第1节 空间几何体的结构及三视图和直观图

第1节空间几何体的结构及三视图和直观图一、多面体的结构特征多面体结构特征棱柱有两个面平行,每相邻两个面的交线都平行且相等棱锥有一个面是多边形,而其余各面都是有一个公共顶点的三角形棱台棱锥被平行于底面的平面所截,截面和底面之间的部分叫做棱台质疑探究1:由棱柱的结构特征可知:棱柱有两个面互相平行,其余各面都是平行四边形,反过来,成立吗?提示:不一定成立,如图所示几何体有两个面互相平行,其余各面都是平行四边形,但不是棱柱.二．旋转体的形成几何体旋转图形旋转轴圆柱矩形矩形一边所在的直线圆锥直角三角形一直角边所在的直线圆台直角梯形直角腰所在的直线球半圆直径所在的直线练习1.用任意一个平面截一个几何体,各个截面都是圆面,则这个几何体一定是(C)(A)圆柱(B)圆锥(C)球体(D)圆柱,圆锥,球体的组合体解析:由球的性质可知用平面截球所得的截面都是圆面.故选C.三、空间几何体的三视图空间几何体的三视图是用正投影得到的,它包括正视图、侧视图、俯视图,练习1.若一个三棱柱的三视图如图所示,其俯视图为正三角形,则这个三棱柱的高和底面边长分别为(D)(A)2,2(B)2,2(C)4,2(D)2,4 解析:由三视图可知,此三棱柱的高为2,底面正三角形的高为2,故底面边长为4,故选D.四、空间几何体的直观图的画法空间几何体的直观图常用斜二测画法规则来画,基本步骤是:1.画几何体的底面在已知图形中取互相垂直的x轴、y轴,两轴相交于点O,画直观图时,把它们画成对应的x'轴、y'轴,两轴相交于点O',且使∠x'O'y'=45°(或135°),已知图形中平行于x轴的线段,在直观图中长度保持不变,平行于y轴的线段,长度变为原来的一半.2.画几何体的高在已知图形中过O点作z轴垂直于xOy平面,在直观图中对应的z'轴,也垂直于x'O'y'平面,已知图形中平行于z轴的线段,在直观图中仍平行于z'轴且长度不变.练习1.若△ABC是正三角形,其边长为a.则△ABC的直观图(斜二测画法下的△A'B'C')的面积为.解析:如图所示的实际图形和直观图.由图可知,A'B'=AB=a,O'C'=OC=a,在图中作C'D'⊥A'B'于D',则C'D'=O'C'=a.∴S△A'B'C'=A'B'·C'D'=×a×a=a2.答案：a2一．空间几何体的结构特征【例1】给出下列命题:①棱柱的侧棱都相等,侧面都是全等的平行四边形;②若三棱锥的三条侧棱两两垂直,则其三个侧面也两两垂直;③若有两个过相对侧棱的截面都垂直于底面,则该四棱柱为直四棱柱;④存在每个面都是直角三角形的四面体;⑤棱台的侧棱延长后交于一点.其中正确命题的序号是.解析:①不正确,根据棱柱的定义,棱柱的各个侧面都是平行四边形,但不一定全等;② 正确,若三棱锥的三条侧棱两两垂直,则三个侧面构成的三个平面的二面角都是直二面角;③正确,因为两个过相对侧棱的截面的交线平行于侧棱,又垂直于底面;④正确,如图,正方体AC1中的三棱锥C1ABC,四个面都是直角三角形;⑤正确,由棱台的概念可知.答案:②③④⑤变式训练11:下列说法中正确的是()①一个棱柱至少有五个面②用一个平面去截棱锥,底面和截面之间的部分叫棱台③棱台的侧面是等腰梯形④棱柱的侧面是平行四边形(A)①④(B)②③(C)①③(D)②④解析:因为棱柱有两个底面,因此棱柱的面数由侧面个数决定,而侧面个数与底面多边形的边数相等,故面数最少的棱柱为三棱柱有五个面,①正确;②中的截面与底面不一定平行,故②不正确;由于棱台是由棱锥截来的,而棱锥的所有侧棱不一定相等,所以棱台的侧棱不一定都相等,即不一定是等腰梯形,③不正确;由棱柱的定义知④正确,故选A.二．