42空间几何体结构特征及三视图和直观图

一、选择题(共6个小题，每小题5分，满分30分)1．(2011·广东高考)正五棱柱中，不同在任何侧面且不同在任何底面的两顶点的连线称为它的对角线，那么一个正五棱柱对角线的条数共有(  )A．20          B．15C．12D．10解析：如图，在正五棱柱ABCDE－A1B1C1D1E1中，从顶点A出发的对角线有两条：AC1、AD1，同理从B、C、D、E点出发的对角线也有两条，共2×5＝10条．答案：D2.如图所示，正方形O′A′B′C′的边长为1，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的周长是(  )A．6B．8C．2＋3D．2＋2解析：根据水平放置平面图形的直观图的画法，可得原图形是一个平行四边形，如图，对角线OB＝2，OA＝1，∴AB＝3，所以周长为8.答案：B3．[文]若一个圆台的主视图如图所示，则其侧面积等于(  )A．6B．6πC．3πD．6π解析：由主视图可知，该圆台的上、下底面半径分别是1、2，圆台的高是2，故其母线长为＝，其侧面积等于π(1＋2)＝3π.答案：C3．[理]如图，三棱柱的侧棱长和底边长均为2，且侧棱AA1⊥面A1B1C1，主视图是边长为2的正方形，俯视图为一个等边三角形，该三棱柱的左视图面积为(  ) A．2B.C．2D．4解析：由三视图的画法可知，主视方向垂直于面ABB1A1，所以其左视图为一矩形，其边长分别为，2，故左视图的面积为2.答案：A4.如图，若Ω是长方体ABCD－A1B1C1D1被平面EFGH截去几何体EFGHB1C1后得到的几何体，其中E为线段A1B1上异于B1的点，F为线段BB1上异于B1的点，且EH∥A1D1，则下列结论中不正确的是(  )A．EH∥FGB．四边形EFGH是矩形C．Ω是棱柱D．Ω是棱台解析：根据棱台的定义(侧棱延长之后，必交于一点，即棱台可以还原成棱锥)可知，几何体Ω不是棱台．答案：D5．[文]一个简单几何体的主视图、左视图如图所示，则下列图形：①长方形；②正方形；③圆；④椭圆．不可能是其俯视图的有(  )A．①②B．②③C．③④D．①④解析：根据画三视图的规则“长对正，高平齐，宽相等”可知，该几何体的三视图不可能是圆和正方形．答案：B 5．[理](2011·山东高考)右图是长和宽分别相等的两个矩形．给定下列三个命题：①存在三棱柱，其主视图、俯视图如右图；②存在四棱柱，其主视图、俯视图如右图；③存在圆柱，其主视图、俯视图如右图．其中真命题的个数是(  )A．3B．2C．1D．0解析：把底面为等腰直角三角形的直三棱柱的一个直角边所在侧面放在水平面上，就可以使得这个三棱柱的主视图和俯视图符合要求，故命题①是真命题；把一个正四棱柱的一个侧面放置在水平面上，即可使得这个四棱柱的主视图和俯视图符合要求，命题②是真命题；只要把圆柱侧面的一条母线放置在水平面即符合要求，命题③也是真命题．答案：A6．[文]已知三棱锥的主视图与俯视图如图所示，俯视图是边长为2的正三角形，则该三棱锥的左视图可能为(  )解析：由主视图和俯视图画出如图所示的直观图，在三棱锥P－ABC中，PA⊥底面ABC，故其左视图是一直角三角形，其一条直角边为PA，另一条直角边长为B到AC的距离.答案：B6．[理]将正三棱柱截去三个角(如图(1)所示A、B、C分别是△GHI三边的中点)得到几何体如图(2)，则该几何体按图(2)所示方向的左视图为(  ) 解析：由正三棱柱的性质得侧面AED⊥底面EFD，则左视图必为直角梯形，又线段BE在梯形内部．