考点一空间几何体的三视图、表面积及体积（教案）

专题五立体几何摸清规律预测考情全国卷预测2014201520162017考情2018（I卷）（I卷）分值：通过对近5年丁6（三丁7（三17-22全国高考试题视图）视图）分.分析，可以预□（异%（棱题型：测：面直线锥体选择、1•高考对立体（I卷）所成积）填空、几何的命题，（I卷）角）珊面解答仍为“两小一T6（圆锥体积）T18（线面关题.大”或“小Th（三视图）Ti9（线面垂H、二面面关系、二系、二面角）题量：一大”的形式T]g（异面直线角）两小一出现.所成角）（II卷）（II卷）丁6（三视图）面角）（II卷）大.2•这“两小”丁6（三视图）（II#）丁4（三难度：或“一小”主Th（异面直线）t6（h视图）中档题要考查三视Tg（表面积、T1M二面角、线面平体积）视图）TM异为主.图、几何体的行）T]4（空面直线考占・表面积与体Tw（空间线面间线面所成三视积，位置关系间位置关系）间位置角）图、几的判断（特别关系）%（线何体的是平行与垂T19（线面关表面积直）.面垂系、空和体积3•解答题多出直、二间向空间平现在第18或面角）量）行、垂19题的位置， （III卷）（UI卷）直关系其基本模式是丁9（三T8（圆的判定“一证明二计视图）柱体与性算”,即第（1）T】o（球）积）质，空问考查平行与皿线T]6（空间角的垂立关系的证面角）间线线计算.明，第⑵问考关系）查空间的计T19（面算.面关系、二面角）解题必备考点一空间几何体的三视图、表面积及体积运筹帷幄决胜千里1.一个物体的三视图的排列规则俯视图放在正视图的下面，长度与正视图的长度一样，侧（左）视图放在正（主）视图的右面，高度与止（主）视图的高度一样，宽度与俯视图的宽度一样，即“长对正、高平齐、宽相等”・2.（1）设长方体的相邻的三条棱长为°、b、c则体对角线长为\ja2-\-b2+c2（2）棱长为d的正方体的体对角线长等于外接球的直径，即压=2R.（3）若球面上四点P、A、B、C构成的线段朋、PB、PC两两垂直，K解题方略PB=b,PC=c,则4/?2=6f2+Z?2+c2,把有关元素“补形”成为一个球内接长方体（或其他图）.小题速解大题规范 类型一空间几何体的三视图与直观图 ［典例1］⑴如图，四面体ABCD的四个顶点是长方体的四个顶点（长方体是虚拟图形，起辅助作用），则四面体ABCD的三视图是（用①②③④⑤⑥代表图形）（）A.③④⑤C.①②③B.④⑤⑥D.①②⑥解析：利用三视图的概念逐一判断.该四面体的正视图是①，侧视图是②，俯视图是③，故选C.效家・C（2）—个几何体的三视图中，正（主）视图和侧（左）视图如图所示，则俯视图不可能为（）解析：若几何体的俯视图为C选项，则其正视图中矩形的中间应为实线，与题意不符，即俯视图不可能为C选项，故选C.答案：cI规律方法I1.由直观图确认三视图的方法 根据空间几何体三视图的定义及画法规则和摆放规则确认.2.由三视图还原到直观图的思路 （1）根据俯视图确定几何体的底面.（2）根据正（主）视图或侧（左）视图确定几何体的侧棱与侧面的特征，调整实线和虚线所对应的棱、面的位置.（3）确定几何体的直观图形状.［自我挑战］1.将右图所示的一个直角三角形ABC（ZC=90°）绕斜边AB旋转一周，所得到的几何体的正（主）视图是下面四个图形中的（）B解析：选B.由旋转过程可知，该几何体为底面重合的两个圆锥，且上面圆锥的高度大于下面圆锥的高度.2.（2017•山东日照模拟）三棱锥及其三视图中的正（主）视图和侧（左）视图如图所示，则棱SB的长为（）D・16羽解析：选B.由正视图和侧视图可知SC丄底面ABC,AABC底边4C上的高为2书,所以BC=V（2亦+2?=4得SB=^42+42=4返 解析：选B.由旋转过程可知，该几何体为底面重合的两个圆锥，且上面圆锥的高度大于下面圆锥的高度.1.（2017•山东日照模拟）三棱锥及其三视图中的正（主）视图和侧（左）视图如图所示，则棱SB的长为（）D・16羽解析：选B.由正视图和侧视图可知SC丄底面ABC,AABC底边4C上的高为2书,所以BC=V（2亦+2?=4得SB=^42+42=4返 类型二空间几何体的表面积与体积命题点1根据三视图求空间几何体的表面积与体积 D.36兀—■、[典例2]（2017-高考全国卷II）如图，网格纸上小正方形的边长为1,粗实线画岀的是某几何体的三视图，该几何体市一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为（）A.90兀C.42k解析：通解：如图所示，由几何体的三视图可知，该几何体是一个圆柱被截去上面虚线部分所得.