空间几何体的结构及其三视图和直观图

第一节空间几何体的结构及其三视图和直观图 三年25考高考指数:★★★★1.认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征，并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构；2.能画出简单空间图形（长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等的简易组合）的三视图，能识别上述三视图所表示的立体模型，会用斜二测画法画出它们的直观图； 3.会用平行投影与中心投影两种方法画出简单空间图形的三视图与直观图，了解空间图形的不同表示形式；4.会画某些建筑物的三视图与直观图（在不影响图形特征的基础上，尺寸、线条等没有严格要求）. 1.三视图是新课标的新增内容，是高考的热点和重点，几乎年年考，主要考查简单几何体的三视图，同时考查空间想象能力和对空间几何体的认识；2.柱、锥、台、球及简单组合体的结构特征及性质是本节内容的重点，也是难点；3.对本节内容的考查常以选择题、填空题的形式出现，常将三视图、直观图同几何体的表面积和体积综合在一起考查，难度不大，属低中档题. 1.空间几何体的结构特征多面体棱柱棱柱的侧棱都_____且_____，上下底面是____且____的多边形.棱锥棱锥的底面是任意多边形，侧面是有一个_________的三角形.棱台棱台可由______________的平面截棱锥得到，其上下底面是____且____的多边形.旋转体圆柱圆柱可由_____绕其任意一边旋转得到.圆锥圆锥可以由直角三角形绕其______旋转得到.圆台圆台可以由直角梯形绕直角腰或等腰梯形绕上下底中点连线旋转得到，也可由_____于圆锥底面的平面截圆锥得到.球球可以由半圆或圆绕_____旋转得到.平行相等平行全等公共顶点平行于棱锥底面平行相似矩形直角边平行直径 【即时应用】(1)思考：有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱吗？提示：不一定.尽管几何体满足了两个面平行且其他各面都是平行四边形，但不能保证每相邻两个侧面的公共边互相平行. (2)对于下图所给出的四个几何体，判断下列说法是否正确.(在括号内填“√”或“×”) ①图A中的几何体是棱柱()②图B中的几何体是棱柱()③图C中的几何体是圆台()④图D中的几何体是棱锥()【解析】根据各几何体的结构特征进行判断可得①④正确，②③错误.答案：①√②×③×④√ (3)如果圆锥的侧面展开图是半圆，那么这个圆锥的顶角(圆锥轴截面中两条母线的夹角)的度数是___________.【解析】设圆锥的底面圆半径为r，母线长为l.由侧面展开图为半圆，得2πr=πl，∴l=2r.∴圆锥的轴截面中两条母线与底面圆直径构成的三角形为等边三角形.∴顶角为60°.答案：60° 2.三视图名称几何体的三视图有:_______、________、______画法1.画三视图时，重叠的线只画一条，挡住的线要画成虚线.2.三视图的正视图、侧视图、俯视图分别是从几何体的_____方、_____方、_____方观察几何体得到的正投影图.规则1.画法规则：长对正、高平齐、宽相等.2.摆放规则：侧视图在正视图的___侧，俯视图在正视图的___方.正视图侧视图俯视图正前正左正上右下 【即时应用】(1)思考：如何画简单组合体的三视图?提示：先分清该组合体是由哪些简单几何体组成的，然后画出其三视图. (2)一个几何体的正视图为一个三角形，则这个几何体可能是下列几何体中的_________(填入所有可能的几何体的编号).①三棱锥；②四棱锥；③三棱柱；④四棱柱；⑤圆锥；⑥圆柱【解析】逐一将这些几何体看正视图可知四棱柱和圆柱的正视图不可能是三角形.答案：①②③⑤ 3.