空间几何体的三视图【例2】(2012年高考陕西卷)将正方体(如图(1)所示)截去两个三棱锥,得到图(2)所示的几何体,则该几何体的左视图为()解析:题图中图(2)所示的几何体的左视图可由点A,D,B1,D1确定其外形为正方形,其中从左往右看,D1A能看到为实线,B1C不能看到为虚线.故选B.三．空间几何体的直观图【例3】如图所示,四边形A'B'C'D'是一平面图形的水平放置的斜二测画法的直观图,在斜二测直观图中,四边形A'B'C'D'是一直角梯形,A'B'∥C'D',A'D'⊥C'D',且B'C'与y'轴平行,若A'B'=6,D'C'=4,A'D'=2,求这个平面图形的实际面积.解:根据斜二测直观图画法规则可知该平面图形是直角梯形,且AB=6,CD=4保持不变.由于C'B'=A'D'=2.所以CB=4.故平面图形的实际面积为×(6+4)×4=20.(高考福建卷)一个几何体的三视图形状都相同、大小均相等,那么这个几何体不可以是(D)(A)球(B)三棱锥(C)正方体(D)圆柱解析:一般地,圆柱的正视图是矩形,侧视图是矩形,而俯视图是圆.而球、正方体、三棱锥的三视图形状都相同,大小均相等是可以的,故选D. 8.1空间几何体的结构、三视图和直观图一、选择题1．以下关于几何体的三视图的论述中，正确的是(  )．A．球的三视图总是三个全等的圆B．正方体的三视图总是三个全等的正方形C．水平放置的正四面体的三视图都是正三角形D．水平放置的圆台的俯视图是一个圆解析 画几何体的三视图要考虑视角，但对于球无论选择怎样的视角，其三视图总是三个全等的圆．答案 A2.设四面体的六条棱的长分别为1，1，1，1，和且长为的棱与长为的棱异面，则的取值范围是（）（A）（B）（C）（D）答案A3.下列四个几何体中，几何体只有主视图和左视图相同的是(  )A．①②            B．①③C．①④D．②④解析由几何体分析知②④中主视图和左视图相同．答案：D4．一个平面四边形的斜二测画法的直观图是一个边长为a的正方形，则原平面四边形的面积等于(  )． A.a2B．2a2C.a2D.a2解析 根据斜二测画法画平面图形的直观图的规则，可以得出一个平面图形的面积S与它的直观图的面积S′之间的关系是S′＝S，本题中直观图的面积为a2，所以原平面四边形的面积等于＝2a2.故选B.5．将长方体截去一个四棱锥，得到的几何体如下图所示，则该几何体的左视图为(  )．解析 被截去的四棱锥的三条可见侧棱中有两条为长方体的面对角线，它们在右侧面上的投影与右侧面(长方形)的两条边重合，另一条为体对角线，它在右侧面上的投影与右侧面的对角线重合，对照各图，只有选项D符合．答案 D6．如下图，某几何体的主视图与左视图都是边长为1的正方形，且体积为，则该几何体的俯视图可能是(  )．（三视图：主（正）试图、左（侧）视图、俯视图）解析 当俯视图为A中正方形时，几何体为边长为1的正方体，体积为1；当俯视图为B中圆时，几何体为底面半径为，高为1的圆柱，体积为 ；当俯视图为C中三角形时，几何体为三棱柱，且底面为直角边长为1的等腰直角三角形，高为1，体积为.答案 C7.若某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的直观图可以是(  )（三视图：主（正）试图、左（侧）视图、俯视图）解析由主视图可排除A，C；由左视图可判断该几何体的直观图是B.答案B二、填空题8．利用斜二测画法得到的：①三角形的直观图一定是三角形；②正方形的直观图一定是菱形；③等腰梯形的直观图可以是平行四边形；④菱形的直观图一定是菱形．以上结论正确的个数是________．解析 由斜二测画法的规则可知①正确；②错误，是一般的平行四边形；③错误，等腰梯形的直观图不可能是平行四边形；而菱形的直观图也不一定是菱形，④也错误．答案 19．