将圆柱补全，并将圆柱从点A处水平分成上下两部分.由图可知，该几何体的体积等于下部分圆柱的体积加上上部分圆柱体积的扌，所以该几何体的体积卩=兀X32X4+7tX32X6x|=637t.故选B.优解：由题意，知几何休vg.又V圆柱=71X32X10=9071,・・・45兀＜卩几何体V90兀.观察选项可知只有63兀符合.故选B.答案：B命题点2根据几何体的结构特征求其表面积、体积[典例3]（2017-山东青岛模拟）如图，四棱锥PABCD的底面ABCD为平行四边 形，NB=2PN,则三棱锥N-PAC与三棱锥D-PAC的体积比为（）pB・1：8A・1：2C・1：6D・1：3解析：设点P,N在平面ABCD内的投影分别为点P,N,则PP丄平面ABCD,NNf2NM丄平面ABCD,所以PP//NN,则在△BPP中，由BN=2PN得帀厂=亍卩三Swc¥p=*Swc・PP,V三梭锥D-PAC=V三技锥P・ACD=qSuCD，PP'又因为四边形ABCD是平行四边形所以Shabc=Shacd,所以V^^N-PAC1V^-^D-PAC3棱锥g4C=V三棱推p-abc—V三棱锥—[S厶abc，NN"=亭mbc，(PP‘—NN)=q答案：DI规律方法I1.求解几何体的表面积及体积的技巧(1)求几何体的表面积及体积问题，可以多角度、多方位地考虑，熟记公式是关键.求三棱锥的体积，等体积转化是常用的方法，转化原则是其高易求，底面放在已知几何体的某一面上.(2)求不规则几何体的体积，常用分割或补形的方法，将不规则几何体转化为规则几何体易于求解.2.根据几何体的三视图求其表面积与体积的三个步骤(1)根据给出的三视图判断该几何体的形状.(2)由三视图中的大小标示确定该几何体的各个度量.(3)套用相应的面积公式与体积公式计算求解.［自我挑战］1.(2017-浙江温州调研)某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积是 侧（左）视图2►正（主）视图俯视图D.5解析：选C.由三视图还原几何体如图所示.书=2+2诉.故选C.2.（2017•山东泰安质检）如图，在棱长为6的正方体ABCD-AXBXCXDX中，E,F分别在CQi与GB]上，且GE=4,CiF=3,连接EF,FB,DE,BD,则儿何体EFC}-DBC的体积为（）A・66C・70B.68D・72解析：选A.如图，连接DF,DC]9则几何体EFCrDBC被分割成三棱锥D-EFC） 及四棱锥D-CBFCX,所以几何体EFC\・DBC的体积为V=|x|x3X4X6+|x|X（3+6）X6X6=12+54=66.故所求几何体EFC^DBC的体积为66.类型三与球有关的组合体的计算问题［典例4］⑴已知A,B是球0的球面上两点，ZAOB=90°,C为该球面上的动点.若三棱锥O-ABC体积的最大值为36,则球0的表面积为（）A.3671B.6471C.144兀D.256兀解析：通解：画出球的直观图，利用锥体的体积公式求解.如图，设球的半径为R,VZAOB=90°9:・Suob=^^•Vo-ABC=Vc-AOB,而△AOB面积为定值，•••当点C到平面AOB的距离最大时，最大，・••当C为与球的犬圆面A垂直的直径的端点时，体积Vo-abc最大为=36,.•.R=6,・••球O的表面积为4兀尸=47以62=144兀.优解：设球的半径为几则VO-abc=^x2X=36,故r=6.故5球=4兀/=144ti.答案:C ⑵（2017•山东潍坊模拟）若球与棱长均为3的三棱锥各条棱都相切，则该球的表面积为 解析：将棱长均为3的三棱锥放入正方体，如图，因为球与三棱锥各条棱都相切，所以该球是正方体的内切球，切正方体的各个面于中心，而这此切点恰好33是三棱锥各条棱与球的切点，由此可得正方体的棱长为評，即该球的直径为㊁边，半径厂=韦了，所以该球的表面积为S=47t/=芫［母题变式］若把本例题(2)条件“与棱长均为3的三棱锥各条棱都相切”变为“与棱长均为3的三棱锥各面都相切”则结果如何？解：设该球的球心为0,三棱锥为A-BCD,依题意可知：^A-BCD=以?