直观图与投影直观图空间几何体的直观图常用_______画法来画，其规则是：(1)原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直，直观图中,x′轴、y′轴的夹角为______________，z′轴与x′轴和y′轴所在平面______.(2)原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中________________，平行于x轴和z轴的线段长度在直观图中_________，平行于y轴的线段长度在直观图中___________________.投影1.平行投影：平行投影的投影线______，2.中心投影：中心投影的投影线_____________斜二测45°(或135°)垂直仍平行于坐标轴长度不变长度为原来的一半平行相交于一点 【即时应用】(1)思考：空间几何体的三视图和直观图在观察角度和投影效果上有什么区别？提示：从观察角度看，三视图是从三个不同的位置观察几何体而画出的图形；直观图是从某一点观察几何体而画出的图形.从效果看，三视图是正投影下的平面图形；直观图是在平行投影下画出的空间图形. (2)判断下列说法是否正确(请在括号中填写“√”或“×”)①相等的角，在直观图中仍相等()②长度相等的线段，在直观图中长度仍相等()③若两条线段垂直，则在直观图中对应的线段也垂直()④若两条线段平行，则在直观图中对应的线段也平行()【解析】以正方体与其直观图为例，可说明①、②、③不成立.由直观图画法知④成立.答案：①×②×③×④√ 空间几何体的结构特征【方法点睛】解决与空间几何体结构特征有关问题的技巧(1)要想真正把握几何体的结构特征，必须多角度、全面地去分析，多观察实物，提高空间想象能力. (2)紧扣结构特征是判断的关键，熟悉空间几何体的结构特征，依据条件构建几何模型，在条件不变的情况下，变换模型中的线面关系或增加线、面等基本元素，然后再依据题意判定.(3)通过反例对结构特征进行辨析，即要说明一个命题是错误的，只要举出一个反例即可. 【例1】下列结论中正确的是()(A)各个面都是三角形的几何体是三棱锥(B)以三角形的一条边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫圆锥(C)棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则该棱锥可能是六棱锥(D)圆锥的顶点与底面圆周上的任一点的连线都是母线【解题指南】根据常见几何体的结构特征，借助于常见的几何模型进行判断. 【规范解答】选D.当一个几何体由具有相同的底面且顶点在底面两侧的两个三棱锥构成时，尽管各面都是三角形，但它不是三棱锥，故A错误；若三角形不是直角三角形或是直角三角形但旋转轴不是直角边所在直线，所得几何体就不是圆锥，B错误；若六棱锥的所有棱都相等，则底面多边形是正六边形，由几何图形知，若以正六边形为底面，则棱长必然要大于底面边长，故C错误. 【反思·感悟】要明确柱体、锥体、台体和球的结构特征，认识和把握几何体的结构特征是认识空间几何体的基础和关键；对于几何体的结构特征要从其反映的几何体的本质去把握，有利于从中找到解题的突破点. 【变式训练】下列命题中，正确的是()(A)有两个侧面是矩形的棱柱是直棱柱(B)侧面都是等腰三角形的棱锥是正棱锥(C)侧面都是矩形的四棱柱是长方体(D)底面为正多边形，且有相邻两个侧面与底面垂直的棱柱是正棱柱 【解析】选D.认识棱柱一般要从侧棱与底面的垂直与否和底面多边形的形状两方面去分析，故A,C都不够准确，B中对等腰三角形的腰是否为侧棱未作说明，故也不正确. 【变式备选】有下列四种说法：①圆柱是将矩形旋转一周所得的几何体；②以直角三角形的一直角边为旋转轴，旋转所得几何体是圆锥；③圆台的任意两条母线的延长线，可能相交也可能不相交；④圆锥的底面是圆面，侧面是个曲面.其中错误的有()(A)1个(B)2个(C)3个(D)4个 【解析】选C.