第一讲 空间几何体的直观图与三视图

第四篇立几何体第一章空间几何体第一讲空间几何体的直观图与三视图【考纲要求】：1．了解和正方体、球有关的简单组合体的结构特征，理解柱、锥、台、球的结构特征。2．能画出简单空间几何体（长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等的简易组合）的三视图，能识别上述的三视图所表示的立体模型，会用斜二测法画出它们的直观图。3．会用平行投影与中心投影两种方法，画出简单空间图形的三视图与直观图，了解空间图形的不同表示形式。4．能识别三视图所表示的空间几何体；理解三视图和直观图的联系，并能进行转化。【要点整合】：1.基本概念：(1)把物体在一束平行光线照射下形成的投影叫做平行投影．(2)如果图形F上的所有点在平面α内关于直线l的平行投影构成图形F′，则F′叫做图形F在α内关于直线l的平行投影．平面α叫做投影面，l叫做投影线．(3)把光从一点向外散射形成的投影叫做中心投影，一个点光源把一个图形照射到一个平面上，这个图形的影子就是它在平面上的中心投影．(4)通常，总是选择三个两两互相垂直的平面作为投影面．一个投影面水平放置，叫做水平投影面，光线从几何体的上面向下面正投影，投射到这个平面内的图形叫做俯视图．一个投影面放置在正前方，这个投影面叫做直立投影面；光线从几何体的前面向后面正投影，投射到这个平面内的图形叫做正（主）视图．和直立、水平两个投射面都垂直的投射面叫做侧立投影面，通常把这个平面放在直立投影面的右面，光线从几何体的左面向右面正投影，投射到这个平面内的图形叫做侧（左）视图．将空间图形向这三个平面作正投影，然后把这三个投影按一定的布局放在一个平面内，这样构成的图形叫做空间图形的三视图．(5)用来表示空间图形的平面图形，叫做空间图形的直观图．(6)斜二侧画法的规则是：①在已知图形中取互相垂直的轴Ox、Oy，再作Oz轴，使∠xOz＝90°，且∠yOz＝90°.②画直观图时，把Ox、Oy、Oz画成对应的轴O′x′、O′y′、O′z′，使∠x′O′y′＝45°(或135°)，∠x′O′z′＝90°，∠y′O′z′＝90°，x′O′y′所确定的平面表示水平平面．③已知图形中，平行于x轴、y轴或z轴的线段，在直观图中分别画成平行于x′轴，y′轴、z′轴的线段．并使它们和所画坐标轴的位置关系，与已知图形中相应线段和原坐标轴的位置关系相同．④已知图形中平行于x轴和z轴(或在x轴和z轴上)的线段，在直观图中保持长度不变，平行于y轴(或在y轴上)的线段，长度为原来的一半．⑤画图完成后，擦去作为辅助线的坐标轴，就得到了空间图形的直观图．2.基本性质： (1)平行投影的投影线是相互平行的(2)中心投影的投射线是交于一点的3.基本方法：(1)在画三视图时，重叠的线只画一条，挡住的线要画成虚线，尺寸线用细实线标出．(2)三视图的正视图、侧视图、俯视图分别是从几何体的正前方、正左方、正上方观察几何体画出的轮廓线．画三视图的基本要求是：正俯一样长，俯侧一样宽，正侧一样高．(3)多面体与旋转体的组合体画图时，应优先考虑多面体的对角面，注意旋转体轴截面与多面体几何量之间的联系．4.易错警示：(1)平行投影的投射线互相平行，中心投影的投射线相交于一点．(2)直观图与原图形面积的关系讨论中，要牢记原来平行于y轴的变成夹角45°，长度减半．(3)直观图与三视图的相互转化，应牢记柱、锥、台、球的图形特征及斜二测画法规则和正投影性质，特别注意侧视图的投影方向．(4)画图时，被遮挡部分应画成虚线，和平面几何不同，添加的辅助线被遮挡的画成虚线，否则应画实线．【例题精析】：考点1：直观图和三视图的概念例1.如右图所示，一个边长为2的正三角形ABC，其斜二测直观图A′B′C′的面积为________．解析：∵原正三角形中边长为2∴作则∴点评：不管是已知原几何图形研究其直观图，还是已知直观图研究原几何图形，关键是把握好斜二侧画法的规则。变式1：如图所示是水平放置三角形的直观图，D是△ABC的BC边中点，AB、BC分别与y′轴、x′轴平行，则三条线段AB、AD、AC中(  )A．最长的是AB，最短的是ACB．最长的是AC，最短的是ABC．最长的是AB，最短的是ADD．最长的是AC，最短的是AD例2.如图所示，正四面体ABCD中，S为AD的中点，Q为BC上异于中点和端点的任一点，则△SQD在四个面上的射影不可能是(  ) 解析：在平面ABC上射影为B，在平面ACD上射影为D(Q射影不可能为C)，在平面ABD上射影为D(Q的射影不可能为B)，在平面BCD上射影为C(S射影不可能为B或C)，故在四个平面上射影都不可能为A.点评：要确定某平面图形在某一平面上的投影，关键是先确定平面图形上顶点的射影，再利用两点确定直线的原理确定平面图形的投影。变式2：如图，已知三棱锥的底面是直角三角形，直角边长分别为3和4，过直角顶点的侧棱长为4，且垂直于底面，该三棱锥的正视图是(  )考点2：几何体的直观图和三视图综合问题例3：已知某几何体的三视图如右图所示，其中俯视图为正三角形，设D为AA1的中点．(1)作出该几何体的直观图并求其体积．(2)求证：平面BB1C1C⊥平面BDC1.(3)BC边上是否存在点P，使AP∥平面BDC1？若不存在，说明理由；若存在，证明你的结论．解析：由题意可知该几何体为直三棱柱，且它的直观图如图所示．由图知底面正三角形边长为2，棱柱高为3，∴S△ABC＝，∴V＝3.(2)证明：连结B1C交BC1于E点，则E为B1C、BC1的中点，连结DE.∵AD＝A1D，AB＝A1C1，∠BAD＝∠DA1C1＝90°， ∴△ABD≌△A1C1D.∴BD＝C1D.∴DE⊥BC1.同理，DE⊥B1C，又∵B1C∩BC1＝E.∴DE⊥平面BB1C1C.又∵DE⊂平面BDC1，∴平面BB1C1C⊥平面BDC1.(3)解：取BC的中点P，连结AP，则AP∥平面BDC1，证明：连结PE，则PE∥AD，且PE＝AD，∴四边形APED为平行四边形．∴AP∥DE.又DE⊂平面BDC1，AP⊄平面BDC1，∴AP∥平面BDC1.点评：把直观图、三视图与立体几何中的判断、证明、计算有机的结合起来，体现了对新增内容的考查,这要求熟练三视图和直观图的转化,能正确研究面面垂直和线面平行问题。变式3：已知四棱锥P－ABCD的直观图与三视图如图所示，点E为棱AD的中点，在棱PC上是否存在一点F，使得EF⊥平面PBC？若存在，求出线段EF的长度；若不存在，说明理由．例4.如图所示，为了制作一个圆柱形灯笼，先要制作4个全等的矩形骨架，总计耗用9.6米铁丝，再用平方米塑料片制成圆柱的侧面和下底面（不安装上底面）.(1)当圆柱底面半径取何值时，取得最大值？并求出该最大值（结果精确到0.01平方米）;(2)若要制作一个如图放置的，底面半径为0.3米的灯笼，请作出用于灯笼的三视图（作图时，不需考虑骨架等因素）.解析：(1)设圆柱形灯笼的母线长为l，则l=1.2-2r(0