空间几何体的结构及其三视图和直观图(教案)

§8.1空间几何体的结构及其三视图和直观图基础自测1.下列不正确的命题的序号是.①有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱②有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱③有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体叫棱锥④有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形的几何体叫棱锥答案①②③2.如果圆锥的侧面展开图是半圆，那么这个圆锥的顶角（圆锥轴截面中两条母线的夹角）是.答案60°3.如果一个几何体的三视图如图所示（单位长度：cm），则此几何体的表面积是cm2.答案(20+4)4.（2008·宁夏文，14）一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直于底面，已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的高为，底面周长为3，那么这个球的体积为.答案5.已知正三角形ABC的边长为a,那么△ABC的直观图△A′B′C′的面积为.答案a2例题精讲例1下列结论不正确的是（填序号）.①各个面都是三角形的几何体是三棱锥②以三角形的一条边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫圆锥③棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则此棱锥可能是六棱锥④圆锥的顶点与底面圆周上的任意一点的连线都是母线答案①②③解析①错误.如图所示，由两个结构相同的三棱锥叠放在一起构成的几何体，各面都是三角形，但它不一定是棱锥.②错误.如下图，若△ABC不是直角三角形或是直角三角形,但旋转轴不是直角边，所得的几何体都不是圆锥.219 ③错误.若六棱锥的所有棱长都相等，则底面多边形是正六边形.由几何图形知，若以正六边形为底面，侧棱长必然要大于底面边长.④正确.例2已知△ABC的直观图A′B′C′是边长为a的正三角形，求原三角形ABC的面积.解建立如图所示的xOy坐标系，△ABC的顶点C在y轴上，AB边在x轴上，OC为△ABC的高，把y轴绕原点顺时针旋转45°得y′轴，则点C变为点C′，且OC=2OC′，A、B点即为A′、B′点，AB=A′B，已知A′B′=A′C′=a，在△OA′C′中，由正弦定理得=，所以OC′==,所以原三角形ABC的高OC=a，所以S△ABC=×a×a=2.例3一个正三棱柱的三视图如图所示，求这个三棱柱的表面积和体积.解由三视图易知，该正三棱柱的形状如图所示：且AA′=BB′=CC′=4cm,正三角形ABC和正三角形A′B′C′的高为2cm.∴正三角形ABC的边长为|AB|==4.∴该三棱柱的表面积为S=3×4×4+2××42sin60°=48+8(cm2).体积为V=S底·|AA′|=×42sin60°×4=16(cm3).故这个三棱柱的表面积为（48+8）cm2,体积为16cm3.例4棱长为2的正四面体的四个顶点都在同一个球面上，若过该球球心的一个截面如图所示，求图中三角形（正四面体的截面）的面积.解如图所示，△ABE为题中的三角形，由已知得AB=2，BE=2×=,BF=BE=,AF===,∴△ABE的面积为219 S=×BE×AF=××=.∴所求的三角形的面积为.巩固练习1.如果四棱锥的四条侧棱都相等，就称它为“等腰四棱锥”，四条侧棱称为它的腰，以下四个命题中为真命题的是（填序号）.①等腰四棱锥的腰与底面所成的角都相等②等腰四棱锥的侧面与底面所成的二面角都相等或互补③等腰四棱锥的底面四边形必存在外接圆④等腰四棱锥的各顶点必在同一球面上答案①③④2.一个平面四边形的斜二测画法的直观图是一个边长为a的正方形,则原平面四边形的面积等于.答案2a23.已知某几何体的俯视图是如图所示的矩形，正视图（或称主视图）是一个底边长为8、高为4的等腰三角形，左视图（或称侧视图）是一个底边长为6、高为4的等腰三角形.（1）求该几何体的体积V；（2）求该几何体的侧面积S.