圆柱是矩形绕其一条边所在直线为轴旋转形成的几何体，故①错；以直角三角形的一条直角边所在直线为轴，旋转一周，才能构成圆锥，②错；圆台是由圆锥截得，故其任意两条母线延长后一定交于一点，③错；④是圆锥的性质，故④正确. 空间几何体的三视图【方法点睛】1.三视图的特点俯视图在正视图的下方，且长度相等，侧视图在正视图的正右方，且高度相等；侧视图与俯视图的宽度相等. 2.三视图的常见题型及求解策略(1)由实物图画三视图或判断选择三视图，此时需要注意“长对正、高平齐、宽相等”的原则；(2)由三视图还原实物图，这一题型综合性较强，解题时首先对柱、锥、台、球的三视图要熟悉，再复杂的几何体也是由这些简单的几何体组合而成的；其次，要明确三视图的形成原理，并能结合空间想象将三视图还原为实物图. 【提醒】1.画三视图时，分界线和可见轮廓线都用实线画出，被遮挡住的部分的轮廓线用虚线表示.2.严格按排列规律放置三视图，并标出长、宽、高的关系，对准确把握几何体很有利. 【例2】(1)如图的三个图中，上面是一个长方体截去一个角后所得多面体的直观图，它的正视图和侧视图在下面画出(单位：cm).在正视图下面的矩形框内，按照画三视图的要求画出该多面体的俯视图. (2)(2012·日照模拟)一个长方体去掉一个小长方体，所得几何体的正视图与侧视图分别如图所示，则该几何体的俯视图为() 【解题指南】(1)根据三视图之间的关系画出俯视图即可；(2)先由部分三视图判断出几何体的形状，然后再确定俯视图. 【规范解答】(1)如图所示：[来源:Z.Com] (2)选C.由正视图和侧视图知，该长方体上面去掉的小长方体，从正前方看在观察者左侧，从左侧看在观察者右侧，故俯视图为C. 【互动探究】把本例(1)中的几何体上下颠倒后如图，试画出它的三视图. 【解析】三视图： 【反思·感悟】画几何体的三视图可以想象自己站在几何体的正前方、正左方和正上方，观察它是由哪些基本几何体组成，它的轮廓线是什么，然后再去画图. 【变式训练】已知某一几何体的正视图与侧视图如图，则在下列图形中，可以是该几何体的俯视图的图形有() (A)①②③⑤(B)②③④⑤(C)①③④⑤(D)①②③④ 【解析】选D.底下一层为正四棱柱，上面两层为圆柱时为①；底下一层为圆柱、上两层为正四棱柱时为②；最上一层为圆柱、下两层为正四棱柱时为③；底层为正四棱柱，中间为圆柱、上层为直三棱柱时为④，故选D. 空间几何体的直观图【方法点睛】用斜二测画法画几何体直观图的关键点要注意原图形与直观图之间的“三变、三不变”：坐标轴的夹角改变，“三变”与y轴平行的线段的长度变为原来的一半，图形改变. 平行性不改变，“三不变”与x、z轴平行的线段的长度不改变，相对位置不改变. 【例3】(1)如图是一个几何体的三视图，用斜二测画法画出它的直观图. (2)如图所示，△A′B′C′是△ABC的直观图，且△A′B′C′是边长为a的正三角形,求△ABC的面积. 【解题指南】(1)先由三视图确定几何体的结构，然后画出直观图.(2)根据斜二测画法规则建立适当的坐标系，将△A′B′C′还原，并利用平面几何的知识求出相应的线段、角.求解时要注意线段和角的变化规律. 【规范解答】(1)该几何体类似棱台，先画底面矩形，中心轴，然后画上底面矩形，连线即成.画法：如图，先画轴，依次画x′、y′、z′轴，三轴相交于点O′，使∠x′O′y′=45°，∠x′O′z′=90°.在z′轴上取O′O″=8cm,再画x″、y″轴.在坐标系x′O′y′中作直观图ABCD，使得AD=20cm，AB=8cm；在坐标系x″O″y″中作直观图A1B1C1D1，使得A1D1=12cm，A1B1=4cm. 连接AA1、BB1、CC1、DD1，即得到所求直观图.A1B1C1D1ABCDO'O''z'y'x''x'y'' (2)如图所示，△A′B′C′是边长为a的正三角形，作C′D′∥A′B′交y′轴于点D′，则C′、D′到x′轴的距离为，∵∠D′A′B′=45°，∴A′D′=， 由斜二测画法的法则知，在△ABC中，AB=A′B′=a，AB边上的高是A′D′的二倍，即为，∴S△ABC= 【互动探究】本例(2)若改为“已知△ABC是边长为a的等边三角形，求其直观图△A′B′C′的面积”,则如何求解?