学业水平测试数学复习教案空间几何体概念及三视图

学业水平测试数学复习学案第15课时空间几何体概念及三视图一．知识梳理1、空间几何体的结构特征（1）直棱柱：指的是侧棱垂直于底面的棱柱，当底面是正多边形时，这样的直棱柱叫正棱柱；（2）正棱锥：指的是底面是正多边形，且顶点在底面的射影是底面的中心的棱锥。特别地，各条棱均相等的正三棱锥又叫正四面体；（3）平行六面体：指的是底面为平行四边形的四棱柱。2、棱锥的几何性质（1）如果棱锥被平行于底面的平面所截，那么截面和底面相似，并且它们面积的比等于截得的棱锥的高与已知棱锥的高的平方比（2）正棱锥的高、侧棱及其在底面的射影、斜高及其在底面的射影、底面边长的一半可组成四个直角三角形3、三棱锥的顶点射影在底面位置4、旋转体的面积和体积公式名称圆柱圆锥圆台球S侧2πrlπrlπ(r1+r2)l4πR2Vπr2hπr2hπh(r21+r1r2+r22)πR36．正四面体的性质设正四面体的棱长为a，则这个正四面体的(1)全面积：S全=a2(2)体积：V=a3(3)内切球半径：r=a(4)外接球半径R=a；7、球的截面性质用一个平面去截一个球，截面是圆面.(1)过球心的截面截得的圆叫做球的大圆；不经过球心的截面截得的圆叫做球的小圆；(2)球心与截面圆圆心的连线垂直于截面；(3)球心和截面距离d,球半径R，截面半径r有关系：r=.（4）球面上两点之间的最短距离，就是经过两点的大圆在这两点间的一段劣弧的长度，我们把这个弧长叫做两点的球面距离8、几何体的三视图的排列规则：俯视图放在正视图的下面，长度与正视图一样，侧视图放在正视图右面，高度与正视图一样，宽度与俯视图一样，即“长对正，高平齐，宽相等”注意虚、实线的区别二．课前自测 1、如图表示一个正方体表面的一种展开图，图中的四条线段AB、CD、EF和GH在原正方体中相互异面的有对.解析：相互异面的线段有AB与CD，EF与GH，AB与GH3对.2.将一个长方体沿从同一个顶点出发的三条棱截去一个棱锥,棱锥的体积与剩下的几何体的体积之比为()A.1:2B.1:3C.1:4D.1:5解析:设长方体同一顶点引出的三条棱长分别是a,b,c,则棱锥的体积V1=×abc=abc.长方体的体积V=abc,剩下的几何体的体积为V2=abc-abc,所以V1:V2=1:5,故选D.答案:D3.已知几何体的三视图如图所示,它的表面积是() 解析:该几何体为直三棱柱,其表面积为2××1×1+2×12+×1=3+,选C.答案:C4、已知过球面上三点的截面和球心的距离为球半径的一半，且，球的表面积是。解：设截面圆心为，连结，设球半径为，则，在中，，∴，∴，∴。5、下列命题中，假命题是（1）（3）。（选出所有可能的答案）（1）有两个面互相平行，其余各个面都是平行四边形的多面体是棱柱（2）四棱锥的四个侧面都可以是直角三角形 （3）有两个面互相平行，其余各面都是梯形的多面体是棱台（4）若一个几何体的三视图都是矩形，则这个几何体是长方体分析：准确理解几何体的定义，真正把握几何体的结构特征是解决概念题的关键。（1）中将两个斜棱柱对接在一起就是反例。（3）中是不是棱台还要看侧棱的延长线是否交于一点。三．典例解析【例1】如图所示，球面上有四个点P、A、B、C，如果PA，PB，PC两两互相垂直，且PA=PB=PC=a，求这个球的表面积。解析：如图，设过A、B、C三点的球的截面圆半径为r，圆心为O′，球心到该圆面的距离为d。在三棱锥P—ABC中，∵PA，PB，PC两两互相垂直，且PA=PB=PC=a,∴AB=BC=CA=a,且P在△ABC内的射影即是△ABC的中心O′。由正弦定理，得=2r,∴r=a。又根据球的截面的性质，有OO′⊥平面ABC，而PO′⊥平面ABC，∴P、O、O′共线，球的半径R=。