8.1-空间几何体的结构及其三视图和直观图

步步高大一轮复习讲义第八章空间几何体 步步高大一轮复习讲义8.1空间几何体的结构及其三视图和直观图 三视图和直观图表面积和体积空间几何体结构特征柱体的结构特征锥体的结构特征台体的结构特征球体的结构特征三视图(正视、俯视、侧视图)直观图斜二测画法表面积(柱、锥、台、球)体积(柱、锥、台、球) 简单几何体的结构特征柱体锥体台体球棱柱圆柱棱锥圆锥棱台圆台1.几何体的分类忆一忆知识要点 底面是平行四边形的四棱柱叫做平行六面体；侧棱与底面垂直的平行六面体叫做直平行六面体，底面是矩形的直平行六面体叫做长方体，棱长都相等的长方体叫做正方体，结合以上定义有如下关系：忆一忆知识要点平行六面体 2．空间几何体的结构特征忆一忆知识要点 几何体几何特征图形多面体棱柱棱柱的上下底面____，侧棱都____且_______，上底面和下底面是_____的多边形．棱锥棱锥的底面是任意多边形,侧面是有一个________的三角形．棱台棱台可由____________的平面截棱锥得到，其上下底面的两个多边形_____．忆一忆知识要点(1).多面体的结构特征平行平行长度相等全等公共顶点平行于棱锥底面相似 几何体几何特征图形旋转体圆柱圆柱可以由矩形绕其________________________旋转得到．圆锥圆锥可以由直角三角形绕其____________________________旋转得到．圆台圆台可以由直角梯形绕直角腰所在直线或等腰梯形绕上下底中点的连线旋转得到，也可由_________________________的平面截圆锥得到．球球可以由半圆或圆绕其________旋转得到．(2)．旋转体的结构特征忆一忆知识要点一条直角边所在直线圆锥底面平行于在直线一边所直径 正视图俯视图侧视图3．空间几何体的三视图忆一忆知识要点 忆一忆知识要点空间几何体的三视图是用____________得到，这种投影下与投影面平行的平面图形留下的影子与平面图形的形状和大小是______________的，三视图包括_________、__________、_________．3．空间几何体的三视图正投影完全相同正视图侧视图俯视图长对正高平齐宽相等正视图俯视图侧视图 投影视图中心投影平行投影投影线交于一点投影线平行正投影斜投影直观强、接近实物不改变原物形状三视图直观图正视图侧视图俯视图斜二测画法长对正、高平齐、宽相等4.投影的分类忆一忆知识要点 ☃正六棱锥的三视图忆一忆知识要点 正五棱柱的三视图主忆一忆知识要点 ☃正三棱锥的三视图忆一忆知识要点 (1)在已知图形中取互相垂直的x轴、y轴，两轴相交于点O，画直观图时，把它们画成对应的x′轴、y′轴，两轴相交于点O′，且使∠x′O′y′＝_____________．(2)已知图形中平行于x轴、y轴的线段，在直观图中分别平行于_____________．(3)已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中长度保持不变，平行于y轴的线段，长度变为___________．(4)在已知图形中过O点作z轴垂直于xOy平面，在直观图中对应的z′轴也垂直于x′O′y′平面，已知图形中平行于z轴的线段,在直观图中仍平行于z′轴且长度_______．忆一忆知识要点6．空间几何体的直观图画空间几何体的直观图常用_______画法，基本步骤是：斜二测x′轴、y′轴原来的一半不变 D题号答案12345 5．(2011·浙江)若某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的直观图可以是()A,B的正视图不符合要求,C的俯视图显然不符合要求.D 【例1】设有以下四个命题：①底面是平行四边形的四棱柱是平行六面体；②底面是矩形的平行六面体是长方体；③直四棱柱是直平行六面体；④棱台的相对侧棱延长后必交于一点．其中真命题的序号是________．空间几何体的结构特征命题①符合平行六面体的定义，故命题①正确．底面是矩形的平行六面体的侧棱可能与底面不垂直,故命题②错误．因为直四棱柱的底面不一定是平行四边形，故命题③错误．