第1讲　空间几何体的结构、三视图和直观图

 第1讲空间几何体的结构、三视图和直观图1．多面体的结构特征(1)棱柱的侧棱都，上下底面是的多边形．(2)棱锥的底面是任意多边形，侧面是有一个的三角形．(3)棱台可由的平面截棱锥得到，其上下底面是相似多边形．2．旋转体的结构特征(1)圆柱可以由矩形绕一边旋转一周得到．(2)圆锥可以由直角三角形绕旋转一周得到．(3)圆台可以由直角梯形绕旋转一周或等腰梯形绕旋转半周得到，也可由底面的平面截圆锥得到．(4)球可以由半圆面绕旋转一周或圆面绕直径旋转半周得到．3．空间几何体的三视图空间几何体的三视图是用平行投影得到，这种投影下，与投影面平行的平面图形留下的影子，与平面图形的形状和大小是全等和相等的，三视图包括、、、4．空间几何体的直观图空间几何体的直观图常用斜二测画法来画，基本步骤是：(1)画几何体的底面在已知图形中取互相垂直的x轴、y轴，两轴相交于点O，画直观图时，把它们画成对应的x′轴、y′轴，两轴相交于点O′，且使∠x′O′y′＝，已知图形中平行于x轴、y轴的线段，在直观图中平行于x′轴、y′轴．已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中长度，平行于y轴的线段，长度变为(2)画几何体的高在已知图形中过O点作z轴垂直于xOy平面，在直观图中对应的z′轴，也垂直于x′O′y′平面，已知图形中平行于z轴的线段，在直观图中仍平行于z′轴且长度不变．一个规律三视图的长度特征：“长对正，宽相等，高平齐” ，即正视图和侧视图一样高，正视图和俯视图一样长，侧视图和俯视图一样宽．若相邻两物体的表面相交，表面的交线是它们的分界线，在三视图中，要注意实、虚线的画法．两个概念(1)正棱柱：侧棱垂直于底面的棱柱叫做直棱柱，底面是正多边形的直棱柱叫做正棱柱．反之，正棱柱的底面是正多边形，侧棱垂直于底面，侧面是矩形．(2)正棱锥：底面是正多边形，顶点在底面的射影是底面正多边形的中心的棱锥叫做正棱锥．特别地，各棱均相等的正三棱锥叫正四面体．反过来，正棱锥的底面是正多边形，且顶点在底面的射影是底面正多边形的中心．双基自测1用任意一个平面截一个几何体，各个截面都是圆面，则这个几何体一定是(  )．A．圆柱B．圆锥C．球体D．圆柱、圆锥、球体的组合体2．(2011·陕西)某几何体的三视图如图所示，则它的体积是(  )．A．8－B．8－C．8－2πD.3．(2011·浙江)若某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的直观图可以是(  )． 典型例题【例1】►(2011·全国新课标)在一个几何体的三视图中，正视图和俯视图如图所示，则相应的侧视图可以为(  )．【例2】►已知正三角形ABC的边长为a，那么△ABC的平面直观图△A′B′C′的面积为(  )．A.a2B.a2C.a2D.a2【训练2】如图，矩形O′A′B′C′是水平放置的一个平面图形的直观图，其中O′A′＝6cm，O′C′＝2cm，则原图形是(  )．A．正方形B．矩形C．菱形D．一般的平行四边形忽视几何体的放置对三视图的影响致错【问题诊断】空间几何体的三视图是该几何体在两两垂直的三个平面上的正投影.同一几何体摆放的角度不同，其三视图可能不同，有的考生往往忽视这一点. 【防范措施】应从多角度细心观察.【示例】►一个几何体的正视图为一个三角形，则这个几何体可能是下列几何体中的________(填入所有可能的几何体前的编号)．①三棱锥；②四棱锥；③三棱柱；④四棱柱；⑤圆锥；⑥圆柱．错因 忽视几何体的不同放置对三视图的影响，漏选③.实录 ①②⑤正解 ①三棱锥的正视图是三角形；②当四棱锥的底面是四边形放置时，其正视图是三角形；③把三棱柱某一侧面当作底面放置，其底面正对着我们的视线时，它的正视图是三角形；④对于四棱柱，不论怎样放置，其正视图都不可能是三角形；⑤当圆锥的底面水平放置时，其正视图是三角形；⑥圆柱不论怎样放置，其正视图也不可能是三角形．答案 ①②③⑤【试一试】(2011·山东)右图是长和宽分别相等的两个矩形．给定下列三个命题：①存在三棱柱，其正(主)视图、俯视图如右图；②存在四棱柱，其正(主)视图、俯视图如右图；③存在圆柱，其正(主)视图，俯视图如右图．其中真命题的个数是(  )．A．3B．2C．1D．0 能力提升（试做高考题，相信你能行）（2012年湖北卷）已知某几何体的三视图如图所示，则该集合体的体积为（）A.B.3πC.D.6π（2012年北京卷）某三棱锥的三视图如图所示，该三梭锥的表面积是（）（2012湖南卷）某几何体的正视图和侧视图均如图1所示，则该几何体的俯视图不可能是（）（2012年广东卷）某几何体的三视图如图1所示，它的体积为（） 天津卷―个几何体的三视图如图所示(单位：)，则该几何体的体积为.（2012浙江卷）已知某三棱锥的三视图(单位：cm)如右图所示，则该三棱锥的体积等于_______cm3．（2012辽宁卷）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为______________。（2013年重庆理卷）某几何体的三视图如题图所示，则该几何体的体积为（）A、B、C、D、（2013年新课标2卷）一个四面体的顶点在空间直角坐标系O-xyz中的坐标分别是（1，0，1），（1，1，0），（0，1，1），（0，0，0），画该四面体三视图中的正视图时，以zOx平面为投影面，则得到正视图可以为 (A)(B)(C)(D)（2013年四川卷）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的直观图可以是（）（2013年湖北卷）一个几何体的三视图如图所示，该几何体从上到下由四个简单几何体组成，其体积分别记为，，，，上面两个简单几何体均为旋转体，下面两个简单几何体均为多面体，则有（）A.B.C.D.（2013年广东卷）某四棱台的三视图如图所示,则该四棱台的正视图俯视图侧视图第5题图体积是()A.B．C．D． （2013年辽宁卷）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是.（2013年陕西卷）某几何体的三视图如图所示,则其体积为.