又PO′===a，∴OO′=R－a=d=,(R－a)2=R2–(a)2，解得R=a,∴S球=4πR2=3πa2。点评：本题也可用补形法求解。将P—ABC补成一个正方体，由对称性可知，正方体内接于球，则球的直径就是正方体的对角线，易得球半径R=a,下略。【练习1】（1）棱长为2的正四面体的四个顶点都在同一个球面上，若过该球球心的一个截面如图所示，求图中三角形（正四面体的截面）的面积。 思路解析：截面过正四面体的两顶点及球心，则必过对棱的中点。解答：如图，ΔABE为题中的三角形，由已知得AB=2，BE=，BF=，∴AF=，∴ΔABE的面积为（2）半球内有一个内接正方体，正方体的一个面在半球的底面圆内，若正方体棱长为，求球的表面积和体积。（2）作轴截面如图所示， ，，设球半径为，则∴，∴，。【练习2】．在北纬圈上有两点，设该纬度圈上两点的劣弧长为（为地球半径），求两点间的球面距离。解：设北纬圈的半径为，则，设为北纬圈的圆心，，∴，∴，∴，∴，∴中，，所以，两点的球面距离等于．点评：要求两点的球面距离，必须先求出两点的直线距离，再求出这两点的球心角，进而求出这两点的球面距离。【例2】．如图，三棱柱ABC—A1B1C1中，若E、F分别为AB、AC的中点，平面EB1C1将三棱柱分成体积为V1、V2的两部分，那么V1∶V2=_____。解：设三棱柱的高为h，上下底的面积为S，体积为V，则V=V1+V2＝Sh。∵E、F分别为AB、AC的中点，∴S△AEF=S, V1=h(S+S+)=ShV2=Sh-V1=Sh，∴V1∶V2=7∶5。【练习1】．．一个长方体共一顶点的三个面的面积分别是，这个长方体对角线的长是（）A．2B．3C．6D．解析：设长方体共一顶点的三边长分别为a=1，b＝，c＝，则对角线l的长为l=；答案D。〖练习2〗有一根长为3πcm,底面半径为1cm的圆柱形铁管，用一段铁丝在铁管上缠绕2圈，并使铁丝的两个端点落在圆柱的同一母线的两端，则铁丝的最短长度为多少？思路解析：把圆柱沿这条母线展开，将问题转化为平面上两点间的最短距离。解答：把圆柱侧面及缠绕其上的铁丝展开，在平面上得到矩形ABCD（如图），由题意知BC=3πcm，AB=4πcm，点A与点C分别是铁丝的起、止位置，故线段AC的长度即为铁丝的最短长度。AC=5πcm，故铁丝的最短长度为5πcm。【例3】．一个正三棱柱的三视图如图所示,求这个三棱柱的表面积和体积. 分析:由几何体的三视图,画出原几何体的直观图,然后求解即可.解:由三视图易知,该正三棱柱的形状如图所示.可知AA′=BB′=CC′=4cm,正三角形ABC和正三角形A′B′C′的高为cm,∴正三角形ABC的边长为|AB|==4(cm),∴该三棱柱的表面积为S=3×4×4+2××42sin60°=(48+8)(cm2),体积为V=S底•|AA′|=×42sin60°×4=16(cm3).故这个三棱柱的表面积为(48+8)cm2,体积为16cm3.评析:(1)注意:侧(左)视图中的数据cm为底面正三角形的高,不要误认为是正三角形的边长.(2)通过三视图间接给出几何体的形状,打破以往直接给出几何体,并给出相关数据进行相关运算的传统模式,使三视图与传统意义上的几何有机结合,这也体现了新课标的思想【练习1】如图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的体积是 【练习2】已知某个几何体的三视图如图所示，根据图中标出的尺寸(单位：cm)，可得这个几何体的体积是()解析：选B.由三视图知该几何体是如图所示的四棱锥P-ABCD，其中侧面PBC⊥底面ABCD，且顶点P在底面的射影是BC边的中点，四棱锥的高为20，底面ABCD是边长为20的正方形.∴VP-ABCD=×202×20=(cm3).