命题④由棱台的定义知是正确的．解决该类题目需准确理解几何体的定义，要真正把握几何体的结构特征，并且学会通过反例对概念进行辨析，即要说明一个命题是错误的，设法举出一个反例即可． 对于①,平行六面体的两个相对侧面也可能与底面垂直且互相平行,故①假；对于②,两截面的交线平行于侧棱,且垂直于底面,故②真；下面是关于四棱柱的四个命题：①若有两个侧面垂直于底面,则该四棱柱为直四棱柱;②若过两个相对侧棱的截面都垂直于底面,则该四棱柱为直四棱柱；③若四个侧面两两全等，则该四棱柱为直四棱柱；④若四棱柱的四条对角线两两相等，则该四棱柱为直四棱柱．其中,真命题的编号是________.(写出所有真命题的编号)②④ 对于③，作正四棱柱的两个平行菱形截面，可得满足条件的斜四棱柱(如图(1))，故③假；对于④，四棱柱一个对角面的两条对角线，恰为四棱柱的对角线，故对角面为矩形，于是侧棱垂直于底面的一对角线，同样侧棱也垂直于底面的另一对角线，故侧棱垂直于底面，故④真(如图(2))．答案②④ 几何体的三视图【例2】已知三棱锥的正视图与俯视图如图所示，俯视图是边长为2的正三角形，则该三棱锥的侧视图可能为() 几何体的三视图【例2】已知三棱锥的正视图与俯视图如图所示，俯视图是边长为2的正三角形，则该三棱锥的侧视图可能为()B侧视图 根据几何体的直观图，画三视图，要根据三视图的画法规则进行．要严格按以下几点执行:①三视图的安排位置．正视图、侧视图分别放在左、右两边，俯视图放在正视图的下边．②注意实虚线的区别． C由三视图中的正、侧视图得到几何体的直观图如图所示，所以该几何体的俯视图为C. 空间几何体的直观图【例3】已知△ABC的直观图A′B′C′是边长为a的正三角形,求原△ABC的面积． 空间几何体的直观图【例3】已知△ABC的直观图A′B′C′是边长为a的正三角形,求原△ABC的面积．对于直观图，除了了解斜二测画法的规则外，还要了解原图形面积S与其直观图面积S′之间的关系，能进行相关问题的计算． 补偿练习【1】已知正三角形ABC的边长为a,那么△ABC的平面直观图的面积为()D 一个平面图形的水平放置的斜二测直观图是一个等腰梯形,它的底角为45°,两腰和上底边长均为1,则这个平面图形的面积是______.ABCD 几何体的截面问题【例4】棱长为2的正四面体的四个顶点都在同一个球面上，若过该球球心的一个截面如图所示，求图中三角形(正四面体的截面)的面积．解决这类问题的关键是准确分析出组合体的结构特征，发挥自己的空间想象能力，把立体图和截面图对照分析，有机结合，找出几何体中的数量关系，为了增加图形的直观性，常常画一个截面圆作为衬托． 【例4】在棱长为6的正四面体内有一个内切球，(球与正四面体的四个面都相切)．经过四面体的一条棱及高作截面如图．求内切球的半径． A【2】求正四面体(棱长均为a)的内切球和它的外接球的半径r,R及体积.补偿练习 PEF【3】底面直径与高都是1的圆锥的内接正方体的棱长为_______.OO'DAD'BCB'C'补偿练习 一个空间几何体的三视图如图所示，则这个空间几何体的表面积是_________.这是一个由轴截面割开的半个圆柱与一个球的组合体，其表面积是圆柱的上、下两个底面半圆，圆柱的侧面积的一半、圆柱的轴截面和球的表面积之和，故这个几何体的表面积是08三视图识图不准致误（5分） 1.本题考查的是三视图和表面积计算问题．在由三视图还原为空间几何体的实际形状时，要从三个视图综合考虑，根据三视图的规则，空间几何体的可见轮廓线在三视图中为实线，不可见轮廓线为虚线．在还原空间几何体实际形状时一般是以正视图和俯视图为主，结合侧视图进行综合考虑．2.解本题易出现的错误有：(1)还原空间几何体形状时出错，不能判断出俯视图中的半圆所对应的几何体；(2)计算表面积时漏掉部分表面，如漏掉了半圆柱的截面矩形或是漏掉了上下两个半圆等. 1．棱柱主要是理解、掌握基本概念和性质，并能灵活应用．2．正棱锥问题常归结到它的高、侧棱、斜高、底面正多边形内切圆半径或外接圆半径、底面边长的一半构成的直角三角形中解决．3．