空间几何体的三视图与直观图、表面积和体积

新课标高中一轮总复习 第九单元直线、平面、简单几何体和空间向量 知识体系 考纲解读1.空间几何体.(1)认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征，并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构.(2)能画出简单空间图形（长方体、球、圆锥、棱柱等简易组合）的三视图,能识别上述的三视图所表示的立体模型,会用斜二测画法画出它们的直观图. (3)会用平行投影与中心投影两种方法，画出简单空间图形的三视图与直观图，了解空间图形的不同表示形式.(4)会画某些建筑物的视图与直观图（在不影响图形特征的基础上，尺寸、线条等不作严格要求）.(5)了解球、柱、锥、台的表面积和体积的计算公式（不要求记忆公式）.2.点、直线、平面之间的位置关系.(1)理解空间直线、平面位置关系的定义，并了解如下可以作为推理依据的公理和定理. 公理１：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点在此平面内.公理２：过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面.公理３：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么他们有且只有一条过该点的公共直线.公理４：平行于同一条直线的两条直线互相平行. 定理：空间中如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补.(2)以立体几何的上述定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面平行、垂直的有关性质与判定.理解以下判定定理:①如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行.②如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面都平行，那么这两个平面平行. ③如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，那么该直线与此平面垂直.④如果一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面互相垂直.理解以下性质定理，并能够证明.①如果一条直线与一个平面平行，经过该直线的任一个平面与此平面相交，那么这条直线就和交线平行.②如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么他们的交线相互平行. ③垂直于同一个平面的两条直线平行.④如果两个平面垂直,那么一个平面内垂直于他们交线的直线与另一个平面垂直.(3)能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间位置关系的简单命题.3.空间直角坐标系.(1)了解空间直角坐标系，会用空间直角坐标表示点的位置.(2)会推导空间两点间的距离公式. 4.空间向量与立体几何.(1)空间向量及其运算.①了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示.②掌握空间向量的线性运算及其坐标表示.③掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能运用向量的数量积判断向量的共线与垂直.(2)空间向量的应用.①理解直线的方向向量与平面的法向量. ②能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直、平行关系.③能用向量方法证明有关直线和平面位置关系的一些定理（包括三垂线定理）.④能用向量方法解决直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角的计算问题,了解向量方法在研究几何问题中的作用. 第59讲空间几何体的三视图与直观图、表面积和体积 1.了解柱、锥、台、球的概念、性质及他们之间的关系，能识别柱、锥、台、球的结构特征；2.能识别各种简单几何体和简单组合体的三视图，并会用斜二测画法画出他们的直观图.能进行三视图与直观图的相互转化.3.了解柱、锥、台、球的表面积和体积的计算公式，并能运用这些公式解决相关问题. 1.下列说法中正确的是()DA.有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱B.用一个平面去截一个圆锥，可以得到一个圆台和一个圆锥C.