[数学]第1讲-空间几何体的三视图和直观图

空间几何体的三视图和直观图 1．多面体的结构特征(1)棱柱：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，且其余每相邻两个面的交线都互相平行．侧棱与底面垂直的棱柱叫做直棱柱；底面是正多边形的直棱柱叫做正棱柱．(2)棱锥：有一个面是多边形，而其余各面都是有一个公共顶点的三角形．如果棱锥的底面是正多边形，并且水平放置，它的顶点又在过正多边形中心的铅垂线上，则这个棱锥叫做正棱锥．(3)棱台：棱锥被平行于底面的平面所截，截面和底面间的部分． 2．旋转体的几何特征(1)圆柱：以矩形的一边所在的直线为旋转轴，将矩形旋转一周而形成的曲面所围成的几何体．(2)圆锥：以直角三角形的一条直角边所在的直线为旋转轴，将直角三角形旋转一周而形成的曲面所围成的几何体．(3)圆台：类似于棱台，圆台可看作是用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面与截面之间的部分．类似于圆锥的形成过程，圆台还可以看作是一直角梯形绕垂直于底的腰所在的直线旋转，其余各边旋转形成的曲面围成的几何体．(4)球：以半圆的直径所在的直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的几何体． 3．用斜二测画法画水平放置的平面图形(1)步骤：画轴、取点、成图．(2)图形中平行于x轴的线段，在直观图中仍平行于x′轴且长度保持不变，平行于y轴的线段，在直观图中仍平行于y′轴且长度变为原来的一半，与坐标轴不平行的线段，可通过确定端点的办法来解决．(3)画空间图形的直观图时，只需增加一个竖直的z′轴，图形中平行于z轴的线段，在直观图中仍平行于z′轴且长度保持不变． 三视图的定义 .....X’.....y’O’x..........yo4．三视图的定义 (1)俯视图：一个投影面水平放置，叫做水平射影面，投影到这个平面内的图形叫做俯视图．(2)主视图：一个投影面放置在正前方，这个投影面叫做直立投影面，投影到这个平面内的图形叫做主视图(正视图)．(3)左视图：和直立、水平两个投影面都垂直的投影面叫做侧立投影面，通常把这个平面放置在直立投影面的右面，投影到这个平面内的图形叫做侧视图(左视图)．5．三视图的排列规则长对正、高平齐、宽相等． 1．如图13－1－1，这是一幅电热水壶的主视图，则它的俯视图是()图13－1－1 2．下列命题正确的是()A．棱柱的底面一定是平行四边形B．棱锥的底面一定是三角形C．棱锥被平面分成的两部分不可能都是棱锥D．棱柱被平面分成的两部分可以都是棱柱3．下面说法正确的是(A．水平放置的正方形的直观图可能是梯形B．两条相交直线的直观图可能是平行直线C．互相垂直的两条直线的直观图仍然互相垂直D．平行四边形的直观图仍是平行四边形 4．如图13－1－2，已知底面为正方形的四棱锥，其一条侧棱垂直于底面，那么该四棱锥的三视图是(图13－1－2 5．小华拿一个矩形木框在阳光下玩，矩形木框在地面上形成的投影不可能是( 考点1空间几何体的结构特征例1：①如图13－1－3，模块①－⑤均由4个棱长为1的小正方体构成，模块⑥由15个棱长为1的小正方体构成．现从模块①－⑤中选出三个放到模块⑥上，使得模块⑥成为一个棱长为3的大正方体．则下列选择方案中，能够完成任务的为() 图13－1－3A．模块①、②、⑤C．模块②、④、⑥B．模块①、③、⑤D．模块③、④、⑤ ②在正方体上任意选择4个顶点，它们可能是如下各种几何体的4个顶点，这些几何形体是__________(写出所有正确结论的编号)．①矩形；②不是矩形的平行四边形；③有三个面为等腰直角三角形，有一个面为等边三角形的四面体；④每个面都是等边三角形的四面体；⑤每个面都是直角三角形的四面体． 【互动探究】1．(2011年广东)正五棱柱中，不同在任何侧面且不同在任何底面的两顶点的连线称为它的对角线，那么一个正五棱柱对角线的条数共有()A．20条B．15条C．12条D．10条 考点2几何体的三视图例2：(2010年广东)如图13－1－4，△ABC为三角形，AA′则多面体△ABC－A′B′C′的正视图(也称主视图)是()图13－1－4 画三视图应遵循“长对正、高平齐、宽相等”的原则，即“正、俯视图一样长，正、侧视图一样高，俯、侧视图一样宽”，看得见的线条为实线，被遮挡的为虚线． 【互动探究】2．(2011年江西)将长方体截去一个四棱锥，得到的几何体如图13－1－5所示，则该几何体的左视图为() 3．(2011年全国)在一个几何体的三视图中，正视图和俯视图如图13－1－6所示，则相应的侧视图可以为()图13－1－6 考点3几何体的直观图例3：对一个三角形采用斜二测画法作其直观图时，其直观图的面积是原三角形面积的________倍( 用斜二测画法画直观图，关键是掌握水平放置的平面图形直观图的画法，而其中的关键是确定多边形顶点的位置；将直观图还原为其空间几何体时，应抓住斜二测画法的规则．45°，腰和上底长均为1的等腰梯形，则该平面图形的面积等于（）【互动探究】4．一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是一个底角为 1．要明确柱体、锥体、台体和球的定义，定义是处理问题的关键；认识和把握空间几何体的结构特征是认识几何体的基础．2．旋转体是一个平面封闭图形绕一个轴旋转生成的，一定要清楚圆柱、圆锥、圆台和球分别是由哪一种平面图形旋转形成的，从而掌握旋转体中各元素的关系，也就掌握了它们各自的性质． 4．圆锥的母线l、高h和底面圆的半径R组成直角三角形．圆锥的计算一般归结为解这个直角三角形，特别是关系式l2＝h2＋R2.5．圆台的母线l、高h和上、下底面圆的半径r、R组成直角梯形．圆台的计算一般归结为解这个直角梯形，特别是关系式l2＝h2＋(R-r)2. 6．球的截面性质：球的截面是圆面，球面被经过球心的平面截得的圆叫做球的大圆，被不经过球心的平面截得的圆叫做球的小圆；球心和截面圆心的连线垂直于截面；r＝(其中r为截面圆半径，R为球的半径，d为球心O到截面圆的距离，即O到截面圆心O1的距离)．正确理解锥体和台体的关系，台体是由平行于锥体底面的平面所截得的，“还台为锥”是处理棱台和圆台的最有效手段．