・3仞+Vo・CDa+^O^DABj•厂+[ShbCD即亭厶BCD'h=CDA•厂+[S厶DAB”.所以*普灯普X3=|x^X32t+|x^X32t+|x^X32t+|x^X32t.所以该球的表面积为S=47t(¥j2=号兀.I规律方法I多面体与球接、切问题的求解技巧1.涉及球与棱柱、棱锥的切、接问题时，一般过球心及多面体中的特殊点(一般为接、切点)或线作截面，把空间问题转化为平面问题，再利用平面几何知识寻 找几何体中元素间的关系，或只画内接、外切的几何体的直观图，确定球心的位置，弄清球的半径（直径）与该几何体已知量的关系，列方程（组）求解.1.若球面上四点P,4,B,C构成的三条线段B4,PE,PC两两互相垂直，且PA=a,PB=b,PC=c,一般把有关元素“补形”成为一个球内接长方体，则4/?2=tz2+Z?2+c2求解.［自我挑战］1.（2017-高考全国卷III）已知圆柱的高为1,它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为（）a,3兀A・7CB.-^-C-2l兀D4解析：选B由题可知球心在圆柱体中心，圆柱体上下底面圆半径厂=—怎=更_2'33兀则圆柱体体积V=7ir2/l=^7lX1=才，故选B.2.（2017•山西太原模拟）三棱锥P-ABC中，AB=BC=y［15,AC=6,PC丄平面ABC,PC=2,则该三棱锥的外接球表面积为（）^25B亍^833兀D.83T71解析：选D.由题可知，AABC中AC边上的高h=\l\5-32=&，球心O在底面ABC上的投影即为ZkABC的外心D,ilDA=DB=DC=x,所以x2=32+（V6- 兀）2,解得兀=糸伍，所以R2=/+1=等（其中R为三棱锥外接球的半oa走进高考径），所以外接球的表面积S=47t7?2=y7r.实战演练素养提升1.（2017-高考全国卷I）某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为2,俯视图为等腰直角三角形•该多面体的各个面中有若干是梯形，这些梯形的面积之和为（）A.10B・12C.14D・16解析：选B.由三视图可画出立体图如图所示,正视方向该立体图平面内只有两个相同的梯形，且这两个梯形全等，梯形的上底长为2,下底长为4,高为2,故梯形的面积之和为2x|x（2+4）X2=12.2.（2016-高考全国卷II）如图是itl圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为（） A.2071C.28kB・24兀D.32兀解析：选C.几何体是圆锥与圆柱的组合体，设圆柱底面圆半径为厂，周长为c,圆锥母线长为圆柱高为仕由图得r=2,c=2兀厂=4兀，力=4,由勾股定理得:/=^/22+（2^3）2=4,S表=兀厂2+刃+老7=4兀+16兀+8兀=28兀・1.（2016-高考全国卷III）如图，网格纸上小正方形的边长为1,粗实线画岀的是某多面体的三视图，则该多面体的表而积为（）A.18+36书C・90解析：选B.根据三视图可知原几何体是一个底面为正方形的斜四棱柱，如图所示，上下底面为边长为3的正方形，左右为底边长为3,侧棱为3书的矩形，前后为底边为3,侧棱为3书的平行四边形，且底边上的高为6,所以5=9+9+18+18+975+9^5=54+1875・ 1.（2016-高考北京卷）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（）止（主）视图侧厲加图—If俯视图AlBlC2D・*1解析：选A•由三视图可画出三棱锥的直观图如图所示，其底面是等腰直角三角形ACB,直角边长为1,三棱锥的高为1,故体积为U=|x|xixixi=|.故选A.2.（2017-高考全国卷I）已知三棱锥S-ABC的所有顶点都在球O的球面上，SC是球O的直径.若平面SCA丄平面SCB,SA=AC,SB=BC,三棱锥S-ABC的体积为9,则球O的表面积为・解析：如图，取SC的中点O,连接OA,OB因为SA=AC9SB=BC,SC为球0的直径，所以04丄SC,OB丄SC因为平面SAC丄平面SBC,平面SCAQ平面SCB=SC,所以OA丄平面SBC.设OA=r,OB=r,SC=2r,Va-sbc=^S^sbcOA=^X—X2rXrXr=^r3 12所以尹'=96=3所以球的表面积为4兀,=36兀・答案：36兀