有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥D.将一个直角三角形绕其一条直角边旋转一周，所得圆锥的母线长等于斜边长由棱柱、圆锥、棱锥的定义知，A、B、C不正确，故选D. 2.已知正三角形ABC的边长为a,那么△ABC的平面直观图△A′B′C′的面积为()DA.a2B.A2C.a2D.a2如图，图①、图②所示的分别是实际图形和直观图. 从图②可知，A′B′=AB=a,O′C′=OC=a,所以C′D′=O′C′sin45°=a，所以S△A′B′C′=A′B′·C′D′=·a·a=a2,故选D. 3.某几何体的直观图如图所示,该几何体的主(正)视图和左(侧)视图都正确的是()BA.B.C.D.主视图应有一条实对角线,且对角线应向上到下,左视时,看到一个矩形,且不能有实对角线,故淘汰A、D，故选B. 4.如图是一个空间几何体的三视图，若它的体积是3，则a=.由三视图可知几何体为一个直三棱柱,底面三角形中,边长为2的边上的高为a,则V=3××2×a=3，所以a=. 1.柱、锥、台、球的结构特征几何体几何特征图形表面积、体积多面体棱柱有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行S表面积=S底+S侧V=①.(h为棱柱的高)棱锥有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形S表面积=S底+S侧V=②.(h为棱锥的高)棱台用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分，叫做棱台S表面积=S上底+S下底+S侧V＝V大四棱锥-V小四棱锥S底hS底h 旋转体圆柱以矩形的一边所在的直线为旋转轴，其余三边旋转形成的面所围成的旋转体叫做圆锥S表面积＝S底+S侧=③.V=④.圆锥直角三角形的一直角边所在的直线为旋转轴，其余两边旋转形成的面所围成的旋转体叫做圆锥S表面积=⑤.V=⑥.2π(R2+RhπR2hπR2+πRπR2h 旋转体圆台用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面与截面之间的部分，叫做圆台S表面积=S大圆锥-S小圆锥V=V大圆锥-V小圆锥球以半圆的直径所在的直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的旋转体叫做球体S表面积=⑦.V=⑧.4πR2πR3 2.三视图与直观图(1)我们把光由一点向外散射形成的投影，叫做⑨;在一束平行光照射下形成的投影，叫做⑩.在平行投影中，投影线正对着投影面时，叫做正投影，否则叫做斜投影.(2)空间几何体的三视图:光线从几何体的前面向后面正投影得到的投影图叫做几何体的;光线从几何体的左面向右面正投影得到的投影图叫做几何体的;光线从几何体的上面向下面正投影得到的投影图叫做几何体的.中心投影平行投影11正视图12侧视图13俯视图 (3)画三视图的基本要求是.高度一样,长度一样,.宽度一样.(4)斜二测画法的规则①在已知图中建立直角坐标系xOy，画直观图时，它们分别对应x′轴和y′轴，两轴交于点O′，使∠x′O′y′＝45°，它们确定的平面表示水平面.14正视图和侧视图15俯视图和正视图16图和俯视图侧视 ②已知图形中平行于x轴或y轴的线段在直观图中分别画成.③已知图形中平行于x轴的线段的长度，在直观图中;平行与y轴的线段的长度,在直观图中,长度为.17平行于x′轴或y′轴18长度不变19原来的一半 题型一三视图与直观图例1一个空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为()A.2π+2B.4π+2C.2π+D.4π+C 本例题型的切入点和基本策略是将三视图还原成空间几何体，必要时作出直观图.该空间几何体为一个圆柱和一个正四棱锥构成的组合体.圆柱的底面半径为1,高为2,故其体积为2π.四棱锥的底面边长为，高为，所以其体积为×()2×=.所以该几何体的体积为2π+.选C 1.三视图是新课标中新增的内容，要求是能画，能识别，能应用.经常与立体几何中有关的计算问题融合在一起考查，如面积、体积的计算，考查学生的空间想象能力，因此我们应对常见的简单几何体的三视图有所理解，能够进行识别和判断.2.注意三视图的特点：“正、侧一样高，正、俯一样长，俯、侧一样宽”.3.空间想象能力与多观察实物相结合是解决此类问题的关键. 已知一几何体ABCD—A′B′C′D′的正视图、侧视图和俯视图分别为图中的①②③所示.图①中的四边形DCC′D′是面积为80的矩形;图②中的四边形ABCD是一直角梯形，AB=2AD且BC=CD；且原图中CC′=2BC.