7.1空间几何体的结构特征及三视图和直视图

第一节空间几何体的结构特征及三视图和直观图基础知识1．多面体的结构特征(1)棱柱：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都相互平行，由这些面所围成的多面体叫做棱柱．(2)棱锥：有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体叫做棱锥．(3)棱台：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分，这样的多面体叫做棱台．2.旋转体的结构特征(1)圆柱可以由绕其任一边所在直线旋转得到；(2)圆锥可以由直角三角形绕其所在直线旋转得到；(3)圆台可以由直角梯形绕所在直线旋转得到，也可以由的平面截圆锥得到；(4)球可以由半圆绕所在直线旋转得到．3．空间几何体的三视图(1)三视图的名称几何体的三视图有：、、(2)三视图的画法①在画三视图时，重叠的线只画一条，挡住的线要画成虚线．②三视图的正视图、侧视图、俯视图分别是从几何体的观察几何体的正投影图．4．空间几何体的直观图空间几何体的直观图常用斜二测画法，在斜二测画法中，原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中于坐标轴；平行于x轴和z轴的线段长度在直观图中，平行于y轴的线段长度在直观图中5．平行投影与中心投影平行投影的投影线是，而中心投影的投影线交于一点。例题精选 【例1】 (1)下面是关于空间几何体的几个命题：①由八个面围成，其中两个面是互相平行且全等的正六边形，其他各面是矩形的几何体是六棱柱；②有两个面互相平行，其余各面都是梯形的几何体一定是棱台；③棱锥的侧面是全等的等腰三角形，该棱锥一定是正棱锥．其中正确命题的个数是(  )A．0B．1C．2D．3(2)用不过球心的平面截球O，截面是一个球内的小圆O1，若球的半径为4cm，球心O与小圆圆心O1的距离为2cm，则小圆的半径为________cm.【解析】 (1)①是正确的，如图(1)所示，该几何体满足有两个面互相平行，其余六个面都是矩形，则每相邻两个面的公共边都互相平行，故该几何体是六棱柱；②是错误的，有两个面互相平行，其余各面都是梯形的几何体不一定是棱台(如图(2))；③是错误的，如图(3)所示，AB＝BC＝CD＝DA，AC＝BD，棱锥的侧面是全等的等腰三角形，但该棱锥不是正三棱锥．故选B.(2)如图(4)，d＝OO1＝2，R＝4，小球O1的半径为r，则r＝＝＝2.【答案】 (1)B (2)2【例2】(1)一个几何体的三视图如下图所示，则该几何体的直观图可以是(  )(2)个四面体的顶点在空间直角坐标系O—xyz中的坐标分别是(1,0,1)，(1,1,0)，(0,1,1)，(0,0,0)，画该四面体三视图中的正视图时，以zOx平面为投影面，则得到的正视图可以为(  ) 【解析】 (1)根据三视图知该几何体是圆台与圆柱的组合体，选D.(2)如图，该四面体在空间直角坐标系O—xyz中的图象如图：则它在平面zOx的投影，即正视图为.选A.【答案】 (1)D (2)A【例3】 已知平面△ABC的直观图A′B′C′是边长为a的正三角形，求原△ABC的面积．【解析】 如图所示，△A′B′C′是边长为a的正三角形，作C′D′∥A′B′交y′轴于点D′，则D′到x′轴的距离为a，∵∠D′A′B′＝45°，∴A′D′＝a，由斜二测画法的法则知，在△ABC中，AB＝A′B′＝a，AB边上的高是A′D′的二倍，即为a，∴S△ABC＝a·a＝a2.本课小结1．对三视图的认识及三视图画法(1)空间几何体的三视图是该几何体在三个两两垂直的平面上的正投影，并不是从三个方向看到的该几何体的侧面表示的图形．(2)在画三视图时，重叠的线只画一条，能看见的轮廓线和棱用实线表示，挡住的线要画成虚线．