1.2.3空间几何体的直观图 (4)

1.2.3空间几何体的直观图疱丁巧解牛知识·巧学一、平面图形斜二测画法规则1.(1)在已知图形中取互相垂直的x轴、y轴,两轴相交于O点,画直观图时,把它们画成对应的x′轴与y′轴,两轴交于O′且使∠x′O′y′=45°(或135°),它们确定的平面表示水平面;(2)已知图形中平行于x轴或y轴的线段，在直观图中分别画成平行于x′轴与y′轴;(3)已知图形中平行于x轴的线段在直观图中长度保持不变，平行于y轴的线段在直观图中长度变为原来的一半.2.坐标平面中，点的直观图的画法.如图1-2-16.图1-2-16画法：(1)设点C(a，b),作坐标系x′O′y′，使∠x′O′y′=45°；(2)在x轴上的点A，画在x′轴上，使O′A′=OA；(3)在y轴上的点B，画在y′轴上，使O′B′=；(4)在x′O′y′中，作y′轴的平行线x′=a，作x′轴的平行线y′=，直线x′与直线y′相交于点C′(a,),点C′即为点C的直观图.3.坐标平面中，线段的直观图的画法.(1)设A点坐标为(a,b)，B点坐标为(c,d),作坐标系x′O′y′,使∠x′O′y′=45°；(2)仿照点的作法，分别找出A、B两点的直观图A′、B′;(3)连结A′B′，则A′B′就是AB的直观图.如图1-2-17(1)、(2).图1-2-174.一般多边形的直观图.(1)作出各个顶点的直观图；(2)连结各个顶点即可.例如画水平放置的正六边形的直观图.如图1-2-18(1)(2).画法：4 (1)在已知正六边形ABCDEF中，取对角线AD所在的直线为x轴，取对称轴GH为y轴，x轴、y轴相交于点O,任取点O′，画出对应的x′轴、y′轴，使∠x′O′y′=45°；(2)以点O′为中点，在x′轴上取A′D′=AD，在y′轴上取G′H′=，以点H′为中点，画F′E′∥x′轴，并使F′E′=FE；再以G′为中点，画B′C′∥x′轴，并使B′C′=BC；(3)顺次连结A′B′、C′D′、D′E′、F′A′,所得到的六边形A′B′C′D′E′F′就是水平放置的正六边形ABCDEF的直观图.图1-2-18记忆要诀用斜二测画法画平面图形的直观图时，应牢记下列口决：横不变，竖折半；平行关系不改变；九十度角画一半.二、空间几何体的直观图画法1.斜二测画法的规则.(1)在已知图形中取水平平面，取互相垂直的轴Ox、Oy，再取Oz轴，使∠xOz=90°；(2)画直观图时，把它们画成对应的轴O′x′、O′y′、O′z′,使∠x′O′y′=45°(或135°)，∠x′O′z′=90°，x′O′y′所确定的平面表示水平平面；(3)已知图形中平行于x轴、y轴或z轴的线段，在直观图中分别画成平行于x′轴、y′轴、z′轴的线段；(4)已知图形中平行于x轴和z轴的线段，在直观图中保持长度不变；平行于y轴的线段，长度变为原来的一半.2.点的画法.在O—xyz坐标系中，A点坐标为(a,b,c)，则在O′-x′y′z′坐标系中坐标为(a,,c).3.几何体的画法.运用点的画法，画出顶点，连线即可.画水平放置的几何图形的直观图应注意的问题:（1）要根据图形的特点选取适当的坐标系,这样可以简化作图步骤;（2）平行于y轴的线段画直观图时一定要画成原来长度的一半;（3）对于图形中与x轴、y轴、z轴都不平行的线段,可通过确定端点的办法来解决,即过端点作坐标轴的平行线段,再借助于所作的平行线段确定端点在直观图中的位置.问题·探究问题1利用斜二测画法画水平放置的平面图形时要注意“一斜”与“二测”.你是怎么理解这一问题的？探究:“一斜”即把已知图形中互相垂直的轴Oｘ、Oｙ画成对应的轴Ox′、Oy′，使x′Oy′=45°(或135°)体现了轴的“斜”；“二测”是已知图形中平行于ｘ轴的线段在直观图中保持原长度不变，即横不变；已知图形中平行于ｙ轴的线段在直观图中长度变为原来的一半，即纵减半.4 问题2把太阳光线看成是平行的，它把一个矩形ABCD投射到地平面上.