请你画出该几何体的直观图(画图时、尺寸比例不做严格要求)，并求该几何体的体积. 该几何体的直观图如下图所示的图④.设AD=x,BC=y.由图④得(2x)2+(y-x)2=y2,所以2y=5x.①又由图①可知2x·2y=80.②由①②得x=2,所以AB=4,所以BC=y=x=5,CC′=10.故该几何体的体积V=S梯形ABCD·CC′=·AB·CC′=280.空间想象力与多观察实物相结合是解决此类题的关键. 题型二简单几何体的体积与表面积例2如图是一个以A1B1C1为底面的直三棱柱被一平面所截得到的几何体，截面为ABC，已知A1B1=B1C1=2，∠A1B1C1=90°，AA1=4，BB1=3，CC1=2，求该几何体的体积及截面ABC的面积. 过C作平行于底面A1B1C1的截面A2B2C2,将该几何体分割为柱和锥或将其还原为直棱柱，然后计算其体积.(方法一)过C作平行于A1B1C1的截面A2B2C,交AA1、BB1于A2、B2.由直三棱柱性质可知中B2C⊥平面ABB2A2,则V=V柱A1B1C1-A2B2C+V锥C-ABB2A2=×2×2×2+×(1+2)×2×2=6. (方法二)延长BB1、CC1到B3、C3，使得BB1=CC3=AA1.则V=V柱A1B1C1-AB3C3-V锥A-BB3C3C=×2×2×4-×(1+2)×2×2=6.在△ABC中,AB==，BC==，AC==2.则S△ABC=×2×=.处理不规则几何体的体积时，或将其分割柱、锥、台或将补体为柱、锥、台，然后计算其体积. 题型三简单组合体问题例3有一个圆锥的侧面展开图是一个半径为5，圆心角为π的扇形，在这个圆锥中内接一个高为x的圆柱.(1)求圆锥的体积；(2)当x为何值时,圆柱的侧面积最大? 由圆锥的侧面展开图，圆心角与半径的关系可求圆锥的母线长，底面半径和高.内接圆柱的侧面积是高x的函数，再用代数方法求最值.(1)因为圆锥侧面展开图的半径为5,所以圆锥的母线长为5.设圆锥的底面半径为r，则2πr=5×,所以r=3,则圆锥的高为4,故体积V=πr2×4=12π. (2)右图为轴截面图，这个图为等腰三角形中内接一个矩形.设圆柱的底面半径为y,则=，得y=3-x.圆柱的侧面积S(x)=2π(3-x)x=π(4x-x2)=π［4-(x-2)2］(0＜x＜4).当x=2时，S(x)有最大值6π.所以当圆柱的高为2时，有最大侧面积6π.旋转体的接、切问题常考虑其相应轴截面内的接、切情况，实际是把空间图形平面化. 一球与边长为2的正方体的各棱相切,则球的表面积是,体积是.正方体相对棱之间的距离为球的直径2R.则有2R=2,所以R=,所以S球=4πR2=8π,V球=πR3=π.8ππ 如图，三棱柱ABC-A1B1C1中，底面是边长为a的正三角形，侧棱长也为a,且∠A1AB=∠A1AC=60°.(1)证明:三棱锥A1-ABC是正三棱锥；(2)证明:三棱柱的侧面BCC1B1是矩形；(3)求棱柱的侧面积. 有关几何图形的证明，应紧扣其定义和已知进行探索.(1)证明:因为∠A1AC=∠A1AB=60°,又因为A1A=AC=AB=a,所以A1B=A1C=a,故A1-ABC是棱长为a的正四面体，所以A1-ABC是正三棱锥. (2)证明：设顶点A1在底面ABC的射影为O，连接AO并延长与BC相交于点D.因为AD⊥BC,且AD是AA1在底面ABC的射影，所以AA1⊥BC.又因为AA1∥CC1,所以CC1⊥BC,故平行四边形BCC1B1是矩形.(3)S侧=SACC1A1+SABB1A1+S矩形BCC1B1=2·a2·sin60°+a·a=(1+)a2.由于给出的棱柱不是正棱柱,所以在求侧面积时,应对每一个侧面的面积分别进行计算.本题的易错点是对侧面形状判断出错. 1.充分熟记柱、锥、台、球的概念及其结构特征，并能善于运用这些特征描述简单物体的结构.2.三视图的识别规则是：“正、侧同高,正、俯同长,俯、侧同宽”.3.要用联系的观点来认识柱、锥、台、球的性质，在给出相关体积、表面积公式的前提下能准确计算其体积和表面积.4.将空间问题转化化归为平面图形问题是解决立体几何问题的最基本、最常用的方法. 学例1(2007·江苏卷)将正三棱柱截去三个角(如图1所示，A、B、C分别是△GHI三边的中点)得到几何体如图2，则该几何体按图2所示方向的侧视图(或称左视图)为() 因为EFD-HIG是正三棱锥，且AE在平面EG中，所以在侧视图(左视图)中,AE应为竖直的，选A. 学例2(2009·辽宁卷)设某几何体的三视图如下（长度单位为m):则该几何体的体积为m3.4 由三视图可知原几何体是一个三棱锥(其直观图如右),且该三棱锥高为2,底面三角形一边为4,且该边上的高为3,故该几何体体积V=16×2×4×3=4. 本节完，谢谢聆听立足教育，开创未来