§8.1_空间几何体的结构及其三视图和直观

山东金榜苑文化传媒集团步步高大一轮复习讲义空间几何体的结构及其三视图和直观图 三视图和直观图表面积和体积空间几何体结构特征柱体的结构特征锥体的结构特征台体的结构特征球体的结构特征三视图(正视、俯视、侧视图)直观图斜二测画法表面积(柱、锥、台、球)体积(柱、锥、台、球) 几何体几何特征图形多面体棱柱棱柱的上下底面____，侧棱都____且_______，上底面和下底面是_____的多边形．棱锥棱锥的底面是任意多边形,侧面是有一个________的三角形．棱台棱台可由____________的平面截棱锥得到，其上下底面的两个多边形_____．忆一忆知识要点1．多面体的结构特征平行平行长度相等全等公共顶点平行于棱锥底面相似 几何体几何特征图形旋转体圆柱圆柱可以由矩形绕其________________________旋转得到．圆锥圆锥可以由直角三角形绕________________________________旋转得到．圆台圆台可以由直角梯形绕直角腰所在直线或等腰梯形绕上下底中点的连线旋转得到，也可由_________________________的平面截圆锥得到．球球可以由半圆或圆绕其________旋转得到．2．旋转体的结构特征忆一忆知识要点其一条直角边所在直线圆锥底面平行于在直线一边所直径 主视图俯视图侧视图3．空间几何体的三视图忆一忆知识要点 忆一忆知识要点空间几何体的三视图是用____________得到，这种投影下与投影面平行的平面图形留下的影子与平面图形的形状和大小是______________的，三视图包括_________、__________、_________．3．空间几何体的三视图正投影完全相同正视图侧视图俯视图长对正高平齐宽相等主视图俯视图侧视图 (1)在已知图形中取互相垂直的x轴、y轴，两轴相交于点O，画直观图时，把它们画成对应的x′轴、y′轴，两轴相交于点O′，且使∠x′O′y′＝_____________．(2)已知图形中平行于x轴、y轴的线段，在直观图中分别平行于_____________．(3)已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中长度保持不变，平行于y轴的线段，长度变为___________．(4)在已知图形中过O点作z轴垂直于xOy平面，在直观图中对应的z′轴也垂直于x′O′y′平面，已知图形中平行于z轴的线段,在直观图中仍平行于z′轴且长度_______．忆一忆知识要点4．空间几何体的直观图画空间几何体的直观图常用_______画法，基本步骤是：斜二测x′轴、y′轴原来的一半不变 D题号答案12345 5．(2011·浙江)若某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的直观图可以是()A,B的正视图不符合要求,C的俯视图显然不符合要求.D 【例1】设有以下四个命题：①底面是平行四边形的四棱柱是平行六面体；②底面是矩形的平行六面体是长方体；③直四棱柱是直平行六面体；④棱台的相对侧棱延长后必交于一点．其中真命题的序号是________．空间几何体的结构特征命题①符合平行六面体的定义，故命题①正确．底面是矩形的平行六面体的侧棱可能与底面不垂直,故命题②错误．因为直四棱柱的底面不一定是平行四边形，故命题③错误．命题④由棱台的定义知是正确的．解决该类题目需准确理解几何体的定义，要真正把握几何体的结构特征，并且学会通过反例对概念进行辨析，即要说明一个命题是错误的，设法举出一个反例即可． ②④对于①,平行六面体的两个相对侧面也可能与底面垂直且互相平行,故①假；对于②,两截面的交线平行于侧棱,且垂直于底面,故②真；下面是关于四棱柱的四个命题：①若有两个侧面垂直于底面,则该四棱柱为直四棱柱;②若过两个相对侧棱的截面都垂直于底面,则该四棱柱为直四棱柱；③若四个侧面两两全等，则该四棱柱为直四棱柱；④若四棱柱的四条对角线两两相等，则该四棱柱为直四棱柱．