空间几何体的直观图

 空间几何体的直观图[学习目标] 1.用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图.2.用斜二测画法画常见的柱、锥、台以及简单组合体的直观图.知识点一 用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图的步骤1.画轴：在已知图形中取互相垂直的x轴和y轴，两轴相交于点O，画直观图时，把它们画成对应的x′轴与y′轴，两轴交于点O′，且使∠x′O′y′＝45°(或135°)，它们确定的平面表示水平面.2.画线：已知图形中平行于x轴或y轴的线段，在直观图中分别画成平行于x′轴或y′轴的线段.3.取长度：已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中保持原长度不变，平行于y轴的线段，长度为原来的一半.思考 相等的角在直观图中还相等吗？答 不一定，例如正方形的直观图为平行四边形.知识点二 空间几何体直观图的画法1.画轴：与平面图形的直观图画法相比多了一个z轴，直观图中与之对应的是z′轴.2.画底面：平面x′O′y′表示水平平面，平面y′O′z′和x′O′z′表示竖直平面.3.画侧棱：已知图形中平行于z轴(或在z轴上)的线段，在其直观图中平行性和长度都不变.4.成图：去掉辅助线，将被遮挡的部分改为虚线.思考 空间几何体的直观图惟一吗？答 不惟一.作直观图时，由于选轴的不同，画出的直观图也不同. 题型一 画水平放置的平面图形的直观图例1 画出如图所示水平放置的等腰梯形的直观图.解 画法：(1)如图所示，取AB所在直线为x轴，AB中点O为原点，建立直角坐标系，画对应的坐标系x′O′y′，使∠x′O′y′＝45°.   (2)以O′为中点在x′轴上取A′B′＝AB，在y轴上取O′E′＝OE，以E′为中点画C′D′∥x′轴，并使C′D′＝CD.(3)连接B′C′，D′A′，所得的四边形A′B′C′D′就是水平放置的等腰梯形ABCD的直观图.跟踪训练1 如图所示，在梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝4cm，CD＝2cm，∠A＝30°，AD＝3cm，试画出它的直观图.解 (1)如图①所示，在梯形ABCD中，以边AB所在的直线为x轴，点A为原点，建立平面直角坐标系xOy，如图②所示，画出对应的x′轴，y′轴，使∠x′O′y′＝45°.(2)在图①中，过点D作DE⊥x轴，垂足为E.在x′轴上取A′B′＝AB＝4cm，A′E′＝AE＝≈2.598cm；过点E′作E′D′∥y′轴，使E′D′＝ED，再过点D′作D′C′∥x′轴，且使D′C′＝DC＝2cm. (3)连接A′D′，B′C′，并擦去x′轴与y′轴及其他一些辅助线，如图③所示，则四边形A′B′C′D′就是所求作的直观图.题型二 由直观图还原平面图形例2 如图所示，△A′B′C′是水平放置的平面图形的斜二测直观图，将其还原成平面图形.解 ①画直角坐标系xOy，在x轴的正方向上取OA＝O′A′，即CA＝C′A′；②过B′作B′D′∥y′轴，交x′轴于D′，在OA上取OD＝O′D′，过D作DB∥y轴，且使DB＝2D′B′；③连接AB，BC，得△ABC.则△ABC即为△A′B′C′对应的平面图形，如图所示.跟踪训练2 如图所示，正方形O′A′B′C′的边长为1cm，它是水平放置的一个平面图形的直观图，求原图形的周长. 解 如图为原平面图形.由斜二测画法可知，OB＝2O′B′＝2cm，OC＝O′C′＝AB＝A′B′＝1cm，且AB∥OC，∠BOC＝90°.所以四边形OABC为平行四边形，且BC＝＝＝3(cm)，故平行四边形OABC的周长为2(OC＋BC)＝8(cm).题型三 空间几何体的直观图例3 如图所示，已知几何体的三视图，用斜二测画法画出它的直观图.解 (1)作出长方体的直观图ABCD－A1B1C1D1，如图1所示；(2)再以上底面A1B1C1D1的对角线交点为原点建立x′轴、y′轴，z′轴，如图2所示，在z′上取点V′，使得V′O的长度为棱锥的高，连接V′A1，V′B1，V′C1，V′D1，得到四棱锥的直观图，如图2；(3)擦去辅助线和坐标轴，遮住部分用虚线表示，得到几何体的直观图，如图3. 图3跟踪训练3 由如图所示几何体的三视图画出直观图.解 (1)画轴.如图(图1)，画出x轴、y轴、z轴，三轴相交于点O，使∠xOy＝45°，∠xOz＝90°.(2)画底面.作水平放置的三角形(俯视图)的直观图△ABC.(3)画侧棱.