高中数学空间几何体的结构及其三视图和直观

第一节 空间几何体的结构及其三视图和直观图 1．多面体的结构特征(1)棱柱的侧棱都____________，上下底面是_______的多边形．(2)棱锥的底面是任意多边形，侧面是有一个_________的三角形．(3)棱台可由_____________的平面截棱锥得到，其上下底面是相似多边形．互相平行全等公共顶点平行于底面 2．旋转体的形成几何体旋转图形旋转轴圆柱矩形__________所在的直线圆锥直角三角形_____________所在的直线圆台直角梯形______________所在的直线球半圆________所在的直线任一边任一直角边垂直于底边的腰直径 3.空间几何体的三视图(1)三视图的名称几何体的三视图包括：_______、________、_______．(2)三视图的画法①在画三视图时，重叠的线只画一条，挡住的线要画成虚线．②三视图的正视图、侧视图、俯视图分别是从几何体的______方、______方、______方观察几何体的正投影图．正视图侧视图俯视图正前正左正上 4．空间几何体的直观图空间几何体的直观图常用________画法来画，其规则是(1)原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直，直观图中，x′轴，y′轴的夹角为_____________，z′轴与x′轴和y′轴所在平面_______．(2)原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍________________．平行于x轴和z轴的线段在直观图中保持原长度_______，平行于y轴的线段长度在直观图中______________________．斜二测45°或135°垂直平行于坐标轴不变长度为原来的一半 1．有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形，由这些面围成的几何体是棱柱吗？【提示】满足条件的几何体不一定是棱柱．如图所示．2．空间几何体的正视图、侧视图、俯视图的长、宽、高之间有怎样的关系？【提示】正视图与侧视图的高相等，正视图与俯视图的长相等，侧视图与俯视图的宽相等，即“正侧一样高，正俯一样长，俯侧一样宽”． 1．(人教A版教材习题改编)关于空间几何体的结构特征，下列说法不正确的是()A．棱柱的侧棱长都相等B．棱锥的侧棱长都相等C．三棱台的上、下底面是相似三角形D．有的棱台的侧棱长都相等【解析】根据棱锥的结构特征知，棱锥的侧棱长不一定都相等．【答案】B 2．如图7－1－1，下列几何体各自的三视图中，有且仅有两个视图相同的是() A．①②B．②③C．②④D．③④【解析】由几何体的结构可知，只有圆锥、正四棱锥两几何体的正视图和侧视图相同，且不与俯视图相同．【答案】C 3．用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图为如图7－1－2所示的一个正方形，则原来的图形是() 【解析】根据斜二测画法的规则知，选A.【答案】A 4．若某几何体的三视图如图7－1－3所示，则这个几何体的直观图可以是() 【解析】根据正视图与俯视图可排除A、C，根据侧视图可排除D.故选B.【答案】B 【解析】由于该几何体的正视图和侧视图相同，且上部分是一个矩形，矩形中间无实线和虚线，因此俯视图不可能是D.【答案】D 下列结论中正确的是()A．各个面都是三角形的几何体是三棱锥B．以三角形的一条边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫圆锥C．棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则该棱锥可能是六棱锥D．圆锥的顶点与底面圆周上的任一点的连线都是母线 【思路点拨】根据常见几何体的结构特征，借助于常见的几何模型进行判断．【尝试解答】当一个几何体由具有相同的底面且顶点在底面两侧的两个三棱锥构成时，尽管各面都是三角形，但它不是三棱锥，故A错误；若三角形不是直角三角形或是直角三角形但旋转轴不是直角边所在直线，所得几何体就不是圆锥，B错误；若六棱锥的所有棱都相等，则底面多边形是正六边形，由几何图形知，若以正六边形为底面，则棱长必然要大于底面边长，故C错误．【答案】D 1．关于空间几何体的结构特征辩析关键是紧扣各种空间几何体的概念，要善于通过举反例对概念进行辩析，即要说明一个命题是错误的，只需举一个反例即可．2．圆柱、圆锥、圆台的有关元素都集中在轴截面上，解题时要注意用好轴截面中各元素的关系．3．既然棱(圆)台是由棱(圆)锥定义的，所以在解决棱(圆)台问题时，要注意“还台为锥”的解题策略． 