A1O1D1中，∵∠A1O1D1=45°，∴O1A1=根据直观图画法规则知：∴△ABC的面积为答案C 6.棱长为1的正方体ABCD—A1B1C1D1的8个顶点都在球O的表面上,E、F分别是棱AA1、DD1的中点，则直线EF被球O截得的线段长为（）A.B.1C.D.解析由题知球O半径为，球心O到直线EF的距离为，由垂径定理可知直线EF被球O截得的线段长D 二、填空题7.用任一个平面去截正方体，下列平面图形可能是截面的是.①正方形；②长方形；③等边三角形；④直角三角形；⑤菱形；⑥六边形.解析如图所示正方体ABCD—A1B1C1D1中，平行于ABCD的截面为正方形，截面AA1C1C为长方形，截面AB1D1为等边三角形,取BB1、DD1的中点E、F，则截面AEC1F为菱形，取B1C1、D1C1、AB、AD的中点M、N、P、Q，过这四点的截面为六边形，截面不可能为直角三角形.①②③⑤⑥ 8.下列命题中：①用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面和截面之间的部分叫棱台；②棱台的各侧棱延长后一定相交于一点；③圆台可以看做直角梯形以其垂直于底边的腰所在直线为旋转轴，其余三边旋转形成的曲面围成的几何体；④半圆绕其直径所在直线旋转一周形成球.其中所有正确命题的序号是.解析①符合棱台的定义；②棱台是由棱锥被平行于底面的平面所截而得，各侧棱延长后一定相交于一点；③是圆台的另一种定义形式；④中形成的是球面而不是球.①②③ 9.如图是一个几何体的三视图.若它的体积是3，则a=.解析由三视图可知，此几何体为直三棱柱，其底面为一边长为2，高为a的等腰三角形.由棱柱的体积公式得 三、解答题10.一个正方体内接于高为40cm，底面半径为30cm的圆锥中，求正方体的棱长.解如图所示，过正方体的体对角线作圆锥的轴截面，设正方体的棱长为x，则 11.正四棱锥的高为，侧棱长为，求侧面上斜高（棱锥侧面三角形的高）为多少？解如图所示，正四棱锥S-ABCD中高OS=，侧棱SA=SB=SC=SD=，在Rt△SOA中，OA=∴AC=4.∴AB=BC=CD=DA=2.作OE⊥AB于E，则E为AB中点.连接SE，则SE即为斜高，则SO⊥OE.在Rt△SOE中，∴SE=，即侧面上的斜高为. 12.已知正三棱锥V—ABC的主视图、左视图和俯视图如图所示.（1）画出该三棱锥的直观图;（2）求出侧视图的面积. 解（1）如图所示.（2）根据三视图间的关系可得BC=返回