过A，B，C各点分别作z轴的平行线，并在这些平行线上分别截取线段AA′，BB′，CC′，且AA′＝BB′＝CC′.(4)成图，顺次连接A′，B′，C′，并加以整理(擦去辅助线，将遮挡部分用虚线表示)，得到的图形就是所求的几何体的直观图(图2). 图1          图2求直观图的面积例4 已知△ABC的平面直观图△A′B′C′是边长为a的等边三角形，那么△ABC的面积为(  )A.a2B.a2C.a2D.a2分析 求直观图的面积的关键是依据斜二测画法，求出相应的直观图的底边和高.解析 如图①为直观图，②为实际图形，取B′C′所在直线为x′轴，过B′C′中点O′与O′x′成45°的直线为y′轴，过点A′作A′N′∥O′x′.交y′轴于点N′，过点A′作A′M′∥O′y′，交x′轴于点M′，则在Rt△A′O′M′中，因为O′A′＝a，∠A′M′O′＝45°，所以M′O′＝A′O′＝A′N′＝a，故A′M′＝a. 在平面直角坐标系中，在x轴上方y轴左侧取到x轴距离为a，到y轴距离为a的点A，则△ABC为所求.显然S△ABC＝a·a＝a2.答案 C用斜二测画法画出所给图形的直观图例5 画出如图所示的四边形OABC的直观图，其中OC＝AD＝2，OD＝3，OB＝4.分析 根据已知条件可得OC⊥OB，AD⊥OB，因此可以以点O为坐标原点建立平面直角坐标系，结合斜二测画法的规则，可以作出所给图形的直观图.解 以O为原点，OB所在直线为x轴，OC所在直线为y轴建立平面直角坐标系，如图①所示.作∠C′O′B′＝45°，O′B′＝4，O′D′＝3，O′C′＝1，过点D′作∠B′D′A′＝135°，使A′D′＝1，顺次连接O′A′，A′B′，B′C′，所得四边形O′A′B′C′即为四边形OABC的直观图(如图②所示). 1.用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图，对其中的线段说法错误的是(  )A.原来相交的仍相交B.原来垂直的仍垂直C.原来平行的仍平行D.原来共点的仍共点2.如图所示为某一平面图形的直观图，则此平面图形可能是(  )3.已知等边三角形ABC的边长为a，那么等边三角形ABC的直观图△A′B′C′的面积为(  )A.a2B.a2C.a2D.a24.如图，平行四边形O′P′Q′R′是四边形OPQR的直观图，若O′P′＝3，O′R′＝1，则原四边形OPQR的周长为_______. 5.已知如图所示的直观图△A′O′B′，则其平面图形的面积为_______.一、选择题1.用斜二测画法画水平放置的△ABC时，若∠A的两边分别平行于x轴、y轴，且∠A＝90°，则在直观图中∠A′等于(  )A.45°B.135°C.45°或135°D.90°2.如图所示是水平放置的三角形的直观图，A′B′∥y′轴，则原图中△ABC是(  )A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.任意三角形3.已知两个圆锥，底面重合在一起，其中一个圆锥顶点到底面的距离为2cm，另一个圆锥顶点到底面的距离为3cm，则其直观图中这两个顶点之间的距离为(  )A.2cmB.3cmC.2.5cmD.5cm4.如图所示，△A′B′C′是水平放置的△ABC的直观图，则在原△ABC的三边及中线AD中，最长的线段是(  )A.ABB.ADC.BCD.AC5.如图所示，△A′B′C′是△ABC的直观图，其中A′C′＝A′B′，那么△ABC是(  )A.等腰三角形B.直角三角形C.等腰直角三角形D.钝角三角形 6.用斜二测画法画出的某平面图形的直观图如图所示，AB平行于y′轴，BC，AD平行于x′轴.已知四边形ABCD的面积为2cm2，则原平面图形的面积为(  )A.4cm2B.4cm2C.8cm2D.8cm27.梯形A1B1C1D1(如图所示)是一水平放置的平面图形ABCD的直观图.若A1D1∥y′轴，A1B1∥x′轴，A1B1＝C1D1＝2，A1D1＝1，则平面图形ABCD的面积是(  )A.5B.10C.5D.10二、填空题8.如图所示，四边形OABC是上底为2，下底为6，底角为45°的等腰梯形.用斜二测画法画出这个梯形的直观图O′A′B′C′，则在直观图中，梯形的高为________.9.水平放置的△ABC的斜二测直观图如图所示，已知A′C′＝3，B′C′＝2，则AB边上的中线的实际长度为________. 10.在等腰梯形ABCD中，上底CD＝1，腰AD＝CB＝，下底AB＝3，以下底所在直线为x轴，则由斜二测画法画出的直观图A′B′C′D′的面积为________.11.