其中，真命题的编号是________．(写出所有真命题的编号) ②④下面是关于四棱柱的四个命题：③若四个侧面两两全等，则该四棱柱为直四棱柱；④若四棱柱的四条对角线两两相等，则该四棱柱为直四棱柱．其中，真命题的编号是________．(写出所有真命题的编号)对于③，作正四棱柱的两个平行菱形截面，可得满足条件的斜四棱柱(如图(1))，故③假；对于④，四棱柱一个对角面的两条对角线，恰为四棱柱的对角线，故对角面为矩形，于是侧棱垂直于底面的一对角线，同样侧棱也垂直于底面的另一对角线，故侧棱垂直于底面，故④真(如图(2))． 几何体的三视图【例2】(2012·东莞模拟)已知三棱锥的正视图与俯视图如图所示，俯视图是边长为2的正三角形，则该三棱锥的侧视图可能为()根据几何体的直观图，画三视图，要根据三视图的画法规则进行．要严格按以下几点执行：①三视图的安排位置．正视图、侧视图分别放在左、右两边，俯视图放在正视图的下边．②注意实虚线的区别．B C由三视图中的正、侧视图得到几何体的直观图如图所示，所以该几何体的俯视图为C. 空间几何体的直观图【例3】已知△ABC的直观图A′B′C′是边长为a的正三角形,求原△ABC的面积． 空间几何体的直观图【例3】已知△ABC的直观图A′B′C′是边长为a的正三角形,求原△ABC的面积．对于直观图，除了了解斜二测画法的规则外，还要了解原图形面积S与其直观图面积S′之间的关系，能进行相关问题的计算． 补偿练习【1】已知正三角形ABC的边长为a,那么△ABC的平面直观图的面积为()D 一个平面图形的水平放置的斜二测直观图是一个等腰梯形,它的底角为45°,两腰和上底边长均为1,则这个平面图形的面积是______.ABCD 几何体的截面问题【例4】棱长为2的正四面体的四个顶点都在同一个球面上，若过该球球心的一个截面如图所示，求图中三角形(正四面体的截面)的面积．解决这类问题的关键是准确分析出组合体的结构特征，发挥自己的空间想象能力，把立体图和截面图对照分析，有机结合，找出几何体中的数量关系，为了增加图形的直观性，常常画一个截面圆作为衬托． 在棱长为6的正四面体内有一个内切球，(球与正四面体的四个面都相切)．经过四面体的一条棱及高作截面如图．求内切球的半径． A【2】求正四面体(棱长均为a)的内切球和它的外接球的半径r,R及体积.补偿练习 PEF【3】底面直径与高都是1的圆锥的内接正方体的棱长为_______.OO'DAD'BCB'C'补偿练习 三视图识图不准致误一个空间几何体的三视图如图所示，则这个空间几何体的表面积是_________.这是一个由轴截面割开的半个圆柱与一个球的组合体，其表面积是圆柱的上、下两个底面半圆，圆柱的侧面积的一半、圆柱的轴截面和球的表面积之和，故这个几何体的表面积是08 1.本题考查的是三视图和表面积计算问题．在由三视图还原为空间几何体的实际形状时，要从三个视图综合考虑，根据三视图的规则，空间几何体的可见轮廓线在三视图中为实线，不可见轮廓线为虚线．在还原空间几何体实际形状时一般是以正视图和俯视图为主，结合侧视图进行综合考虑．2．解本题易出现的错误有：(1)还原空间几何体形状时出错，不能判断出俯视图中的半圆所对应的几何体；(2)计算表面积时漏掉部分表面，如漏掉了半圆柱的截面矩形或是漏掉了上下两个半圆等.三视图识图不准致误08 1．棱柱主要是理解、掌握基本概念和性质，并能灵活应用．2．正棱锥问题常归结到它的高、侧棱、斜高、底面正多边形内切圆半径或外接圆半径、底面边长的一半构成的直角三角形中解决．3．圆柱、圆锥、圆台、球应抓住它们是旋转体这一特点，弄清旋转轴、旋转面、轴截面．方法与技巧 1．台体可以看成是由锥体截得的，但一定强调截面与底面平行．2．掌握三视图的概念及画法:在绘制三视图时，若相邻两物体的表面相交，表面的交线是它们的分界线．在三视图中，分界线和可见轮廓线都用实线画出，被挡住的轮廓线画成虚线．并做到“正侧一样高、正俯一样长、俯侧一样宽”．