解（1）由该几何体的俯视图、正视图、左视图可知，该几何体是四棱锥，且四棱锥的底面ABCD是边长为6和8的矩形，高VO=4，O点是AC与BD的交点.∴该几何体的体积V=×8×6×4=64.（2）如图所示，侧面VAB中，VE⊥AB，则VE===5∴S△VAB=×AB×VE=×8×5=20侧面VBC中，VF⊥BC，则VF===4.∴S△VBC=×BC×VF=×6×4=12∴该几何体的侧面积S=2（S△VAB+S△VBC）=40+24.4.（2007·全国Ⅱ文，15）一个正四棱柱的各个顶点在一个直径为2cm的球面上.如果正四棱柱的底面边长为1cm，那么该棱柱的表面积为cm2.答案2+4回顾总结知识方法思想课后作业一、填空题219 1.利用斜二测画法可以得到：①三角形的直观图是三角形，②平行四边形的直观图是平行四边形，③正方形的直观图是正方形，④菱形的直观图是菱形，以上正确结论的序号是.答案①②2.如图所示，甲、乙、丙是三个几何体图形的三视图，甲、乙、丙对应的标号是.①长方体；②圆锥；③三棱锥；④圆柱.答案④③②3.下列几何体各自的三视图中，有且仅有两个视图相同的是.答案②④4.用若干个大小相同，棱长为1的正方体摆成一个立体模型，其三视图如下：根据三视图回答此立体模型的体积为.答案55.棱长为1的正方体ABCD—A1B1C1D1的8个顶点都在球O的表面上，E、F分别是棱AA1、DD1的中点，则直线EF被球O截得的线段长为.答案6.（2008·湖北理）用与球心距离为1的平面去截球，所得的截面面积为，则球的体积为.答案7.用小立方块搭一个几何体，使得它的正视图和俯视图如图所示，这样的几何体至少要个小立方块.最多只能用个小立方块.答案9148.如图所示，E、F分别是正方体的面ADD1A1、面BCC1B1的中心，则四边形BFD1E在该正方体的面上的正投影可能是.（把可能的图的序号都填上）219 答案②③二、解答题9.正四棱台AC1的高是17cm，两底面的边长分别是4cm和16cm，求这个棱台的侧棱长和斜高.解如图所示，设棱台的两底面的中心分别是O1、O，B1C1和BC的中点分别是E1和E，连接O1O、E1E、O1B1、OB、O1E1、OE，则四边形OBB1O1和OEE1O1都是直角梯形.∵A1B1=4cm，AB=16cm，∴O1E1=2cm，OE=8cm，O1B1=2cm，OB=8cm，∴B1B2=O1O2+（OB-O1B1)2=361cm2，E1E2=O1O2+（OE-O1E1)2=325cm2，∴B1B=19cm，E1E=5cm.答这个棱台的侧棱长为19cm，斜高为5cm.10.圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，轴截面的面积等于392cm2,母线与轴的夹角是45°，求这个圆台的高、母线长和两底面半径.解圆台的轴截面如图所示，设圆台上下底面半径分别为xcm,3xcm.延长AA1交OO1的延长线于S，在Rt△SOA中，∠ASO=45°,则∠SAO=45°，∴SO=AO=3x，∴OO1=2x，又S轴截面=（6x+2x）·2x=392，∴x=7.故圆台的高OO1=14(cm)，母线长l=O1O=14(cm)，两底面半径分别为7cm,21cm.11.正四棱锥的高为，侧棱长为，求侧面上斜高（棱锥侧面三角形的高）为多少？解如图所示，正棱锥S-ABCD中高OS=，侧棱SA=SB=SC=SD=，在Rt△SOA中，OA==2，∴AC=4.∴AB=BC=CD=DA=2.作OE⊥AB于E，则E为AB中点.连接SE，则SE即为斜高，则SO⊥OE.在Rt△SOE中，∵OE=BC=，SO=，∴SE=，即侧面上的斜高为.12.如图所示的几何体中，四边形AA1B1B是边长为3的正方形，CC1=2，CC1∥AA1，这个几何体是棱柱吗？若是，指出是几棱柱.219 若不是棱柱，请你试用一个平面截去一部分，使剩余部分是一个棱长为2的三棱柱，并指出截去的几何体的特征，在立体图中画出截面.解这个几何体不是棱柱；在四边形ABB1A1中，在AA1上取点E，使AE=2；在BB1上取F使BF=2；连接C1E，EF，C1F，则过C1EF的截面将几何体分成两部分，其中一部分是棱柱ABC—EFC1，其棱长为2；截去的部分是一个四棱锥C1—EA1B1F.219