一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形ABCD，如图所示，∠ABC＝45°，AB＝AD＝1，DC⊥BC，则原平面图形的面积为________.三、解答题12.如图是某几何体的三视图，用斜二测画法画出它的直观图.13.用斜二测画法得到一水平放置的直角三角形ABC如图所示，其中AC＝1，∠ABC＝30°，试求原三角形的面积. 当堂检测答案1.答案 B解析 根据斜二测画法，原来垂直的未必垂直.2.答案 C解析 根据斜二测画法可知，此直观图的平面图形可能是C.3.答案 D解析 方法一 建立如图①所示的平面直角坐标系xOy.如图②所示，建立坐标系x′O′y′，使∠x′O′y′＝45°，由直观图画法，知A′B′＝AB＝a，O′C′＝OC＝a.过点C′作C′D′⊥O′x′于点D′，则C′D′＝O′C′＝a.所以△A′B′C′的面积是S＝·A′B′·C′D′＝·a·a＝a2.方法二 S△ABC＝a2，而＝，所以S△A′B′C′＝S△ABC＝×a2＝a2.4.答案 10解析 由四边形OPQR的直观图可知原四边形是矩形，且OP＝3，OR＝2，所以原四边形OPQR的周长为2×(3＋2)＝10. 5.答案 6解析 由直观图可知其对应的平面图形AOB中，∠AOB＝90°，OB＝3，OA＝4，∴S△AOB＝OA·OB＝6.课时精练答案一、选择题1.答案 C解析 在画直观图时，∠A′的两边依然分别平行于x′轴、y′轴，而∠x′O′y′＝45°或135°.2.答案 B解析 因为A′B′∥y′，所以由斜二测画法可知在原图形中BA⊥AC，故△ABC是直角三角形.3.答案 D解析 因为这两个顶点连线与圆锥底面垂直，现在距离为5cm，而在直观图中根据平行于z轴的线段长度不变，仍为5cm.4.答案 D解析 还原△ABC，即可看出△ABC为直角三角形，故其斜边AC最长.5.答案 B解析 由直观图看出，三角形中有两边分别和两轴平行且相等，由斜二测画法知原图中相应两边与两轴平行，即有两边垂直且不等，所以原三角形为直角三角形.6.答案 C 解析 依题意可知∠BAD＝45°，则原平面图形为直角梯形，且上下底边的长分别与BC，AD相等，高为梯形ABCD的高的2倍，所以原平面图形的面积为8cm2.7.答案 A解析 A1B1∥x′轴，A1D1∥y′轴，根据斜二测画法规则可知，该图形还原成平面图形时，A1B1，C1D1长度不变，A1D1长度变为原来的2倍，且∠A1D1C1变为∠ADC＝90°.该直观图还原成平面图形后如图所示，该平面图形为直角梯形，其中AB＝2，CD＝AB＝3，AD＝2，∴S梯形ABCD＝＝5.二、填空题8.答案 解析 因为OA＝6，CB＝2，所以OD＝2.又因为∠COD＝45°，所以CD＝2.梯形的直观图如图，则C′D′＝1.所以梯形的高为C′E′＝.9.答案 解析 将直观图△A′B′C′复原，其平面图形为Rt△ABC，且AC＝3，BC＝4，故斜边AB＝5，所以AB边上的中线长为.10.答案 解析 如图所示(图①)，因为OE＝＝1，所以O′E′＝，所以E′F＝.所以直观图A′B′C′D′(图②)的面积为S′＝×(1＋3)×＝. 11.答案 2＋解析 过A作AE⊥BC，垂足为E，又∵DC⊥BC且AD∥BC，∴ADCE是矩形，∴EC＝AD＝1，由∠ABC＝45°，AB＝AD＝1知BE＝，∴原平面图形是梯形且上下两底边长分别为1和1＋，高为2，∴原平面图形的面积为××2＝2＋.三、解答题12.解 由几何体的三视图可知这个几何体是一个简单组合体，它的下部是一个倒立的圆台，上部是一个圆锥，并且圆锥的底面与圆台的下底面重合.我们可以先画出下部的圆台，再画出上部的圆锥.(1)画轴，如图①所示，画x轴、z轴，使∠xOz＝90°；(2)画倒立圆台的上底面，在x轴上取A，B两点，使AB的长度等于俯视图中小圆的直径，且OA＝OB，选择椭圆模板中适当的椭圆过A，B两点，使它为圆台的上底面；(3)在z轴上截取OO′，使OO′等于正视图中相应高度，过点O′作平行于Ox轴的O′x′轴，类似圆台上底面的方法画出圆台的下底面；(4)画圆锥的顶点，在Oz上截取线段O′P，使O′P等于正视图中相应的高度；(5)成图，连接PA′，PB′，A′A，B′B，整理得到三视图表示的几何体的直视图，如图②所示. 13.解 如图所示，作AD⊥BC于点D，在BD上取一点E，使DE＝AD.由AC＝1可知，BC＝2，AB＝，AD＝，AE＝.由斜二测画法，知B′C′＝BC＝2，A′E′＝2AE＝，所以S△A′B′C′＝B′C′·A′E′＝×2×＝.