3．掌握直观图的概念及斜二测画法:在斜二测画法中，要确定关键点及关键线段．“平行于x轴的线段平行性不变，长度不变；平行于y轴的线段平行性不变，长度减半．”4．能够由空间几何体的三视图得到它的直观图;也能够由空间几何体的直观图得到它的三视图,提升空间想象能力．失误与防范 作业布置作业纸:课时规范训练:P.1-2 预祝各位同学，2013年高考取得好成绩! 步步高课时规范训练 一、选择题二、填空题题号1234答案ADBDA组专项基础训练题组7.①③④⑤6.② ①②③ 三、解答题9.已知圆锥的底面半径为r,高为h,且正方体ABCD—A1B1C1D1内接于圆锥，求这个正方体的棱长．解:如图所示,过内接正方体的一组对棱作圆锥的轴截面,设圆锥内接正方体的棱长为x，则在轴截面中，正方体的对角面A1ACC1的一组邻边的长分别为 一、选择题二、填空题题号1234答案DCBAB组 专项能力提升题组6.①④⑤5.①②③ D 4．如图所示的几何体的正视图和侧视图可能正确的是()A由于几何体是规则的对称几何体，所以其正视图和侧视图是相同的，故选A. 【10】根据以下三视图想象物体原形，可得原几何体的体积是_______.FGHECDAB FGHECDABFGHECDAB 三、解答题 DCABV解:(1)如图所示 AVBABCVVCBD 忆一忆知识要点 1．空间几何体的结构特征忆一忆知识要点相似平行且相等全等公共顶点平行于底面组合截去或挖去 1．空间几何体的结构特征忆一忆知识要点 简单几何体的结构特征柱体锥体台体球棱柱圆柱棱锥圆锥棱台圆台2.几何体的分类忆一忆知识要点 底面是平行四边形的四棱柱叫做平行六面体；侧棱与底面垂直的平行六面体叫做直平行六面体，底面是矩形的直平行六面体叫做长方体，棱长都相等的长方体叫做正方体，结合以上定义有如下关系：忆一忆知识要点3.平行六面体 投影视图中心投影平行投影投影线交于一点投影线平行正投影斜投影直观强、接近实物不改变原物形状三视图直观图正视图侧视图俯视图斜二测画法长对正、高平齐、宽相等4.投影的分类忆一忆知识要点 5.《机械制图》国家标准中规定的图线(单位:mm)图线名称图线型式图线宽度一般应用粗实线b=0.5~2可见轮廓线细实线约b/3尺寸线、尺寸界线引出线、剖面线虚线约b/3不可见轮廓线细点划线约b/3轴线、对称中心线波浪线约b/3断裂处的边界线、视图和剖视的分界线双点划线约b/3假想轮廓线忆一忆知识要点 ☃正六棱锥的三视图忆一忆知识要点 正五棱柱的三视图主忆一忆知识要点 ☃正三棱锥的三视图忆一忆知识要点 【例1】(2010·潍坊模拟）如图，已知正四棱台ABCD—A1B1C1D1的上底面边长为1，下底面边长为2，高为1，求线段B1C的长.解:连接上底面对角线B1D1的中点O1和下底面BD的中点O,得棱台的高OO1,过点B1作OO1的平行线交BD于点E,连接CE.在△BCE中，由BC=2， 侧视图俯视图正视图【4】说出下面的三视图表示的几何体的结构特征. 侧视图俯视图正视图【5】说出下面的三视图表示的几何体的结构特征. 例2.常见的几何体的三视图 例2.常见的几何体的三视图 例2.常见的几何体的三视图 例2.常见的几何体的三视图 例2.常见的几何体的三视图 1.(2009·福建)如下图，某几何体的正视图与侧视图都是边长为1的正方形，且体积为0.5，则该几何体的俯视图可以是()C CC'D'B'A'CDAB解：由棱长的两端点和某一端点的射影点可构成一个长方体. C A.模块①②⑤B.模块①③⑤C.模块②④⑤D.模块③④⑤①②③⑥⑤④A【3】[2008·重庆] 4.（2008·广东）将正三棱柱截去三个角(如图1所示),A，B，C分别是△GHI三边的中点得到几何体如图2，则该几何体按图2所示方向的侧视图（或称左视图）为()当三棱锥没有截去三个角时的侧视图如图(1)所示，由此可知截去三个角后的侧视图如图(2)所示.A 解题是一种实践性技能,就象游泳、滑雪、弹钢琴一样，只能通过模仿和实践来学到它！——波利亚