(3)三视图的正视图、侧视图、俯视图分别是从几何体的正前方、正左方、正上方观察几何体用平行投影画出的轮廓线．2．对斜二测画法的认识及直观图的画法(1)在斜二测画法中，要确定关键点及关键线段．“平行于x轴的线段平行性不变，长度不变；平行于y轴的线段平行性不变，长度减半．” (2)按照斜二测画法得到的平面图形的直观图，其面积与原图形的面积有以下关系：S直观图＝S原图形，S原图形＝2S直观图．练习选择题1．以下关于几何体的三视图的论述中，正确的是(  )A．球的三视图总是三个全等的圆B．正方体的三视图总是三个全等的正方形C．水平放置的正四面体的三视图都是正三角形D．水平放置的圆台的俯视图是一个圆2．用任意一个平面截一个几何体，各个截面都是圆面，则这个几何体一定是(  )A．圆柱B．圆锥C．球体D．圆柱、圆锥、球体的组合体3.给出四个命题：①各侧面都是全等四边形的棱柱一定是正棱柱；②对角面是全等矩形的六面体一定是长方体；③有两侧面垂直于底面的棱柱一定是直棱柱；④长方体一定是正四棱柱．其中正确的命题个数是(  )A．0B．1C．2D．34.[2014·安徽卷]一个多面体的三视图如图12所示，则该多面体的表面积为(  )A．21＋B．8＋C．21D．18图125.已知正方体的棱长为1，其俯视图是一个面积为1的正方形，侧视图是一个面积为的矩形，则该正方体的正视图的面积等于(  )A.B．1C.D.6.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为(  ) A．16＋8πB．8＋8πC．16＋16πD．8＋16π7.沿一个正方体三个面的对角线截得的几何体如图所示，则该几何体的左视图为(  )8．[2014·福建卷]某空间几何体的正视图是三角形，则该几何体不可能是(  )A．圆柱B．圆锥C．四面体D．三棱柱9．将长方体截去一个四棱锥，得到的几何体如图所示，则该几何体的侧视图为(  )10．如图，正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F是AB的三等分点，G、H是CD的三等分点，M、N分别是BC、EH的中点，则四棱锥A1－FMGN的侧视图为(  )11．如图正四棱锥(底面是正方形，顶点在底面的射影是底面的中心)P－ABCD的底面边长为6cm，侧棱长为5cm，则它的侧视图的周长等于(  ) A．17cmB.＋5cmC．16cmD．14cm12．一个底面是等腰直角三角形，侧棱垂直于底面且体积为4的三棱柱的俯视图如图所示，则这个三棱柱的侧视图的面积为(  )A．4B．2C．2D．4填空题1.[2014·湖北卷]在如图11所示的空间直角坐标系Oxyz中，一个四面体的顶点坐标分别是(0，0，2)，(2，2，0)，(1，2，1)，(2，2，2)．给出编号为①，②，③，④的四个图，则该四面体的正视图和俯视图分别为(  )图11 2．一个几何体的正视图为一个三角形，则这个几何体可能是下列几何体中的________．(填入所有可能的几何体前的编号)①三棱锥 ②四棱锥 ③三棱柱 ④四棱柱 ⑤圆锥⑥圆柱3.一个几何体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图是腰长为1的两个全等的等腰直角三角形，该几何体的体积是________；若该几何体的所有顶点在同一球面上，则球的表面积是________．4.如图是某几何体的三视图，该几何体的体积为________． 解答题1.如图所示的几何体是由一个长方体木块锯成的．(1)判断该几何体是否为棱柱；(2)画出它的三视图．答案：选择：1.A2.C3.A4.A5.D6.A7.B8.A9.D10.C11.D12.D填空:1、④和②2、①②③⑤3、 3π4、解答题：1.解：(1)是棱柱．因为该几何体的前、后两个面互相平行，其余各面都是矩形，而且相邻矩形的公共边都互相平行．(2)该几何体的三视图如图