一个长方体去掉一个小长方体，所得几何体的正(主)视图与侧(左)视图分别如图所示，则该几何体的俯视图为________．（三视图：主（正）试图、左（侧）视图、俯视图） 解析 由三视图中的正(主)、侧(左)视图得到几何体的直观图如图所示，所以该几何体的俯视图为③.答案 ③10.用单位正方体块搭一个几何体，使它的主视图和俯视图如图所示，则它的体积的最大值为________，最小值为________．（三视图：主（正）试图、左（侧）视图、俯视图）解析由俯视图及主视图可得，如图所示，由图示可得体积的最大值为14，体积的最小值为9.（三视图：主（正）试图、左（侧）视图、俯视图）答案14 911．如图，网格纸的小正方形的边长是1，在其上用粗线画出了某多面体的三视图，则这个多面体最长的一条棱的长为________．解析 (构造法)由主视图和俯视图可知几何体是正方体切割后的一部分(四棱锥C1-ABCD)，还原在正方体中，如图所示．多面体最长的一条棱即为正方体的体对角线，如图即AC1.由正方体棱长AB＝2知最长棱AC1的长为2.答案 2【点评】构造正方体，本题就很容易得出结论，此种方法在立体几何问题中较为常见，把抽象问题转化为直观问题解决．12．如果一个几何体的三视图如图所示，其中主视图中△ABC是边长为2的正三角形，俯视图为正六边形，那么该几何体的左视图的面积为________． （三视图：主（正）试图、左（侧）视图、俯视图）解析根据三视图的信息可以知道相应的空间几何体是一个正六棱锥，结合数据可知其底面正六边形的边长为1，棱锥的高为h＝.由于三视图中“宽相等”，那么左视图中的三角形的底边边长与俯视图中正六边形的高相等，可得其长度为，则该几何体的左视图的面积为S＝××＝.答案三、解答题、13．如下的三个图中，上面的是一个长方体截去一个角所得多面体的直观图，它的主视图和左视图在下面画出(单位：cm)．(1)在主视图下面，按照画三视图的要求画出该多面体的俯视图；(2)按照给出的尺寸，求该多面体的体积；（三视图：主（正）试图、左（侧）视图、俯视图）解析(1)如图． （三视图：主（正）试图、左（侧）视图、俯视图）(2)所求多面体的体积V＝V长方体－V正三棱锥＝4×4×6－××2＝(cm3)．14．正四棱锥的高为，侧棱长为，求侧面上斜高(棱锥侧面三角形的高)为多少？解析 如图所示，正四棱锥S-ABCD中，高OS＝，侧棱SA＝SB＝SC＝SD＝，在Rt△SOA中，OA＝＝2，∴AC＝4.∴AB＝BC＝CD＝DA＝2.作OE⊥AB于E，则E为AB中点．连接SE，则SE即为斜高，在Rt△SOE中，∵OE＝BC＝，SO＝，∴SE＝，即侧面上的斜高为.15.已知，如图一个空间几何体的三视图． （三视图：主（正）试图、左（侧）视图、俯视图）(1)该空间几何体是如何构成的？(2)画出该几何体的直观图；(3)求该几何体的表面积和体积．解析(1)这个空间几何体的下半部分是一个底面各边长为2，高为1的长方体，上半部分是一个底面各边长为2，高为1的正四棱锥．(2)按照斜二测画法可以得到其直观图，如图．(3)由题意可知，该几何体是由长方体ABCD－A′B′C′D′与正四棱锥P－A′B′C′D′构成的简单几何体．由图易得：AB＝AD＝2，AA′＝1，PO′＝1，取A′B′中点Q，连接PQ，从而PQ＝＝＝，所以该几何体表面积S＝(A′B′＋B′C′＋C′D′＋D′A′)PQ＋(A′B′＋B′C′＋C′D′＋D′A′)AA′＋AB·AD＝4＋12.体积V＝2×2×1＋×2×2×1＝.16．一个正方体内接于高为40cm，底面半径为30cm的圆锥中，求正方体的棱长．解析 如图所示，过正方体的体对角线作圆锥的轴截面，设正方体的棱长为xcm，则OC＝x，∴＝，解得x＝120(3－2)， ∴正方体的棱长为120(3－2)cm.