高三 三视图及空间几何体的计算问题答案 李志民

三视图及空间几何体的计算问题参考答案典题探究例1【答案】D【解析】：球的三视图都是圆；三棱锥的三视图可以都是全等的三角形；正方体的三视图都是正方形；圆柱的底面放置在水平面上，则其俯视图是圆，正视图是矩形，故应选D.例2【答案】B【解析】：该三棱锥的直观图，如图所示，其中侧面PAC⊥底面ABC，PD⊥AC，AC⊥BC，可得BC⊥平面PAC，从而BC⊥PC.故S△PAC＝×5×4＝10；S△ABC＝×5×4＝10；PC＝5，所以S△PBC＝×4×5＝10；由于PB＝＝＝，而AB＝＝，故△BAP为等腰三角形，取底边AP的中点E，连接BE，则BE⊥PA，又AE＝PA＝，所以BE＝＝6，所以S△PAB＝×2×6＝6.所以所求三棱锥的表面积为10＋10＋10＋6＝30＋6.例3【答案】A【解析】：在直角三角形ASC中，AC＝1，∠SAC＝90°，SC＝2，∴SA＝＝；同理SB＝.过A点作SC的垂线交SC于D点，连接DB，因△SAC≌△SBC，故BD⊥SC，故SC⊥平面ABD，且平面ABD为等腰三角形，因∠ASC＝30°，故AD＝SA＝，则△ABD的面积为×1×＝，则三棱锥的体积为××2＝.例4【答案】38【解析】利用三视图得几何体，再求表面积．由三视图可知，该几何体是一个长方体中间挖去一个圆柱，其中长方体的长、宽、高分别是4、3、1，中间被挖去的是底面半径为1，母线长为1的圆柱，所以几何体的表面积等于长方体的表面积减去圆柱两个底面的面积，再加上圆柱的侧面积，即为2(4×3＋4×1＋3×1)－2π＋2π＝38.演练方阵A档（巩固专练）1.【答案】D【解析】：注意BE，BG在平面CDGF上的投影为实线，且由已知长度关系确定投影位置，排除A，C选项，观察B，D选项，侧视图是指光线，从几何体的左面向右面正投影，则BG，BF的投影为虚线，故选D.2.【答案】B【解析】：由正视图及俯视图可得，在三棱锥ABCD中，平面ABD⊥8耐心细心责任心 平面BCD，该几何体的侧视图是腰长为＝的等腰直角三角形，其面积为×2＝.3.【答案】：C【解析】：解析 由三视图还原的几何体为两底面为等腰梯形的直棱柱，梯形的面积为(2＋8)×4＝20，所以棱柱的体积为20×10＝200.4.【答案】：B【解析】： 由四棱台的三视图可知该四棱台的上底面是边长为1的正方形，下底面是边长为2的正方形，高为2.由棱台的体积公式可知该四棱台的体积V＝(12＋＋22)×2＝，故选B.5.【答案】：D【解析】：由正视图和俯视图可知，该几何体可能是四棱柱或者是水平放置的三棱柱，或水平放置的圆柱．由图象可知四棱柱的体积最大．四棱柱的高为1，底面边长分别为1,3，所以表面积为2(1×3＋1×1＋3×1)＝14.6.【答案】：1∶24【解析】：设三棱柱A1B1C1-ABC的高为h，底面三角形ABC的面积为S，则V1＝×S·h＝Sh＝V2，即V1∶V2＝1∶24.7.【答案】：16π【解析】：该几何体是从一个球体中挖去个球体后剩余的部分，所以该几何体的表面积为×(4π×22)＋2×＝16π.8.【答案】：【解析】：在Rt△ASC中，AC＝1，∠SAC＝90°，SC＝2，所以SA＝＝.同理，SB＝.过A点作SC的垂线交SC于D点，连接DB，因为△SAC≌△SBC，故BD⊥SC，AD＝BD，故SC⊥平面ABD，且△ABD为等腰三角形．因为∠ASC＝30°，故AD＝SA＝，则△ABD的面积为×1×8耐心细心责任心 ＝，则三棱锥S-ABC的体积为××2＝.9.【解析】：由已知可得，该几何体是一个底面为矩形，高为4，顶点在底面的射影是矩形中心的四棱锥EABCD.(1)V＝×(8×6)×4＝64.(2)四棱锥EABCD的两个侧面EAD，EBC是全等的等腰三角形，且BC边上的高h1＝＝4；另两个侧面EAB，ECD也是全等的等腰三角形，AB边上的高h2＝＝5.因此S＝2×＝40＋24.10.【解析】(1)证明 ∵EA＝ED且EE′⊥平面ABCD，∴E′D＝E′A，∴点E′在线段AD的垂直平分线上．同理，点F′在线段BC的垂直平分线上．又四边形ABCD是正方形，∴线段BC的垂直平分线也就是线段AD的垂直平分线，即点E′、F′都在线段AD的垂直平分线上．∴直线E′F′垂直且平分线段AD.(2)解 如图，连接EB、EC，由题意知多面体ABCDEF可分割成正四棱锥EABCD和正四面体EBCF两部分．设AD的中点为M，在Rt△MEE′中，由于ME′＝1，ME＝，∴EE′＝.