①如果太阳光线不垂直于地平面，矩形ABCD垂直于地平面，它的投影是矩形吗？②如果太阳光线不垂直于地平面，矩形ABCD平行于地平面，它的投影是矩形吗？原图形与它的投影是什么关系？③如果太阳光线垂直于地平面，矩形ABCD平行于地平面，它的投影是矩形吗？原图形与它的投影是什么关系？探究:①投影不是矩形，而是一个平行四边形；②投影是矩形，且这个矩形与原来的矩形是全等的；③投影是矩形，这个矩形与原来的矩形一定是全等的.典题·热题例1画出水平放置的等腰梯形的直观图.思路解析：画水平放置的直观图应遵循以下原则:(1)直角坐标系中∠x′O′y′=45°;(2)横线相等,即A′B′=AB,C′D′=CD;(3)竖线是原来的,即O′E′=.解：(1)如图1-2-19(1),取AB所在直线为x轴,AB中点O为原点,建立直角坐标系,画对应的坐标系x′O′y′,使∠x′O′y′=45°;图1-2-19(2)以O′为中点在x′轴上取A′B′=AB,在y′轴上取O′E′=,以E′为中点画C′D′∥x′轴,并使C′D′=CD;(3)连结B′C′、D′A′,所得的四边形A′B′C′D′就是水平放置的等腰梯形ABCD的直观图.如图1-2-19(2).误区警示画水平放置的几何图形的直观图时,不能将与y轴平行的线段画的与原来的长度相等,应变为原来长度的,如本例中的O′E′.方法归纳画水平放置的平面图形的直观图的步骤为画轴(让尽量多的点在坐标轴上)；取点；成图.在图形中，平行于ｘ轴的线段，在直观图中保持其长度不变，平行于ｙ轴的线段，在直观图中长度减半.例2画棱长为2cm的正方体的直观图.如图1-2-20(1)(2).思路解析：在几何体中建立适当的空间直角坐标系，在坐标系中根据规则作出几何体各顶点，再连结顶点即可得到几何体的直观图.解：步骤:(1)作水平放置的正方形的直观图ABCD，使∠BAD=45°，AB=2cm，AD=1cm;(2)过点A作z′轴,使∠BAz′=90°,分别过点A、B、C、D,沿z′轴的正方向取AA1=BB1=CC1=DD1=2cm；(3)连结A1B1、B1C1、C1D1、D1A1，得到的图形就是所求的正方体直观图.4 图1-2-20方法归纳画立体图形的直观图，在画轴时，要多画一条与∠x′O′y′平面垂直的轴O′z′,且平行于O′z′的线段，在直观图中的长度不变，其他与平面图形直观图的画法一致.例3如图1-2-21是上、下底面处在水平状态下的棱长为2cm的正方体的直观图，比例尺为1∶1,回答下列问题：(1)线段AB1在图中、实物中长度各为多少？∠AB1A1在图中、实物中的度数各为多少？(2)在实物中，∠ABC、∠AEB、∠BEC、∠ABD、∠CBD的度数是多少？(3)线段BC在图中、实物中的长度各是多少？∠AD1A1、∠CB1C1在实物中的度数是多少？图1-2-21思路解析：从正方体的上下面、左右面、前后面去认证线段和角的实际意义.解：(1)面AA1B1B处在铅直状态下，其内部的图形为真实图形.由已知AA1=A1B1=2cm，AA1⊥A1B1，所以AB1=cm.所以线段AB1在图中、实物中的长度都是cm.∠AB1A1在图中、实物中度数都是45°.(2)在实物中，∠ABC=∠AEB=∠BEC=90°，∠ABD=∠CBD=45°.(3)线段BC在图中、实物中的长度分别是1cm、2cm，∠AD1A1、∠CB1C1在实物中的度数都是45°.深化升华立体几何中的图形都是空间图形，在空间图形中，我们用直尺量得的线段的长度，用量角器量得的角的度数，与线段、角在实物中的长度、度数有相同的，也有不同的，怎样把握空间图形与实物的对应关系，最有效的途径之一就是在正方形的上下面、左右面、前后面内去认证线段和角的实际意义.4