圆柱、圆锥、圆台、球应抓住它们是旋转体这一特点，弄清旋转轴、旋转面、轴截面． 1．台体可以看成是由锥体截得的，但一定强调截面与底面平行．2．掌握三视图的概念及画法:在绘制三视图时，若相邻两物体的表面相交，表面的交线是它们的分界线．在三视图中，分界线和可见轮廓线都用实线画出，被挡住的轮廓线画成虚线．并做到“正侧一样高、正俯一样长、俯侧一样宽”．3．掌握直观图的概念及斜二测画法:在斜二测画法中，要确定关键点及关键线段．“平行于x轴的线段平行性不变，长度不变；平行于y轴的线段平行性不变，长度减半．”4．能够由空间几何体的三视图得到它的直观图;也能够由空间几何体的直观图得到它的三视图,提升空间想象能力． 【例1】(2010·潍坊模拟）如图，已知正四棱台ABCD—A1B1C1D1的上底面边长为1，下底面边长为2，高为1，求线段B1C的长.解:连接上底面对角线B1D1的中点O1和下底面BD的中点O,得棱台的高OO1,过点B1作OO1的平行线交BD于点E,连接CE.在△BCE中，由BC=2， 侧视图俯视图正视图【4】说出下面的三视图表示的几何体的结构特征. 侧视图俯视图正视图【5】说出下面的三视图表示的几何体的结构特征. 例2.常见的几何体的三视图侧 例2.常见的几何体的三视图 例2.常见的几何体的三视图 例2.常见的几何体的三视图 例2.常见的几何体的三视图 1.(2009·福建)如下图，某几何体的正视图与侧视图都是边长为1的正方形，且体积为0.5，则该几何体的俯视图可以是()C A.模块①②⑤B.模块①③⑤C.模块②④⑤D.模块③④⑤①②③⑥⑤④A【2】（2008·重庆）所示， 3.（2008·广东）将正三棱柱截去三个角(如图1所示),A，B，C分别是△GHI三边的中点得到几何体如图2，则该几何体按图2所示方向的侧视图（或称左视图）为()当三棱锥没有截去三个角时的侧视图如图(1)所示，由此可知截去三个角后的侧视图如图(2)所示.A 4.根据以下三视图想象物体原形，可得原几何体的体积是_______.FGHECDAB侧 FGHECDABFGHECDAB 解题是一种实践性技能,就象游泳、滑雪、弹钢琴一样，只能通过模仿和实践来学到它！——波利亚 题西林壁苏轼横看成岭侧成峰远近高低各不同不识庐山真面目只缘身在此山中 哪位同学能说说苏东坡是怎样观察庐山的吗?创设情境这首诗教会了我们怎样观察物体(横看、侧看、近看、身处山中看).这也是我们这节课将要学习的内容—空间几何体的三视图.横看成岭侧成峰远近高低各不同不识庐山真面目只缘身在此山中 有时光线是一组互相平行的射线,例如太阳光或探照灯光的一束中的光线.由平行光线形成的投影是平行投影(parallelprojection).例如,物体在太阳光的照射下形成的影子(简称日影)就是平行投影,一般地,用光线照射物体,在某个地面(地面、墙壁等)上得到的影子叫做物体的投影,照射光线叫做投影线,投影所在的平面叫投影面.数学趣苑 日影的方向可以反映时间,我国古代的计时器日晷,就是根据日影来观测时间的.日晷是利用日影计时的仪器,通常由铜制的指针和石制的带有刻度的圆盘组成,针影投到刻度盘的不同位置表示不同的时刻. 北京故宫中的日晷闻名世界,是我国光辉灿烂文化的瑰宝.它是我国古代利用日影测定时刻的仪器,它由“晷面”与“晷针”组成，当太阳光照在日晷中轴上产生投影，晷针的影子就会投向晷面，随着时间的推移，晷针的影的长度发生变化,晷针的影子在晷面上慢慢移动，聪明的古人以此来显示时刻． 透视投影透视投影是用中心投影绘制的单面投影图.这种图符合人们的视觉印象，富有立体感,直观性强，但作图复杂，度量性差，在建筑工程设计中，用作辅助图样.投影知识知多少 标高投影是用正投影的方法绘制的带有高度标记单面投影图.这种投影是绘制地形图等高线的主要方法.标高投影投影知识知多少 皮影戏是利用灯光照射,把影子的形态反映到银幕(投影面)上的表演艺术. 中心投影后的图形与原图形相比,虽然改变很多,但直观性强,看起来与人的视觉效果一致,最像原来的物体.所以在绘画时,经常使用这种方法,但在立体几何中很少用中心投影原理来画图． 空间图形经过中心投影后,直线变成直线,但平行线可能变成了相交的直线．