∴VEABCD＝·S正方形ABCD·EE′＝×22×＝.又VEBCF＝VCBEF＝VCBEA＝VEABC＝S△ABC·EE′＝××22×＝，∴多面体ABCDEF的体积为VEABCD＋VEBCF＝2.B档（提升精练）8耐心细心责任心 1.【答案】：D2.【答案】：B3.【答案】：B4.【答案】：B5.【答案】：D6.【答案】：37.【答案】：8【解析】：(1)因为△PAB是等边三角形，所以PB＝PA.因为∠PAC＝∠PBC＝90°，PC＝PC，所以Rt△PBC≌Rt△PAC，所以AC＝BC.如图，取AB中点D，连接PD、CD，则PD⊥AB，CD⊥AB，又PD∩CD＝D，所以AB⊥平面PDC，PC⊂平面PDC，所以AB⊥PC.(2)作BE⊥PC，垂足为E，连接AE.因为Rt△PBC≌Rt△PAC，所以AE⊥PC，AE＝BE.由已知，平面PAC⊥平面PBC，故∠AEB＝90°.因为∠AEB＝90°，∠PEB＝90°，AE＝BE，AB＝PB，所以Rt△AEB≌Rt△BEP，所以△AEB、△PEB、△CEB都是等腰直角三角形．由已知PC＝4，得AE＝BE＝2，△AEB的面积S＝2.因为PC⊥平面AEB.所以三棱锥PABC的体积V＝·S·PC＝.9【解析】：(1)证明 由条件知四边形PDAQ为直角梯形．因为QA⊥平面ABCD，所以平面PDAQ⊥平面ABCD，交线为AD.又四边形ABCD为正方形，DC⊥AD，所以DC⊥平面PDAQ，可得PQ⊥DC.在直角梯形PDAQ中可得DQ＝PQ＝PD，则PQ⊥QD.又DQ∩DC＝D，所以PQ⊥平面DCQ.(2)解 设AB＝a.由题设知AQ为棱锥QABCD的高，所以棱锥QABCD的体积V1＝a3.由(1)知PQ为棱锥PDCQ的高，而PQ＝a，△DCQ的面积为a2，所以棱锥PDCQ的体积V2＝a3.故棱锥QABCD的体积与棱锥PDCQ的体积的比值为1.10【解析】(1)证明 因为E，F分别为正方形ABCD的两边BC，AD的中点，所以BE=FD，即BEDF为平行四边形，8耐心细心责任心 ∴ED∥FB，∵FB⊂平面PFB，且ED⊄平面PFB，∴DE∥平面PFB.(2)解 以D为原点，直线DA，DC，DP分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系．如图，设PD＝a，可得如下点的坐标P(0,0，a)，F(1,0,0)，B(2,2,0)．则有＝(1,0，－a)，＝(1,2,0)．因为PD⊥底面ABCD，所以平面ABCD的一个法向量为m＝(0,0,1)．设平面PFB的法向量为n＝(x，y，z)，则可得即令x＝1,得z＝，y＝－，所以n＝.由已知二面角P-BF-C的余弦值为，所以得cos〈m，n〉＝＝，∴a＝2，∴VP－ABCD＝×2×2×2＝.C档（跨越导练）1.【答案】C2.【答案】B3.【答案】B4.【答案】5.【答案】8耐心细心责任心 6.【答案】18【解析】该几何体是由二个长方体组成，下面体积为，上面的长方体体积为，因此其几何体的体积为187.【答案】8.解：（1），（2）当点为的中点时，。理由如下：点分别为、PD的中点，。，（3），，，，点是的中点又9.【解析】：解：（1）在直三棱柱中，在平面上的射影为.为直线与底面所成角.，即直线与底面所成角正切值为2.（2）当E为中点时，.，即又，，，8耐心细心责任心 （3）取的中点，的中点，则∥，且，连结，设，连结，则∥，且为二面角的平面角.，∴二面角的大小为45°10.(1)证明 ∵PD⊥平面ABCD，∴PD⊥CD.又在直角梯形ABCD中，AB＝BC＝AP＝AD，AD⊥AB，∴四边形ABCD为正方形．∴CD⊥AD，又PD∩AD＝D，∴CD⊥平面PAD.又∵CD⊂平面PCD，∴平面PCD⊥平面PAD.(2)解 如图，以D为原点，分别以DC，DA，DP为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系D-xyz.D(0,0,0)，B(2,2,0)，C(2,0,0)，P(0,0,2)，则G(2,1,0)，E(1,0,1)，F(0,0,1)，故＝(－1,0,0)，＝(1,1，－1)．设平面EFG的法向量为n＝(x，y，z)，∴即得取n＝(0,1,1)平面PCD的一个法向量＝(0,2,0)，∴cos〈，n〉＝＝＝.结合图知二面角GEFD的大小为45°.8耐心细心责任心 (3)解 三棱锥DPAB的体积VDPAB＝VPDAB＝S△ABD·PD＝××2×2×2＝.8耐心细心责任心