答案：A二、填空题(共3个小题，每小题5分，满分15分)7．在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，过对角线BD1的一个平面交AA1于E，交CC1于F，得四边形BFD1E，给出下列结论：①四边形BFD1E有可能为梯形；②四边形BFD1E有可能为菱形；③四边形BFD1E在底面ABCD内的投影一定是正方形；④四边形BFD1E有可能垂直于平面BB1D1D；⑤四边形BFD1E面积的最小值为.其中正确的是________．(请写出所有正确结论的序号)解析：四边形BFD1E为平行四边形，①显然不成立，当E、F分别为AA1、CC1的中点时，②④成立，四边形BFD1E在底面的投影恒为正方形ABCD.当E、F分别为AA1、CC1的中点时，四边形BFD1E的面积最小，最小值为.答案：②③④⑤8．一个几何体是由若干个相同的小正方体组成的，其主视图和左视图如图所示，则这个几何体最多可由________个这样的小正方体组成．解析：依题意可知这个几何体最多可由9＋2＋2＝13个这样的小正方体组成．答案：139．[文]一个正三棱柱的侧棱长和底面边长相等，体积为2，它的三视图中的俯视图如右图所示，左视图是一个矩形，则这个矩形的面积是________．解析：设正三棱柱的底面边长为a，利用体积为2，很容易求出这个正三棱柱的底面边长和侧棱长都是2，所以底面正三角形的高为，故所求矩形的面积为2.答案：2 9．[理]已知某个几何体的三视图如图所示，根据图中标出的尺寸(单位：cm)，可得这个几何体的体积是cm3，则主视图中的h等于________cm.解析：由三视图可知，该几何体是一个四棱锥，且底面是一个边长为20的正方形，所以V＝×20×20×h＝，∴h＝20.答案：20三、解答题(共3个小题，满分35分)10．正四棱锥的高为，侧棱长为，求侧面上斜高(棱锥侧面三角形的高)为多少？解：如图所示，正四棱锥S－ABCD中高OS＝，侧棱SA＝SB＝SC＝SD＝，在Rt△SOA中，OA＝＝2，∴AC＝4.∴AB＝BC＝CD＝DA＝2.作OE⊥AB于E，则E为AB中点．连接SE，则SE即为斜高．在Rt△SOE中，∵OE＝BC＝，SO＝，∴SE＝，即侧面上的斜高为.11．某几何体的一条棱长为，在该几何体的主视图中，这条棱的投影是长为的线段，在该几何体的左视图与俯视图中，这条棱的投影分别是长为a和b的线段，求a＋b的最大值．解：如图，把几何体放到长方体中，使得长方体的对角线刚好为几何体的已知棱，设长方体的对角线A1C＝，则它的主视图投影长为A1B＝，左视图投影长为A1D＝a，俯视图投影长为A1C1＝b，则a2＋b2＋()2＝2·()2，即a2＋b2＝8， 又≤，当且仅当“a＝b＝2”时等式成立．∴a＋b≤4.即a＋b的最大值为4.12．[文]如图是一个几何体的主视图和俯视图．(1)试判断该几何体是什么几何体；(2)画出其左视图，并求该平面图形(左视图)的面积．解：(1)由该几何体的主视图和俯视图可知该几何体是一个正六棱锥．(2)该几何体的左视图，如图：其中AB＝AC，AD⊥BC，且BC的长是俯视图正六边形对边间的距离，即BC＝a，AD是正棱锥的高，则AD＝a，所以该平面图形(左视图)的面积为S＝×a×a＝a2.12．[理]已知正三棱锥V－ABC的主视图、左视图和俯视图如图所示．(1)画出该三棱锥的直观图；(2)求出左视图的面积．解：(1)直观图如图所示．(2)根据三视图间的关系可得BC＝2，∴左视图中VA＝＝2， ∴S△VBC＝×2×2＝6.