《空间几何体的直观图》（人教版）

本课时编写：合肥世界外国语学校刘志荣老师第一章·空间几何体1.2.3空间几何体的直观图 1、体会平面图形和空间图形的直观图的含义。2、结合画直观图的实例，掌握直观图的斜二测画法及步骤。3、会用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图。（重点）4、会用斜二测画法画柱、锥、台、球及其简单组合体等空间图形的直观图。（难点）情境导入学习目标 上图是浙江省台州的斑马线披上的“立体彩装”左图的斑马线为什么会有立体的感觉？如何把立体图形画在纸上？直观图有立体感引入新课 很多图片都是空间图形在平面上的反映，通过对图片的研究可以了解空间图形的一些性质和特征。三视图是用平面图形表示空间图形的一种重要方法，但三视图的直观性较差，因此有必要绘制空间图形的直观图。一般采用中心投影或平行投影。在中心投影中，水平线(或垂直线)仍保持水平(或垂直)，但斜的平行线则会相交，交点称为消点。 中心投影虽然可以显示空间图形的直观形象，但作图较复杂，又不易度量。立体几何中常用平行投影(斜投影)来画空间图形的直观图，这种画法叫做斜二测画法。1、平行性不变，但形状、长度、夹角会改变；2、平行直线段或同一直线上的两条线段的比不变；3、在太阳光下，平行于地面的直线在地面上的投影长不变。投影规律 （一）水平放置的平面图形的画法思考1:把一个矩形水平放置，从适当的角度观察，给人以平行四边形的感觉，如图：比较两图，其中哪些线段之间的位置关系、数量关系发生了变化？哪些没有发生变化？课堂探究 思考2:把一个直角梯形水平放置，得其直观图如图，比较两图，其中哪些线段之间的位置关系、数量关系发生了变化？哪些没有发生变化？ 思考3:画一个水平放置的平面图形的直观图，关键是确定直观图中各顶点的位置，我们可以借助平面坐标系解决这个问题。那么在画水平放置的直角梯形的直观图时应如何操作？x′y′C′ABCDxyA′B′D′ 例１用斜二测画法画水平放置的正六边形的直观图。注意：(1)建系时要尽量考虑图形的对称性；(2)画水平放置的平面图形的关键是确定多边形顶点的位置。画法：(1)在正六边形ABCDEF中，取AD所在的直线为x轴，对称轴MN所在直线为y轴，两轴交于点O。画对应的x′，y′轴，两轴相交于点O′，使∠x′oy′=45°。 (2)以O′为中心，在x′上取A′D′=AD，在y轴上取以点N′为中心，画B′C′∥x′轴，并等于BC，再以M′为中心，画E′F′∥x′轴，并等于EF。注意：水平放置的线段长不变，垂直放置的线段长变为原来的一半。 并擦去辅助线x′轴和y′轴，便获得正六边形ABCDEF水平放置的直观图(3)连接请你总结斜二测画法画水平放置的平面图形的方法步骤。 斜二测画法的步骤(1)在已知图形中取互相垂直的x轴和y轴，两轴相交于点O。画直观图时，把它们画成对应的x′轴、y′轴，两轴交于点O′，且使∠x′o′y′=45°（或135°），它们确定的平面表示水平面。(2)已知图形中平行于x轴或y轴的线段，在直观图中分别画成平行于x′轴或y′轴的线段。(3)已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中保持原长度不变，平行于y轴的线段，长度为原来的一半。提升总结 思考4:斜二测画法可以画任意多边形水平放置的直观图，如果把一个圆水平放置，看起来像什么图形？在实际画图时用什么方法？ (二)空间几何体的直观图的画法思考1:对于柱、锥、台等几何体的直观图，可用斜二测画法或椭圆模板画出一个底面，我们能否再用一个坐标确定底面外的点的位置？xoy 例2用斜二测画法画长、宽、高分别是4cm、3cm、2cm的长方体ABCD-A′B′C′D′的直观图。提示:联想水平放置的平面图形的画法，并注意高的处理。D′ABCDA′B′C′ 画法：（1）画轴:画x轴、y轴、z轴，三轴交于点O，使∠xoy=45°，∠xoz=90°。（2）画底面:以点O为中心，在x轴上取线段MN，使MN=____cm；在y轴上取线段PQ，使PQ=_____cm，分别过点M和N作y轴的平行线，过点P和Q作x轴的平行线，设它们的交点分别为A，B，C，D，四边形ABCD就是长方体的底面ABCD。41.5 (3)画侧棱:过A，B，C，D各点分别作z轴的平行线，并在这些平行线上分别截取2cm长的线段AA′,BB′，CC′,DD′。(4)成图:顺次连接A′,B′，C′,D′，并加以整理（去掉辅助线，将被遮挡住的部分改为虚线），即可得到长方体的直观图） 思考2:画棱柱、棱锥的直观图大致可分几个步骤进行？画轴→画底面成图→画侧棱→ 分析：由几何体的三视图知道，这个几何体是一个简单组合体。它的下部是一个圆柱，上部是一个圆锥，并且圆锥的底面与圆柱的上底面重合。我们可以先画出下部的圆柱，再画出上部的圆锥。例3已知几何体的三视图如图，用斜二测画法画出它的直观图。正视图侧视图俯视图步骤略（详细过程参阅课本） 课堂训练1、已知一四边形ABCD的水平放置的直观图A′B′C′D′是一个边长为2的正方形，请画出这个图形的真是图形，并计算真是图形的面积。答案： 2、一个四边形的直观图是边长为a的正方形，则原图形的面积是 3、（2012·济南高一检测）利用斜二测画法得到的（1）三角形的直观图是三角形。（2）平行四边形的直观图是平行四边形。（3）正方形的直观图是正方形。（4）菱形的直观图是菱形。以上结论，正确的是()A、(1)(2)B、(1)C、(3)(4)D、(1)(2)(3)(4)A 4、如图，一个平面图形的水平放置的斜二测直观图是一个等腰梯形，它的底角为45°，两腰和上底边长均为1，求这个平面图形的面积。ABCDA′（O′）B′C′D′y′x′ 空间几何体的直观图的作法:1、斜二测画法：画多边形。2、正等测画法：画圆形。空间几何体的直观图的特点:1、保持平行关系和竖直关系不变。2、保持水平长度和竖直长度不变；3、纵向长度取其一半。课堂小结