【解析】如图所示,设△A′B′C′为△ABC的直观图,O′为A′B′的中点.由直观图的画法知A′B′=a,∴S△A′B′C′=即边长为a的等边三角形的直观图的面积为 【反思·感悟】直观图的斜二测画法的关键之处在于将图中的关键点转化为坐标系中的水平方向与垂直方向的坐标长度，然后运用“水平长不变，垂直长减半”的方法确定出点，最后连线即得直观图.注意被遮挡的部分画成虚线. 【变式备选】如图所示，梯形A1B1C1D1是一平面图形ABCD的直观图.若A1D1∥O1y，A1B1∥C1D1，A1B1=C1D1=2，A1D1=O1D1=1.请画出原来的平面几何图形的形状，并求原图形的面积. 【解析】如图，建立直角坐标系xOy，在x轴上截取OD=O1D1=1；OC=O1C1=2.在过点D的y轴的平行线上截取DA=2D1A1=2.在过点A的x轴的平行线上截取AB=A1B1=2.连接BC，即得到了原图形.由作法可知，原四边形ABCD是直角梯形，上、下底长度分别为AB=2,CD=3，直角腰长度为AD=2，所以面积为ABCDOxy 【易错误区】解答三视图问题的易错点【典例】(2011·新课标全国卷)在一个几何体的三视图中，正视图和俯视图如图所示，则相应的侧视图可以为() 【解题指南】先根据正视图和俯视图得到几何体的形状，然后再得到该几何体的侧视图.【规范解答】选D.由正视图和俯视图可以推测几何体为半圆锥和三棱锥的组合体(如图所示)，且顶点在底面的射影恰是底面半圆的圆心，可知侧视图为等腰三角形，且轮廓线为实线，故选D. 【阅卷人点拨】通过高考中的阅卷数据分析与总结，我们可以得到以下误区警示和备考建议：误区警示在解答本题时常出现以下错误：(1)根据正视图和俯视图确定原几何体的形状时出现错误，误把半圆锥看成半圆柱,不能准确判断出几何体的形状而误选A.(2)对实线与虚线的画法规则不明确而误选C. 备考建议解决三视图与几何体间的转化问题时，还有以下几点在备考时要高度关注：(1)画三视图时对个别的视图表达不准确，不能正确地画出所要求的视图；(2)对三视图中实虚线的含义不明确或画三视图时不能用虚线表示看不到的轮廓线.在复习时要明确三个视图各自的含义，还原空间几何体实际形状时一般是以正视图和俯视图为主，结合侧视图进行综合考查. 1.(2011·浙江高考)若某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的直观图可以是() 【解析】选B.A中正、俯视图不相符；B中三视图都相符；C中正、俯视图不相符；D中侧视图不相符.故选B. 2.(2011·山东高考)如图是长和宽分别相等的两个矩形.给定下列三个命题：①存在三棱柱，其正(主)视图、俯视图如图；②存在四棱柱，其正(主)视图、俯视图如图；③存在圆柱，其正(主)视图、俯视图如图.其中真命题的个数是()(A)3(B)2(C)1(D)0 【解析】选A.只需①底面是等腰直角三角形的直三棱柱，让其直角三角形直角边对应的一个侧面平卧；②正四棱柱平躺；③圆柱平躺即可使得三个命题为真. 3.(2012·焦作模拟)已知正三棱柱的侧棱长与底面边长都是2，以下给出a,b,c,d四种不同的三视图，其中可以正确表示这个正三棱柱的三视图的个数有() (A)1个(B)2个(C)3个(D)4个【解析】选D.把三视图还原成几何体，a、b、c、d都是表示该正三棱柱的三视图. 4.(2012·长沙模拟)如图，一平面图形的直观图是一个等腰梯形OABC，且该梯形的面积为，则原图形的面积为()(A)2(B)(C)2(D)4【解析】选D.由斜二测画法知原图形仍为梯形，上、下两底长度不变，高为直观图中梯形高的倍，故原图形的面积为