下列说法中正确的是()①在正方体上任意选择4个不共面的顶点，它们可能是正四面体的4个顶点；②用一个平面去截棱锥，底面和截面之间的部分叫棱台；③棱台的侧面是等腰梯形；④棱柱的侧面是平行四边形．A．①④B．②③C．①③D．②④【解析】用平行于底面的平面去截棱锥，底面和截面之间的部分才叫棱台，且棱台的侧面是梯形，但并不一定是等腰梯形，故②③错误．【答案】A (2013·潍坊模拟)某四面体的三视图如图7－1－5所示，该四面体四个面的面积中最大的是() 【思路点拨】根据几何体的三视图确定几何体的形状，并画出几何体的直观图，标示已知线段的长度，最后求各个面的面积确定最大值．【尝试解答】将三视图还原成几何体的直观图，如图所示．由三视图可知，四面体的四个面都是直角三角形，面积分别为6，8，10，，所以面积最大的是10.【答案】C 1．解答此类题目的关键是由多面体的三视图想象出空间几何体的形状并画出其直观图．2．三视图中“正侧一样高、正俯一样长、俯侧一样宽”，因此，可以根据三视图的形状及相关数据推断出原几何图形中的点、线、面之间的位置关系及相关数据． (2013·金华模拟)若某几何体的三视图如图7－1－6所示，则这个几何体的直观图可以是() 【解析】从俯视图看，B和D符合，从正视图看D符合，从侧视图看D也是符合的，故选D.【答案】D 如图7-1-7所示，四边形A′B′C′D′是一水平放置的平面图形的斜二测画法的直观图，在斜二测直观图中，四边形A′B′C′D′是一直角梯形，A′B′∥C′D′，A′D′⊥C′D′，且B′C′与y′轴平行，若A′B′＝6，D′C′＝4，A′D′＝2，求这个平面图形的实际面积．【思路点拨】逆用斜二测画法得到实际图形，求出相应的边长，进而求出面积． 如图7－1－8所示，△A′B′C′是△ABC的直观图，且△A′B′C′是边长为a的正三角形，求△ABC的面积． 三视图的长度特征：“长对正，宽相等，高平齐”，即正视图和侧视图一样高，正视图和俯视图一样长，侧视图和俯视图一样宽．若相邻两物体的表面相交，表面的交线是它们的分界线，在三视图中，要注意实、虚线的画法． 1.正棱柱：侧棱垂直于底面的棱柱叫做直棱柱，底面是正多边形的直棱柱叫做正棱柱．反之，正棱柱的底面是正多边形，侧棱垂直于底面，侧面是矩形．2．正棱锥：底面是正多边形，顶点在底面的射影是底面正多边形的中心的棱锥叫做正棱锥．特别地，各棱均相等的正三棱锥叫正四面体． 从近两年高考试题来看，高考的重点是简单几何体与三视图之间的关系以及三视图与实物图之间的相互转化，题型以客观题为主，考查对简单几何体结构特征的掌握及空间想象能力．在画空间几何体的三视图时，忽视轮廓线、边界线或实、虚不分是常见错误． 易错辨析之十一 画三视图忽视边界线及其实虚致误(2012·陕西高考)将正方体(如图(1)所示)截去两个三棱锥，得到如图(2)所示的几何体，则该几何体的左视图为() 【错解】错解一由几何体知，AD1是边界线，投影到正方体右侧面上恰为正方形的对角线，故选D.【答案】D错解二由几何体知，AD1、B1C都是边界线，投影到正方体右侧面后恰为正方形的对角线，故选C.【答案】C 错因分析：(1)错解一忽视了B1C也是边界线导致错误答案．(2)错解二虽然注意了B1C是边界线，但忽视了其不可视，在左视图中应为虚线，从而造成错误答案．防范措施：(1)在确定边界线时，要先分析几何体由哪些面组成，从而可确定边界线，其次要确定哪些边界线投影后与轮廓线重合，哪些边界线投影后与轮廓线不重合，不重合的是我们要在三视图中画出的．(2)在画三视图时，首先确定几何体的轮廓线，然后再确定面与面之间的边界线，再根据是否可视确定实虚． 【正解】还原正方体后，将D1，D，A三点分别向正方体右侧面作垂线．D1A的射影为C1B，且为实线，B1C被遮挡应为虚线．【答案】B 1．(2012·福建高考)一个几何体的三视图形状都相同、大小均相等，那么这个几何体不可以是()A．球B．三棱锥C．正方体D．圆柱 【解析】球、正方体的三视图形状都相同，大小均相等，首先排除选项A和C.对于如图所示三棱锥O－ABC，当OA、OB、OC两两垂直且OA＝OB＝OC时，其三视图的形状都相同，大小均相等，故排除选项B.不论圆柱如何放置，其三视图的形状都不会完全相同，故答案选D.【答案】D 2．(2013·长沙模拟)某几何体的正视图和侧视图均为图7－1－10甲所示，则在图7－1－10乙的四个图中可以作为该几何体的俯视图的是() A．(1)，(3)B．(1)，(3)，(4)C．(1)，(2)，(3)D．(1)，(2)，(3)，(4)【解析】若图(2)是俯视图，则正视图和侧视图中矩形的竖边延长线有一条和圆相切，故图(2)不合要求；若图(4)是俯视图，则正视图和侧视图不相同，故图(4)不合要求，故选A.【答案】A 课后作业（四十）